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शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी उच्चतम घात निर्धारित नहीं की जा सकती और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: पहले शून्य बहुपद पहचानें। / The zero polynomial has no non-zero term, so no highest power can be identified; hence its degree is undefined. The constant polynomial \(7\) has degree 0. Exam tip: check for the zero polynomial first.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(c\neq0\) होने के कारण \(cx^5\) अशून्य पद है। अतः \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है और बहुपद की डिग्री \(5\) होगी। \(2\) केवल पद \(2x^2\) की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: सबसे अधिक घात वाले पद के गुणांक का शून्य या अशून्य होना अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(c\neq0\), the term \(cx^5\) is non-zero. Thus, the highest power of \(x\) is \(5\), so the polynomial has degree \(5\). The value \(2\) is only the degree of the term \(2x^2\), not of the entire polynomial. Exam tip: Always check whether the coefficient of the highest-degree term is zero.
\(x^4+2x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह 4 डिग्री का बहुपद है। अतः इसकी डिग्री न तो 1 है और न 0। \(7x-3\) की डिग्री 1 है और \(12\) एक अशून्य स्थिर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है। \(\frac{1}{x}+1\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी अशून्य घात देखें। / In \(x^4+2x\), the highest power of \(x\) is 4, so it is a polynomial of degree 4. Therefore, its degree is neither 1 nor 0. \(7x-3\) has degree 1, and \(12\) is a non-zero constant polynomial of degree 0. \(\frac{1}{x}+1\) is not a polynomial because it contains \(x^{-1}\). Exam tip: To find a polynomial's degree, identify the highest non-zero exponent of its variable.
A. डिग्री 3 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले पदों में \(y\) की सबसे बड़ी घात 3 है।/The degree is 3 because the greatest exponent of \(y\) among terms with non-zero coefficients is 3.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात होती है। \(6y^3-y+9\) में \(y\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं; अतः सबसे बड़ी घात 3 है और डिग्री 3 है। केवल \(-y\) पद की घात देखकर 1 कहना गलत है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद के प्रत्येक पद की घात पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. In \(6y^3-y+9\), the exponents of \(y\) are 3, 1, and 0 respectively, so the greatest exponent is 3. Looking only at the term \(-y\) and choosing 1 is incorrect. Exam tip: identify the exponent in every term before selecting the greatest one.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(ax^7\) में \(x\) की घात 7 है और \(a\neq0\) होने से इसका गुणांक शून्य नहीं है। अतः बहुपद की डिग्री 7 है। \(bx^3\) की घात 3 है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य नहीं है, यह पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(ax^7\) has exponent 7, and its coefficient is non-zero because \(a\neq0\). Therefore, the degree is 7. The term \(bx^3\) has exponent 3, so it cannot determine the degree. Exam tip: first check that the coefficient of the highest-power term is not zero.
\(a=0\) रखने पर \(ax^7\) वाला पद शून्य हो जाता है। बहुपद \(bx^3+2\) रह जाता है। क्योंकि \(b\neq0\), \(x^3\) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 3 है। अतः इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 2 अचर पद \(2\) को देखकर भ्रमित कर सकता है, पर अचर पद की डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / When \(a=0\), the term \(ax^7\) becomes zero. The polynomial is then \(bx^3+2\). Since \(b\neq0\), the coefficient of \(x^3\) is non-zero, so the highest remaining power of \(x\) is 3. Hence, its degree is 3. Option 2 may seem tempting because of the constant \(2\), but a non-zero constant has degree 0. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before identifying the highest exponent.
\(\sqrt{5}\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें \(x\) वाला कोई पद नहीं है। प्रत्येक अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है। \(5x\) की डिग्री \(1\) तथा \(x^2+5\) की डिग्री \(2\) है। विकल्प A में शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी अशून्य नियतांक की घात \(0\) मानी जाती है। / \(\sqrt{5}\) is a non-zero constant polynomial because it has no term containing \(x\). Every non-zero constant polynomial has degree \(0\). The degree of \(5x\) is \(1\), while that of \(x^2+5\) is \(2\). Option A is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: Any non-zero constant has degree \(0\).
\(b=0\) रखने पर \(bx^5=0\) हो जाता है, इसलिए व्यंजक \(ax^2-4\) रह जाता है। चूँकि \(a\neq0\) है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं है। अतः शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 होगी। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x^5\) वाला पद शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: दिए गए गुणांकों के मान पहले रखिए और शून्य गुणांक वाले पद हटाने के बाद सबसे बड़ी घात ज्ञात कीजिए। / Substituting \(b=0\) makes \(bx^5=0\), so the expression reduces to \(ax^2-4\). Since \(a\neq0\), the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Thus, the highest power of \(x\) remaining in the polynomial is 2, so its degree is 2. Option 5 is incorrect because the \(x^5\) term becomes zero. Exam tip: first substitute the given coefficient values, remove terms with zero coefficients, and then find the highest remaining exponent.
B. यह एक बहुपद है जिसकी डिग्री \(3\) है/It is a polynomial of degree \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3}{4}-\sqrt{6}x+10\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह एक बहुपद है। बहुपद के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं, इसलिए \(\frac14\) और \(-\sqrt{6}\) दोनों मान्य गुणांक हैं। \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, अतः इसकी डिग्री \(3\) है। \(\sqrt{6}\) जैसा अपरिमेय गुणांक बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का प्रकार नहीं। / In \(\frac{x^3}{4}-\sqrt{6}x+10\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial. Polynomial coefficients may be real numbers, so both \(\frac14\) and \(-\sqrt{6}\) are valid coefficients. The highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is \(3\). An irrational coefficient such as \(\sqrt{6}\) does not make an expression non-polynomial. Exam tip: find the degree by identifying the greatest exponent of the variable, not by checking the type of coefficient.
\(x^5-3x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है, जो \(2\) से अधिक है। \(9x^2+1\) की डिग्री \(2\) और \(4x-5\) की डिग्री \(1\) है। \(\frac{1}{x}+2\) बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात ही उसकी डिग्री होती है। / In \(x^5-3x+2\), the highest power of \(x\) is \(5\), so its degree is \(5\), which is greater than \(2\). \(9x^2+1\) has degree \(2\), and \(4x-5\) has degree \(1\). \(\frac{1}{x}+2\) is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent of the variable. Exam tip: the degree of a polynomial is the highest non-negative integer exponent of its variable.
\(3x^4-7x+6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः यह डिग्री \(4\) का बहुपद है और \(4<5\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A बहुपद तो है, पर उसकी डिग्री \(5\) है। विकल्प B में \(x\) हर में है और विकल्प D में \(x\) की भिन्नात्मक घात है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(3x^4-7x+6\), the highest power of \(x\) is \(4\). Therefore, it is a polynomial of degree \(4\), and since \(4<5\), option C is correct. Option A is a polynomial but has degree \(5\). In option B, \(x\) occurs in the denominator, and option D has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: The exponents of a variable in a polynomial must be non-negative integers.
C. कथन गलत है; \(5x^7-5x^7=0\) होने के बाद उच्चतम घात 3 बचती है, इसलिए डिग्री 3 है।/The statement is incorrect; after \(5x^7-5x^7=0\), the highest remaining exponent is 3, so the degree is 3.
Explanation
Simple Explanation
\(5x^7\) और \(-5x^7\) समान पद हैं तथा उनका योग 0 है। इसलिए \(p(x)=4x^3-1\) रह जाता है। सरल रूप में गैर-शून्य गुणांक वाली सबसे बड़ी घात 3 है, अतः डिग्री 3 है। केवल \(x^7\) वाले पदों का दिखना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि वे कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को मिलाकर बहुपद को सरल करें। / \(5x^7\) and \(-5x^7\) are like terms and add to 0. Thus, \(p(x)=4x^3-1\). In the simplified polynomial, the greatest exponent with a non-zero coefficient is 3, so its degree is 3. Merely seeing \(x^7\) terms is not enough because they cancel. Exam tip: always simplify like terms before determining the degree.
\(b=0\) होने पर \(bx^6=0\) हो जाता है, इसलिए दिया गया बहुपद \(ax^8-5x+2\) बनता है। चूँकि \(a\neq0\), इसलिए \(x^8\) का गुणांक शून्य नहीं है। बहुपद की डिग्री चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो; अतः डिग्री 8 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि \(x^6\) वाला पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / When \(b=0\), the term \(bx^6\) becomes zero, so the polynomial is \(ax^8-5x+2\). Since \(a\neq0\), the coefficient of \(x^8\) is non-zero. The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient; therefore, the degree is 8. Option 6 is incorrect because the \(x^6\) term vanishes. Exam tip: First remove all terms whose coefficients are zero.
\(a=0\) रखने पर \(ax^8=0\) हो जाता है, इसलिए \(x^8\) वाला पद हट जाता है। चूँकि \(b\neq0\) है, \(bx^6\) एक अशून्य पद बना रहता है। शेष पदों की घातें \(1\) और \(0\) हैं, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी घात \(6\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(a=0\), \(ax^8=0\), so the \(x^8\) term disappears. Since \(b\neq0\), \(bx^6\) remains a non-zero term. The remaining terms have powers \(1\) and \(0\), so the highest power is \(6\). Option 8 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
B. यह एक बहुपद है जिसकी डिग्री \(4\) है/It is a polynomial of degree \(4\)
Explanation
Simple Explanation
दिया गया व्यंजक \(\frac{1}{3}x^4-\sqrt{10}x^2+7\) है। बहुपद में चर की घातें \(0,1,2,\ldots\) जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। इसके गुणांक भिन्न या अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। यहाँ \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए यह \(4\) डिग्री का बहुपद है। \(\frac{1}{3}\) और \(-\sqrt{10}\) गुणांक हैं, इसलिए विकल्प A और D गलत हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक का प्रकार नहीं। / The expression is \(\frac{1}{3}x^4-\sqrt{10}x^2+7\). In a polynomial, the powers of the variable must be non-negative integers. Its coefficients may be fractional or irrational real numbers. The highest power of \(x\) is \(4\), so it is a polynomial of degree \(4\). Both \(\frac{1}{3}\) and \(-\sqrt{10}\) are coefficients, so options A and D are incorrect. Exam tip: find the degree from the highest exponent of the variable, not from the type of coefficient.
\(x^6-2x^2+9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है, जो \(3\) से अधिक है। \(2x^3+1\) की डिग्री \(3\) है, जबकि \(5x-4\) की डिग्री \(1\) है। \(\frac{1}{x}+6=x^{-1}+6\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी अऋणात्मक पूर्णांक घात देखें। / In \(x^6-2x^2+9\), the highest power of \(x\) is \(6\), so its degree is \(6\), which is greater than \(3\). \(2x^3+1\) has degree \(3\), and \(5x-4\) has degree \(1\). \(\frac{1}{x}+6=x^{-1}+6\) is not a polynomial because it contains a negative power of \(x\). Exam tip: Find a polynomial's degree by identifying the greatest non-negative integer power of its variable.
डिग्री (5) के लिए \(x^8\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the coefficient of \(x^8\) must be (0) and the coefficient of \(x^5\) must be non-zero. This condition holds at (a=2).
पहले गुणा करने पर
\(x^3(x^4-2)=x^7-2x^3\) मिलता है। अतः पूरा व्यंजक \(x^7-2x^3-x^7+5x^2=-2x^3+5x^2\) है। इसमें सबसे अधिक घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) और \(-x^7\) परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^3(x^4-2)=x^7-2x^3\). Therefore, the expression becomes \(x^7-2x^3-x^7+5x^2=-2x^3+5x^2\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 3, so its degree is 3. Option 7 is incorrect because \(x^7\) and \(-x^7\) cancel. Exam tip: Always simplify and combine like terms before finding the degree.
जब \(k=3\) रखते हैं, तब \(k^2-9=9-9=0\) और \(k-3=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(x^6\) तथा \(x^4\) वाले पद समाप्त हो जाते हैं और \(q(x)=2x^2\) बचता है। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 6 मूल व्यंजक को देखकर मिल सकता है, लेकिन उसका गुणांक \(k=3\) पर शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / On substituting \(k=3\), we get \(k^2-9=9-9=0\) and \(k-3=0\). Thus, the \(x^6\) and \(x^4\) terms vanish, leaving \(q(x)=2x^2\). Its highest power of \(x\) is 2, so the degree is 2. Option 6 may seem tempting from the original expression, but its coefficient becomes zero when \(k=3\). Exam tip: substitute the parameter value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
C. इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई भी अशून्य पद नहीं होता। डिग्री ज्ञात करने के लिए अशून्य पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; यहाँ ऐसा कोई पद नहीं है, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प A गैर-शून्य स्थिर बहुपद, जैसे 5, की डिग्री बताता है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और गैर-शून्य स्थिर बहुपद में अंतर अवश्य याद रखें। / The zero polynomial has no non-zero term. Degree is determined by the greatest exponent among the non-zero terms, and there is no such term here; therefore, its degree is not defined. Option A applies to a non-zero constant polynomial such as 5, not to the zero polynomial. Exam tip: always distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(x^5-3x^5+2x^5=(1-3+2)x^5=0\) मिलता है। अतः \(f(x)=4x-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 1 है। विकल्प 5 मूल व्यंजक को बिना सरलीकृत किए देखने पर लग सकता है, लेकिन उसके सभी \(x^5\) पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / Combining the like terms gives \(x^5-3x^5+2x^5=(1-3+2)x^5=0\). Hence, \(f(x)=4x-1\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 1, so its degree is 1. Option 5 may seem tempting if the expression is not simplified, but all the \(x^5\) terms cancel out. Exam tip: always simplify by combining like terms before finding the degree of a polynomial.
बहुचरों वाले बहुपद में किसी पद की कुल घात उसके सभी चरों की घातों का योग होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 2+5=7, 4+2=6, 1+1=2 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 7 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 7 है। 6 दूसरे पद की कुल घात है, लेकिन वह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / In a polynomial of several variables, the total degree of a term is the sum of the exponents of all its variables. Here, the total degrees of the terms are 2+5=7, 4+2=6, 1+1=2, and 0 respectively. The greatest total degree is 7, so the polynomial has total degree 7. Although 6 is the degree of the second term, it is not the highest. Exam tip: Add the exponents in each term and choose the greatest sum.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 3, 5, 0 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 7, पद 6x-3y-7 में y की घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 3, 5, 0, and 0. The greatest power is 5, so the answer is 5. The number 7 is the power of y in 6x-3y-7, not the power of x. Exam tip: compare powers only of the variable with respect to which the degree is asked.
y के सापेक्ष बहुपद की डिग्री, y की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में पदों में y की घातें 7, 2, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए सही उत्तर 7 है। x की घातें यहाँ गुणांकों का भाग मानी जाती हैं; इसलिए x-5 होने पर भी डिग्री 5 नहीं होगी। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / The degree of a polynomial with respect to y is the greatest exponent of y. In the given expression, the powers of y in the terms are 7, 2, 1, and 0. The greatest power is 7, so the answer is 7. The powers of x are treated as part of the coefficients when considering y; hence 5 is not the degree. Exam tip: When degree is asked with respect to one variable, compare powers of that variable only.
जब (n>7) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=8) ही शर्त पूरी करता है। / When (n>7), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=8) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(4x^6\) के कारण डिग्री 6 है। शर्त \(m<6\) के अनुसार \(m=4\) संभव है और तब \(3x^4\) की घात 6 से कम रहती है। \(m=6\) सबसे अधिक घात को नहीं बदलता, पर वह दी गई शर्त \(m<6\) को पूरा नहीं करता; \(m=7\) और \(m=8\) पर डिग्री 7 या 8 हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री वाले प्रश्नों में पहले सबसे बड़ी घात और फिर दी गई शर्त जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(4x^6\) makes the degree 6. Since \(m<6\), \(m=4\) is possible, and the exponent in \(3x^4\) remains less than 6. Although \(m=6\) would not change the highest exponent, it does not satisfy \(m<6\); \(m=7\) and \(m=8\) would make the degree 7 or 8. Exam tip: In degree questions, first identify the highest exponent and then check every given condition.
A. बहुपद की डिग्री शून्येतर गुणांक वाले पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है।/The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in a term with a non-zero coefficient.
Explanation
Simple Explanation
\(0x^6\) शून्य पद है, इसलिए यह बहुपद की डिग्री में नहीं गिना जाता। शून्येतर पदों में सबसे बड़ी घात \(x^4\) की है, अतः डिग्री 4 है। परीक्षा में पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / Since \(0x^6\) is a zero term, it does not affect the degree. The highest power among the non-zero terms is \(x^4\), so the degree is 4. Exam tip: ignore all terms with coefficient zero first.
\(7\) में चर \(x\) नहीं है, इसलिए यह स्थिर बहुपद है और इसकी घात 0 होती है। \(7x\) तथा \(x+7\) में चर है, जबकि \(\frac{7}{x}=7x^{-1}\) बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / Since \(7\) has no variable, it is a constant polynomial with degree 0. \(7x\) and \(x+7\) contain the variable, while \(\frac{7}{x}=7x^{-1}\) is not a polynomial. Exam tip: powers of a variable in a polynomial cannot be negative.
\(a\neq1\) होने पर \(x^{10}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (10) रहेगी। / When \(a\neq1\), the coefficient of \(x^{10}\) is not zero. Therefore the highest power remains (10).
a=1 रखने पर a-1=0 होता है, इसलिए 0x^{10} पद समाप्त हो जाता है। बहुपद 7x-4-8 बचता है, जिसमें x की सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए इसकी डिग्री 4 है। विकल्प 0 केवल तब होता जब बहुपद में कोई चर वाला पद न बचता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही बहुपद की सबसे बड़ी शून्येतर घात देखें। / Substituting a=1 gives a-1=0, so the term 0x^{10} vanishes. The polynomial becomes 7x-4-8, whose highest power of x is 4. Hence, its degree is 4. Option 0 would apply only if no variable term remained. Exam tip: first substitute the parameter value, then identify the highest non-zero power of the variable.
शून्य बहुपद में प्रत्येक घात का गुणांक 0 होता है, इसलिए इसमें उच्चतम घात वाला कोई अशून्य पद नहीं होता। अतः कक्षा 9 के मानक परिभाषा के अनुसार इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। विकल्प 0 अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों को देखें। / In the zero polynomial, the coefficient of every power is 0, so there is no non-zero term with a highest power. Therefore, under the standard Class 9 definition, its degree is not defined. Option 0 is the degree of a non-zero constant polynomial, not of the zero polynomial. Exam tip: while finding degree, consider only terms with non-zero coefficients.
पहले विस्तार करें: \(2x^4(x^3-1)=2x^7-2x^4\)। इसलिए दिया गया व्यंजक \(2x^7-2x^4-2x^7+9x^5=9x^5-2x^4\) बनता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(2x^7\) और \(-2x^7\) परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाएँ। / First expand: \(2x^4(x^3-1)=2x^7-2x^4\). Thus, the expression becomes \(2x^7-2x^4-2x^7+9x^5=9x^5-2x^4\). The highest power with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is 5. Option 7 is incorrect because \(2x^7\) and \(-2x^7\) cancel each other. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding the degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-17) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-17) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (7) है और \(x^6\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^6\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (7), and the \(x^6\) term is absent. So the coefficient of \(x^6\) is (0).
यह शून्य बहुपद है, क्योंकि इसके सभी गुणांक 0 हैं। बहुपद की डिग्री सबसे अधिक घात वाले उस पद से तय होती है जिसका गुणांक शून्येतर हो। शून्य बहुपद में ऐसा कोई पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 0 एक अचर शून्येतर बहुपद की डिग्री हो सकती है, लेकिन शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और अचर बहुपद में अंतर अवश्य याद रखें। / This is the zero polynomial because all its coefficients are 0. The degree of a polynomial is determined by the highest power having a non-zero coefficient. The zero polynomial has no such term, so its degree is not defined. Degree 0 applies to a non-zero constant polynomial, not to the zero polynomial. Exam tip: Always distinguish the zero polynomial from a non-zero constant polynomial.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\)। अतः \(p(x)=x^4-x^2-x^4+x^2+5=5\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 4 केवल विस्तार से पहले दिखने वाली उच्चतम घात पर आधारित है; समान पदों के निरसन के बाद वह पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने से पहले उसे पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^2(x^2-1)=x^4-x^2\). Therefore, \(p(x)=x^4-x^2-x^4+x^2+5=5\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 4 results from noticing the highest power before simplification, but those terms cancel out. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
\((x^2+2x)(x^3-x)=x^5+2x^4-x^3-2x^2\)। इसमें से \(x^5\) घटाने पर \(x^5\) पद निरस्त हो जाता है और बहुपद \(2x^4-x^3-2x^2\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(4\) है, इसलिए डिग्री \(4\) है। \(5\) सही नहीं है क्योंकि \(x^5\) पद कट चुका है। परीक्षा टिप: गुणन के बाद समान घात वाले पदों को मिलाने के बाद ही डिग्री निर्धारित करें। / Expanding, \((x^2+2x)(x^3-x)=x^5+2x^4-x^3-2x^2\). On subtracting \(x^5\), the \(x^5\) terms cancel, leaving \(2x^4-x^3-2x^2\). Its highest exponent is \(4\), so the degree is \(4\). Option \(5\) is not correct because the \(x^5\) term has been cancelled. Exam tip: determine the degree only after simplifying and combining like terms.
डिग्री (0) के लिए \(x^5\) और \(x^3\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-2) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^5\) and \(x^3\) terms must vanish. At (c=-2), both coefficients become (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^4\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (d=1) पर यह सही होता है। / For degree (2), the \(x^4\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. This is true at (d=1).
बहुचर बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी एक पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद \(x^2y^3z^4\) की कुल घात \(2+3+4=9\) है। दूसरे पद \(3xy^2z\) की कुल घात \(1+2+1=4\) और अचर \(-5\) की घात 0 है। इसलिए अधिकतम कुल घात 9 है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें; घातों को गुणा नहीं करना है। / For a polynomial in several variables, the total degree is the greatest sum of exponents in any one term. The term \(x^2y^3z^4\) has total degree \(2+3+4=9\). The term \(3xy^2z\) has total degree \(1+2+1=4\), while the constant \(-5\) has degree 0. Hence, the greatest total degree is 9. Exam tip: add the exponents within each term and choose the largest sum; do not multiply the exponents.
(z) की सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (5). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
\((x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2\) होता है। अतः \(h(x)=x^4+2x^3+x^2-x^4-2x^3=x^2\)। शून्येतर बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री होती है, इसलिए डिग्री \(2\) है। \(4\) या \(3\) लेने की गलती पदों के निरस्तीकरण को न देखने पर होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य काटें। / We have \((x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2\). Therefore, \(h(x)=x^4+2x^3+x^2-x^4-2x^3=x^2\). The degree of a non-zero polynomial is its highest power of the variable, so the degree is \(2\). Choosing \(4\) or \(3\) would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial fully before finding its degree.
डिग्री 5 होने के लिए \(x^7\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। अतः \(a-5=0\), इसलिए \(a=5\)। तब सबसे बड़ी शून्येतर घात \(x^5\) है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / For degree 5, the coefficient of \(x^7\) must become zero. Thus, \(a-5=0\), so \(a=5\). The highest remaining non-zero power is then \(x^5\). Exam tip: always check whether the leading coefficient can vanish.
बहुपद की डिग्री उसके सबसे बड़े घातांक के बराबर होती है। यहाँ घातांक \(n+2\), \(5\) और \(0\) हैं। डिग्री \(5\) रहने के लिए \(n+2\) का मान \(5\) से अधिक नहीं होना चाहिए, अर्थात \(n+2\leq 5\)। इसलिए \(n\leq 3\) सही शर्त है। \(n=0\) केवल एक संभव मान है, पूरी शर्त नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री वाले प्रश्नों में सभी पदों के घातांकों में सबसे बड़े घातांक की तुलना करें। / The degree of a polynomial is its greatest exponent with a non-zero coefficient. Here the exponents are \(n+2\), \(5\), and \(0\). For the degree to remain \(5\), \(n+2\) must not exceed \(5\); hence \(n+2\leq 5\), or \(n\leq 3\). Although \(n=0\) is one possible value, it is not the complete condition. Exam tip: In degree questions, compare the exponents of all terms and identify the greatest one.
दिए गए व्यंजक को सरल करने पर
\(p(x)=x^4-2x^2+1-x^4+x^2=-x^2+1\) प्राप्त होता है। इसमें \(x^4\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 4 गलत है, क्योंकि \(x^4\) का पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / Simplifying the expression gives
\(p(x)=x^4-2x^2+1-x^4+x^2=-x^2+1\). The \(x^4\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2. Therefore, its degree is 2. Option 4 is incorrect because the \(x^4\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक को फैलाने पर \(x^4(x^2+1)-x^2(x^4-3)=x^6+x^4-x^6+3x^2=x^4+3x^2\) मिलता है। \(x^6\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। \(6\) चुनना विस्तार से पहले की घात देखकर की गई गलती होगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / On expanding, \(x^4(x^2+1)-x^2(x^4-3)=x^6+x^4-x^6+3x^2=x^4+3x^2\). The \(x^6\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(4\), so its degree is 4. Choosing \(6\) would be an error caused by looking at the powers before simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
(e=0) पर \(x^9\) पद हटता है लेकिन \(x^7\) का गुणांक (-2) रहता है। इसलिए डिग्री (7) है। / At (e=0), the \(x^9\) term vanishes but the coefficient of \(x^7\) remains (-2). Therefore the degree is (7).
दिया गया व्यंजक \(0x^5+0x^3+0x+0\) सरल करने पर \(0\) बनता है, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(5\) चुनना गलत है, क्योंकि \(x^5\) का गुणांक \(0\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले जिन पदों के गुणांक \(0\) हों, उन्हें हटा दें। / The expression \(0x^5+0x^3+0x+0\) simplifies to \(0\), so it is the zero polynomial. The zero polynomial has no non-zero term with a highest power; therefore, its degree is not defined. Choosing \(5\) is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is \(0\). Exam tip: Before finding degree, remove all terms whose coefficients are \(0\).
यदि \(a=0\), तो \(ax^5\) पद शून्य हो जाता है और बहुपद \(3x^4-2\) बचता है, जिसकी डिग्री 4 है। \(a\ne0\) पर \(x^5\) का गुणांक शून्य नहीं रहता। परीक्षा में पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / For \(a=0\), the term \(ax^5\) vanishes, leaving \(3x^4-2\), whose highest power is 4. For every non-zero \(a\), the \(x^5\) term remains. Exam tip: remove zero-coefficient terms before identifying degree.
बहुपद \(x^3y^3+2x\) में पद \(x^3y^3\) की कुल घात \(3+3=6\) है। किसी बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद की सबसे अधिक कुल घात होती है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 6 है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात 4 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / In \(x^3y^3+2x\), the term \(x^3y^3\) has total degree \(3+3=6\). The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms, so this polynomial has total degree 6. In option A, the greatest total degree is only 4, so it is not correct. Exam tip: Add the exponents of all variables in each term and select the greatest sum.
\(0x^{12}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{11}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (11) है। / \(0x^{12}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{11}\) term. Therefore the degree is (11).
दिए गए व्यंजक में \(x^4\) और \(x^2\) वाले पद घटाने पर कट जाते हैं: \((x^4+x^2+1)-(x^4+x^2)=1\)। \(1\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(4\) या \(2\) डिग्री सरल करने से पहले के पदों से जुड़ी है, अंतिम बहुपद से नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / In the given expression, the \(x^4\) and \(x^2\) terms cancel: \((x^4+x^2+1)-(x^4+x^2)=1\). Since \(1\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degrees \(4\) and \(2\) relate to terms before simplification, not to the final polynomial. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^8\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-1) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^8\) and \(x^6\) terms must vanish. At (s=-1), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^6+2x^3+1)-(x^6+2x^3)=1\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 6 मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद \(x^6\) का पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के घटाव में पहले समान घात वाले पदों को मिलाकर सरल रूप अवश्य लिखें। / On subtracting, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^6+2x^3+1)-(x^6+2x^3)=1\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 6 is the degree of the original polynomials, but the \(x^6\) terms do not remain after subtraction. Exam tip: simplify a polynomial difference fully before identifying its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\)। यहाँ \(x^5\) और \(-x^5\) पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। \(5\) लेना गलत होगा, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^5\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही सबसे बड़े शून्येतर घातांक से डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^5+4)+(-x^5+3x^2)=3x^2+4\). The terms \(x^5\) and \(-x^5\) cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is \(2\), so its degree is \(2\). Choosing \(5\) would be incorrect because no \(x^5\) term remains after addition. Exam tip: find the degree only after simplifying the resulting polynomial.
सर्वसमिका \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर \((x^2-3)(x^2+3)=x^4-9\) मिलता है। अतः \(P(x)=x^4-9-x^4=-9\) है। \(-9\) एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। \(4\) तब होता यदि \(x^4\) वाले पद कटते नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करके उसका उच्चतम घात वाला अशून्य पद पहचानें। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^2-3)(x^2+3)=x^4-9\). Therefore, \(P(x)=x^4-9-x^4=-9\). Since \(-9\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). The degree would be \(4\) only if the \(x^4\) terms did not cancel. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
a=4 और b=9 रखने पर बहुपद 2x-4+3x-9+1 बनता है। बहुपद की डिग्री उसमें x की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। 13 गलत है क्योंकि बहुपद की डिग्री अलग-अलग पदों की घातों को जोड़कर नहीं निकाली जाती। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a=4 and b=9 gives the polynomial 2x-4+3x-9+1. The degree of a polynomial is the greatest exponent of x with a non-zero coefficient. Here, the greatest exponent is 9, so the degree is 9. Option 13 is incorrect because exponents of different terms are not added to find the degree. Exam tip: identify the exponent in each term and select the greatest one.
विकल्प D में \(x^4-x^4=0\), इसलिए व्यंजक सरल होकर \(7x\) बनता है। \(7x\) में घातांक 1 है, अतः इसकी डिग्री 1 है, 4 नहीं। विकल्प B में \(0x^5\) का कोई योगदान नहीं होता, लेकिन \(3x^4\) के कारण उसकी डिग्री 4 रहती है। परीक्षा में डिग्री ज्ञात करने से पहले पदों को सरल करके समान पदों का निरसन अवश्य जाँचें। / In option D, \(x^4-x^4=0\), so the expression simplifies to \(7x\). The highest exponent in \(7x\) is 1; hence its degree is 1, not 4. In option B, \(0x^5\) contributes nothing, but \(3x^4\) still makes the degree 4. Exam tip: simplify an expression and check for cancellation of like terms before finding its degree.
पहले विस्तार करें: \(x^2(x^3+x)=x^5+x^3\)। अतः \(p(x)=x^5+x^3-x^5-x^3+6=6\)। शून्येतर अचर बहुपद \(6\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। विकल्प 5 विस्तार से पहले दिखने वाले उच्चतम घात के कारण भ्रामक है; वे पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^2(x^3+x)=x^5+x^3\). Therefore, \(p(x)=x^5+x^3-x^5-x^3+6=6\). A non-zero constant polynomial such as \(6\) has degree \(0\), so the correct answer is 0. Option 5 is tempting because it appears before simplification, but the highest-degree terms cancel. Exam tip: simplify a polynomial and combine like terms before finding its degree.
x² - 3x + 5 में x की सबसे बड़ी घात 2 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। B की डिग्री 3 है। परीक्षा में भिन्न या मूल वाली x-घात को बहुपद न मानें। / In x² - 3x + 5, the highest power of x is 2 and every exponent is a non-negative integer, so it is quadratic. Option B has degree 3. Exam tip: expressions with x in a denominator or under a root are not polynomials.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अचर, गैर-शून्य बहुपद होता है। इसलिए \(x^7\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-2\) है, अतः \(r-2=0\), जिससे \(r=2\) मिलता है। \(r=-2\) रखने पर चर वाले पद समाप्त नहीं होते। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में उच्च घात वाले पदों के गुणांक पहले शून्य करें। / A polynomial of degree 0 is a non-zero constant polynomial. Therefore, the coefficients of both \(x^7\) and \(x^3\) must be zero. Since each coefficient is \(r-2\), we get \(r-2=0\), so \(r=2\). If \(r=-2\), the variable terms do not vanish. Exam tip: In degree-reduction questions, first make the coefficients of the highest-power terms zero.
A. \(x^4\) का गुणांक शून्येतर है और \(x^5\) या उससे अधिक घात का कोई पद नहीं है।/The coefficient of \(x^4\) is non-zero, and there is no term with \(x^5\) or a higher power.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की घात, \(x\) की सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्येतर हो। इसलिए \(x^4\) का गुणांक शून्येतर होगा और \(x^5\) या उच्चतर पद नहीं होगा। गुणांक 1 होना आवश्यक नहीं। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी शून्येतर घात पहचानें। / The degree is the highest power of \(x\) having a non-zero coefficient. Thus, the \(x^4\) coefficient must be non-zero and no \(x^5\) or higher term can occur. Its coefficient need not be 1. Exam tip: identify the highest non-zero power.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद की चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-3y-2 की कुल घात 3+2=5, x-2y-4 की 2+4=6 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 6 है। 5 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घात जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-3y-2, x-2y-4, and xy are 3+2=5, 2+4=6, and 1+1=2 respectively. Therefore, the highest total degree is 6. Option 5 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents in each term and select the greatest sum.
बहुपद की डिग्री 0 होने के लिए यह केवल अचर पद 3 रह जाना चाहिए। इसलिए \(x^9\) और \(x^4\) के गुणांक दोनों शून्य होने चाहिए। \(u=5\) रखने पर \(u^2-25=25-25=0\) तथा \(u-5=0\) मिलता है, अतः व्यंजक 3 बन जाता है। \(u=-5\) पर \(x^9\) का गुणांक तो शून्य है, लेकिन \(x^4\) का गुणांक \(-10\) रहता है; इसलिए उसकी डिग्री 4 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में सबसे बड़े घात वाले सभी पदों के गुणांक जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, only the constant term 3 must remain. Hence, the coefficients of both \(x^9\) and \(x^4\) must be zero. On substituting \(u=5\), \(u^2-25=25-25=0\) and \(u-5=0\), so the expression becomes 3. For \(u=-5\), the coefficient of \(x^9\) is zero, but the coefficient of \(x^4\) is \(-10\); therefore, its degree is 4. Exam tip: In degree-reduction questions, check the coefficients of every highest-power term that must vanish.
दिए गए व्यंजक में \(2x^8-2x^8=0\) और \(5x^4-5x^4=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=9x-1\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(0\) डिग्री केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को हमेशा सरल करें। / In the given expression, \(2x^8-2x^8=0\) and \(5x^4-5x^4=0\). Thus, \(F(x)=9x-1\). The highest power of \(x\) is \(1\), so the degree of the polynomial is \(1\). Degree \(0\) applies only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: always simplify like terms before finding the degree.
(\(x^3-2\)2=x-6-4x-3+4) होता है और घटाने पर चर के बड़े पद कट जाते हैं। बचा \(7x^2+4\) है जिसकी डिग्री (2) है। / (\(x^3-2\)2=x-6-4x-3+4), and after subtraction the higher variable terms cancel. The remaining \(7x^2+4\) has degree (2).
डिग्री (2) के लिए \(x^9\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^9\) and \(x^6\) terms must vanish. At (a=-3), both coefficients become (0).
पहले विस्तार करें: \(x^4(x^3+2)=x^7+2x^4\)। अतः व्यंजक \(x^7+2x^4-x^7+6x^5-8=6x^5+2x^4-8\) बनता है। \(x^7\) वाले पद आपस में कट जाते हैं और शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को अवश्य मिलाइए। / First expand: \(x^4(x^3+2)=x^7+2x^4\). Thus, the expression becomes \(x^7+2x^4-x^7+6x^5-8=6x^5+2x^4-8\). The \(x^7\) terms cancel, and the highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 is incorrect because the \(x^7\) term does not remain after simplification. Exam tip: expand brackets and combine like terms before finding a polynomial's degree.
जब \(k=4\) रखा जाता है, तब \(k-4=0\) हो जाता है। इसलिए \((k-4)^2x^8\) और \((k-4)x^5\) दोनों पद शून्य हो जाते हैं तथा \(q(x)=3x\) बचता है। \(3x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(1\) है। \(8\) या \(5\) मूल व्यंजक की घातें हैं, लेकिन उनके गुणांक शून्य होने पर वे पद नहीं रहते। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही शून्येतर पदों की सबसे बड़ी घात से डिग्री ज्ञात करें। / On substituting \(k=4\), we get \(k-4=0\). Hence, both \((k-4)^2x^8\) and \((k-4)x^5\) become zero, leaving \(q(x)=3x\). The highest power of \(x\) in \(3x\) is \(1\), so the degree of the polynomial is \(1\). Although \(8\) and \(5\) occur in the original expression, their terms vanish because their coefficients become zero. Exam tip: substitute the parameter value first, then find the highest power among the remaining non-zero terms.
दो बहुपदों \(P\) और \(Q\) की डिग्री 5 है। एक विद्यार्थी कहता है कि \(P+Q\) की डिग्री हमेशा 5 होगी। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
विकल्प A में \(P+Q=(x^5+x^3)+(-x^5+2x^2)=x^3+2x^2\) है, जिसकी डिग्री 3 है। अग्रणी पद कट सकते हैं। परीक्षा में जोड़ने के बाद ही डिग्री तय करें। / In option A, \(P+Q=(x^5+x^3)+(-x^5+2x^2)=x^3+2x^2\), which has degree 3. Leading terms may cancel. Exam tip: find the degree only after simplifying the sum.
\(7x^4-3x+1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए यह चतुर्थ घात का बहुपद है। \(x^4+\frac{1}{x}\) में \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घात जाँचें। / In \(7x^4-3x+1\), the highest exponent of \(x\) is 4 and all exponents are non-negative integers, so it is a fourth-degree polynomial. \(x^4+\frac{1}{x}\) contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check every exponent.
पहले पद की कुल घात (3+4=7) और दूसरे पद की (6+1=7) है। इसलिए कुल डिग्री (7) है। / The total power of the first term is (3+4=7) and of the second term is (6+1=7). Therefore the total degree is (7).
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 2, 6, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए डिग्री 6 है। 8, y की घात है; x के सापेक्ष डिग्री के लिए इसे नहीं लिया जाता। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficients. The powers of x in the given expression are 2, 6, 0, and 0. The greatest of these is 6, so the degree is 6. The exponent 8 belongs to y, so it is not considered for the degree in x. Exam tip: Check the highest exponent only of the variable named in the question.
\(y\) के सापेक्ष बहुपद की डिग्री, \(y\) की सबसे बड़ी घात होती है। दिए गए व्यंजक में \(y\) की घातें \(8, 3, 2\) और \(0\) हैं। सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए सही उत्तर \(8\) है। \(6\), \(x\) की एक घात है, \(y\) की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / The degree of a polynomial with respect to \(y\) is the greatest exponent of \(y\). In the given expression, the exponents of \(y\) are \(8, 3, 2\), and \(0\). The greatest exponent is \(8\), so the correct answer is \(8\). Although \(x\) has exponent \(6\) in one term, it does not determine the degree with respect to \(y\). Exam tip: compare powers only of the variable specified in the question.
बहुपद \(4x^n+3x^8-1\) में \(n>8\) होने पर \(x^n\) की घात 8 से बड़ी है। इसलिए \(4x^n\) वाला पद सबसे अधिक घात का पद होगा और बहुपद की डिग्री \(n\) होगी। दिए गए विकल्पों में केवल \(n=9\), \(n>8\) की शर्त को पूरा करता है। \(n=8\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(n>8\) नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय पहले बहुपद में सबसे बड़ी घात और दी गई असमानता की जाँच करें। / Since \(n>8\), the power \(n\) in the term \(4x^n\) is greater than 8. Thus, \(4x^n\) is the highest-degree term, and the degree of the polynomial is \(n\). Among the given choices, only \(n=9\) satisfies \(n>8\). Although \(n=8\) is the closest value, it does not satisfy the strict inequality. Exam tip: when finding degree, identify the greatest exponent and check every stated condition carefully.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(6x^7\) पद के कारण डिग्री 7 है। शर्त \(m<7\) के अनुसार \(m=5\) संभव है और तब सबसे बड़ी घात फिर भी 7 रहती है। \(m=7\) डिग्री 7 देता है, लेकिन दी गई असमानता \(m<7\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सभी घातों की तुलना करें और दी गई शर्त को अलग से अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. The term \(6x^7\) makes the degree 7. Since \(m<7\), \(m=5\) is possible, and the greatest exponent still remains 7. Although \(m=7\) would also keep the degree 7, it does not satisfy the given condition \(m<7\). Exam tip: compare all exponents and then check every stated condition separately.
\((x^3-2)^3\) में उच्चतम घात वाला पद \((x^3)^3=x^9\) प्राप्त होता है। अतः बहुपद की उच्चतम घात 9 है, इसलिए इसकी डिग्री 9 है। विकल्प 6 इसलिए गलत है क्योंकि घातों को जोड़ने के बजाय यहाँ 3 को 3 से गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए उसके विस्तार में सबसे बड़ी घात वाले पद को देखें। / In \((x^3-2)^3\), the term with the highest power is \((x^3)^3=x^9\). Therefore, the highest exponent in the polynomial is 9, so its degree is 9. Option 6 is incorrect because the exponents are multiplied here: \(3\times3\), not added. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the term with the greatest exponent after expansion or simplification.
\((x^4+3)^2=x^8+6x^4+9\) है। इसलिए \((x^8+6x^4)\) घटाने पर \(x^8\) और \(6x^4\) पद कट जाते हैं तथा केवल स्थिर बहुपद \(9\) बचता है। किसी अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(8\) लेने की गलती तब होती है जब घटाने के बाद होने वाले पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / \((x^4+3)^2=x^8+6x^4+9\). On subtracting \((x^8+6x^4)\), the terms \(x^8\) and \(6x^4\) cancel, leaving only the non-zero constant polynomial \(9\). The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(8\) would result from ignoring the cancellation after subtraction. Exam tip: always simplify the complete expression before finding its degree.
\(b\neq-2\) होने पर \(x^{12}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (12) रहेगी। / When \(b\neq-2\), the coefficient of \(x^{12}\) is not zero. Therefore the highest power remains (12).
जब \(b=-2\) रखा जाता है, तब \(b+2=0\) हो जाता है। इसलिए \((b+2)x^{12}\) पद का गुणांक शून्य है और यह पद हट जाता है। बहुपद \(5x^6-4\) बचता है, जिसकी सबसे बड़ी घात 6 है; अतः इसकी डिग्री 6 है। 12 चुनना गलत होगा, क्योंकि \(x^{12}\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए चर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / On substituting \(b=-2\), we get \(b+2=0\). Hence, the coefficient of \(x^{12}\) is zero, so that term disappears. The remaining polynomial is \(5x^6-4\), whose highest power of \(x\) is 6. Therefore, its degree is 6. Choosing 12 would be incorrect because the \(x^{12}\) term has zero coefficient. Exam tip: substitute the given parameter value and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
B. डिग्री 4 है, क्योंकि \(5x^6-5x^6=0\)/The degree is 4 because \(5x^6-5x^6=0\)
Explanation
Simple Explanation
समान पदों को मिलाने पर \(5x^6-5x^6=0\), इसलिए \(P(x)=3x^4-x+1\) बनता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 4 है। परीक्षा में डिग्री निकालने से पहले पदों को सरल करें। / Combining like terms gives \(5x^6-5x^6=0\), so \(P(x)=3x^4-x+1\). The highest exponent with a non-zero coefficient is 4. Exam tip: simplify the polynomial before identifying its degree.
पहले कोष्ठक का विस्तार करें: \(3x^5(x^2-1)=3x^7-3x^5\)। अतः पूरा व्यंजक \(3x^7-3x^5-3x^7+8x^4=-3x^5+8x^4\) बनता है। \(3x^7\) और \(-3x^7\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 विस्तार से पहले दिखने वाली घात है, लेकिन सरल करने पर उसका पद समाप्त हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First expand the bracket: \(3x^5(x^2-1)=3x^7-3x^5\). Therefore, the expression becomes \(3x^7-3x^5-3x^7+8x^4=-3x^5+8x^4\). The terms \(3x^7\) and \(-3x^7\) cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 may seem tempting before simplification, but its term cancels out. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (25) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (25) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (8) है और \(x^7\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^7\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (8), and the \(x^7\) term is absent. So the coefficient of \(x^7\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
\(x^3(x^3-2)=x^6-2x^3\)। अतः
\(p(x)=x^6-2x^3-x^6+2x^3+11=11\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 6 प्रारम्भिक पद देखकर लग सकता है, लेकिन समान घात वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression:
\(x^3(x^3-2)=x^6-2x^3\). Hence,
\(p(x)=x^6-2x^3-x^6+2x^3+11=11\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 6 may seem likely from the initial terms, but the terms with equal powers cancel out. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
पहले गुणा करने पर \((x^3+3x)(x^4-x)=x^7+3x^5-x^4-3x^2\) प्राप्त होता है। इसमें से \(x^7\) घटाने पर \(x^7\) पद कट जाता है और बहुपद \(3x^5-x^4-3x^2\) बचता है। इसकी सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए डिग्री \(5\) है। \(7\) गुणन से बनने वाली प्रारम्भिक सबसे बड़ी घात है, लेकिन वह घटाने के कारण अंतिम बहुपद में नहीं रहती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान घात वाले पदों को सरल करके काटना अवश्य जाँचें। / First, \((x^3+3x)(x^4-x)=x^7+3x^5-x^4-3x^2\). On subtracting \(x^7\), the \(x^7\) terms cancel, leaving \(3x^5-x^4-3x^2\). The highest exponent in the resulting polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Option \(7\) is the highest power before simplification, but it does not remain in the final polynomial. Exam tip: always simplify and combine like terms before deciding the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^6\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^6\) and \(x^4\) terms must vanish. At (c=5), both coefficients become (0).
डिग्री (3) के लिए \(x^5\) पद हटना चाहिए और \(x^3\) पद बचना चाहिए। (d=-2) पर यह सही होता है। / For degree (3), the \(x^5\) term must vanish and the \(x^3\) term must remain. This is true at (d=-2).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-3y-2z-5 की कुल घात 3+2+5=10 है, 2x-4yz-3 की कुल घात 4+1+3=8 है और अचर पद -6 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 10 है। विकल्प 8 दूसरे पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग अलग-अलग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. For x-3y-2z-5, the sum is 3+2+5=10; for 2x-4yz-3, it is 4+1+3=8; and the constant term -6 has degree 0. Hence, the total degree is 10. Option 8 is the degree of the second term, not of the whole polynomial. Exam tip: Find the sum of exponents in each term separately, then choose the greatest sum.
(z) की सबसे बड़ी घात (6) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (6). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
displaystyle \(x^3+x\)2=x-6+2x-4+x-2 है। अतः
displaystyle h(x)=x-6+2x-4+x-2-x-6-2x-4=x-2। शून्येतर बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री होती है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। 6 और 4 घात वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: पहले व्यंजक का विस्तार करें, फिर समान पदों को मिलाकर डिग्री ज्ञात करें। / displaystyle \(x^3+x\)2=x-6+2x-4+x-2. Therefore,
displaystyle h(x)=x-6+2x-4+x-2-x-6-2x-4=x-2. The degree of a non-zero polynomial is the highest power of the variable, so the degree is 2. The terms with powers 6 and 4 cancel out. Exam tip: Expand first and combine like terms before finding the degree.
घन बहुपद की उच्चतम घात 3 होनी चाहिए। इसलिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होगा: \(a-3=0\), अतः \(a=3\)। तब \(P(x)=2x^3-1\) है। परीक्षा टिप: डिग्री तय करते समय शून्य गुणांक वाले पद को छोड़ दें। / A cubic polynomial must have highest power 3. Thus, the coefficient of \(x^5\) must be zero: \(a-3=0\), so \(a=3\). Then \(P(x)=2x^3-1\). Exam tip: ignore any term whose coefficient becomes zero.
A. उनके अग्र गुणांकों का योग 0 हो/Their leading coefficients have sum 0
Explanation
Simple Explanation
समान डिग्री के पदों के अग्र गुणांक यदि परस्पर विपरीत हों, तो उनका योग 0 हो जाता है और उच्चतम घात वाला पद कट जाता है। इसलिए डिग्री घट सकती है। परीक्षा टिप: पहले उच्चतम घात के गुणांकों को जाँचें। / If the leading coefficients of equal-degree terms are additive inverses, their sum is 0 and the highest-degree term cancels. Hence the degree may decrease. Exam tip: check the leading coefficients first.
कोष्ठक खोलते समय दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: p(x)=x-5-3x-2+2-x-5+x-2=-2x-2+2। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 5 डिग्री नहीं होगी क्योंकि x-5 के पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: घटाव वाले कोष्ठक खोलने से पहले सभी चिह्न बदलना न भूलें। / While removing the brackets, the sign of every term in the second polynomial changes: p(x)=x-5-3x-2+2-x-5+x-2=-2x-2+2. The highest power of x is 2, so the degree of the polynomial is 2. It is not 5 because the x-5 terms cancel each other. Exam tip: When subtracting a polynomial in brackets, change the signs of all its terms.
व्यंजक को फैलाने पर
\(x^5(x^2+1)-x^2(x^5-4)=x^7+x^5-x^7+4x^2=x^5+4x^2\)। यहाँ \(x^7\) के पद निरस्त हो जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 7 तब मिलता यदि निरस्तीकरण को ध्यान में न रखा जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके समान घात वाले पदों को मिलाइए। / On expanding, \(x^5(x^2+1)-x^2(x^5-4)=x^7+x^5-x^7+4x^2=x^5+4x^2\). The \(x^7\) terms cancel out. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 7 would result from ignoring this cancellation. Exam tip: simplify a polynomial and combine like terms before finding its degree.
(e=2) पर \(x^{10}\) पद हटता है लेकिन \(x^8\) का गुणांक (3) रहता है। इसलिए डिग्री (8) है। / At (e=2), the \(x^{10}\) term vanishes but the coefficient of \(x^8\) remains (3). Therefore the degree is (8).
दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 गलत है, क्योंकि अशून्य अचर बहुपद की डिग्री 0 होती है; शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले देखें कि बहुपद शून्य बहुपद तो नहीं है। / Every term in the given expression has coefficient 0, so it is the zero polynomial. Since the zero polynomial has no non-zero term, its degree is not defined. Option 0 is incorrect because a non-zero constant polynomial has degree 0, whereas the zero polynomial does not. Exam tip: Before finding a degree, first check whether the polynomial is the zero polynomial.
काव्या ने बहुपद \(p(x)=6x^2-4x^7+9x^5-3\) की डिग्री 5 लिखी, क्योंकि उसने धनात्मक गुणांक वाला सबसे बड़ा घात चुना। उसकी त्रुटि को सही ढंग से कौन बताता है?
B. गुणांक का चिह्न डिग्री को प्रभावित नहीं करता; बहुपद की डिग्री 7 है/The sign of a coefficient does not affect degree; the degree of the polynomial is 7.
Explanation
Simple Explanation
डिग्री वह सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्य नहीं है। \(-4x^7\) का गुणांक ऋणात्मक है, पर शून्य नहीं; इसलिए डिग्री 7 है। परीक्षा में गुणांक का चिह्न नहीं, सबसे बड़ी घात देखें। / The degree is the highest exponent whose coefficient is non-zero. In \(-4x^7\), the coefficient is negative but not zero, so the degree is 7. Exam tip: ignore coefficient signs and check the greatest exponent.
बहुपद \(x^4y^3+2x\) में पद \(x^4y^3\) की कुल घात \(4+3=7\) है। दूसरे पद \(2x\) की घात 1 है, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी कुल घात 7 है। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A में सबसे बड़ी कुल घात \(2+3=5\) है। परीक्षा टिप: बहुचर वाले पद में सभी चरों की घातों का योग लें, फिर सबसे बड़ा योग बहुपद की कुल डिग्री देता है। / In \(x^4y^3+2x\), the term \(x^4y^3\) has total degree \(4+3=7\). The other term, \(2x\), has degree 1, so the greatest total degree in the polynomial is 7. Hence, option B is correct. In option A, the greatest total degree is only \(2+3=5\). Exam tip: For a multivariable term, add the exponents of all variables; the largest such sum gives the total degree of the polynomial.
\(0x^{15}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{13}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (13) है। / \(0x^{15}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{13}\) term. Therefore the degree is (13).
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि अशून्य बहुपदों के अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) होती है। परीक्षा में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य देखें। / If the leading terms of non-zero polynomials are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\), not the larger degree. Exam tip: note the non-zero condition.
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=2) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^7\) terms must vanish. At (s=2), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^7+3x^2+5)-(x^7+3x^2)=5\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(7\) मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद उच्च घात वाले पद समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाने के बाद बचे हुए सरलतम बहुपद से ही डिग्री ज्ञात करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^7+3x^2+5)-(x^7+3x^2)=5\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Although the original polynomials have degree \(7\), their highest-degree terms cancel after subtraction. Exam tip: always simplify the polynomial first, then identify its highest power of the variable.
\(A(x)+B(x)=(x^6+2)+(-x^6+4x^3)=4x^3+2\)। यहाँ \(x^6\) के पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। प्राप्त बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 6 गलत है क्योंकि जोड़ के बाद \(x^6\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही शून्येतर पद का सबसे बड़ा घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^6+2)+(-x^6+4x^3)=4x^3+2\). The \(x^6\) terms cancel each other. The highest exponent in the resulting polynomial is 3, so its degree is 3. Option 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after addition. Exam tip: Find the degree only after simplifying the sum and identifying the highest power with a non-zero coefficient.
सर्वसमिका \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर \((x^3-4)(x^3+4)=x^6-16\) मिलता है। अतः \(P(x)=x^6-16-x^6=-16\)। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) है। \(6\) डिग्री नहीं होगी, क्योंकि \(x^6\) के पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य मिलाएँ। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^3-4)(x^3+4)=x^6-16\). Therefore, \(P(x)=x^6-16-x^6=-16\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). It is not degree \(6\), because the \(x^6\) terms cancel. Exam tip: simplify the expression and combine like terms before finding the degree.
यहाँ a=6 और b=10 रखने पर बहुपद 3x-6+2x-10+1 बनता है। किसी बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में x की सबसे बड़ी घात होती है। अतः सबसे बड़ी घात 10 है, इसलिए डिग्री 10 है। 16 दोनों घातों का योग है, पर बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए घातों को जोड़ा नहीं जाता। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें और फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a=6 and b=10 gives the polynomial 3x-6+2x-10+1. The degree of a polynomial is the greatest exponent of x in any of its terms. The greatest exponent is 10, so its degree is 10. Although 16 is the sum of the exponents, exponents are not added to find the degree of a polynomial. Exam tip: identify the exponent of the variable in every term and select the greatest one.
पहले विस्तार करें: \(x^3(x^2+x)=x^5+x^4\)। अतः \(p(x)=x^5+x^4-x^5-x^4+15=15\)। शून्येतर अचर बहुपद \(15\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही विकल्प \(0\) है। \(5\) विस्तार से पहले का सबसे बड़ा घात है, लेकिन उसके पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^3(x^2+x)=x^5+x^4\). Therefore, \(p(x)=x^5+x^4-x^5-x^4+15=15\). A non-zero constant polynomial such as \(15\) has degree \(0\), so \(0\) is correct. Degree \(5\) appears before simplification, but its terms cancel out. Exam tip: simplify an expression and combine like terms before finding its degree.
बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग गुणकों की डिग्रियों का योग होती है। यहाँ \(x^3\) की डिग्री 3 और \((x-2)^2\) की डिग्री \(2\times 1=2\) है। अतः कुल डिग्री \(3+2=5\) है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि \((x-2)^2\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 ही होती है। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के रूप में दिए बहुपद में प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / The degree of a product of non-zero polynomials is the sum of the degrees of its factors. Here, \(x^3\) has degree 3 and \((x-2)^2\) has degree \(2\times 1=2\). Therefore, the total degree is \(3+2=5\). Option 6 is incorrect because the highest power of \(x\) in \((x-2)^2\) is only 2. Exam tip: For a polynomial written as a product of factors, add the degrees of the factors.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अचर, शून्येतर बहुपद हो। यहाँ 20 पहले से शून्येतर अचर पद है, इसलिए x वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः r+6=0, जिससे r=-6 प्राप्त होता है। r=0 रखने पर x-8 का गुणांक 6 रहेगा और डिग्री 8 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री 0 के लिए सभी चर वाले पदों को समाप्त करना आवश्यक है। / A polynomial has degree 0 when it is a non-zero constant. Since 20 is already a non-zero constant term, the coefficients of both terms containing x must be zero. Thus, r+6=0, giving r=-6. If r=0, the coefficient of x-8 remains 6, so the degree would be 8. Exam tip: for degree 0, every variable term must vanish.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\)। विकल्प 5 केवल \(p(x)\) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम लागू नहीं होता। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=5+4=9\). Option 5 is only the degree of \(p(x)\), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not apply directly to addition or subtraction.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें: \(x^4y^2\) की कुल घात \(4+2=6\), \(x^2y^5\) की \(2+5=7\), और \(xy\) की \(1+1=2\) है। इन कुल घातों में सबसे बड़ी 7 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 7 है। विकल्प 6 केवल पहले पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले पद में सभी चरों की घातों को जोड़ें, फिर सबसे बड़ी योगफल चुनें। / Find the total degree of each term: \(x^4y^2\) has degree \(4+2=6\), \(x^2y^5\) has degree \(2+5=7\), and \(xy\) has degree \(1+1=2\). The greatest of these is 7, so the total degree of the polynomial is 7. Option 6 is only the degree of the first term. Exam tip: For a term with two or more variables, add their exponents and then choose the greatest such sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-6) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^5\) terms must vanish. At (u=-6), both coefficients are (0).
समान पदों को मिलाने पर \(3x^9-3x^9=0\) और \(4x^5-4x^5=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=6x^2-1\) बचता है। इसमें चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 0 केवल अचर बहुपद के लिए होता है, जबकि यहाँ \(6x^2\) पद उपस्थित है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / Combining like terms gives \(3x^9-3x^9=0\) and \(4x^5-4x^5=0\). Thus, \(F(x)=6x^2-1\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 2, so its degree is 2. Option 0 applies only to a non-zero constant polynomial, but \(6x^2\) is present here. Exam tip: Always simplify a polynomial by combining like terms before finding its degree.
(\(x^4+2x^2\)2=x-8+4x-6+4x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(4x^4+5x\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^4+2x^2\)2=x-8+4x-6+4x-4). After higher terms cancel, \(4x^4+5x\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (2) के लिए \(x^{11}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (v=7) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{11}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (v=7), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^7\) पद बनता है और बाहर का \(-x^7\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (5) है। / The product creates an \(x^7\) term and the outside \(-x^7\) cancels it. The remaining highest power is (5).
डिग्री (6) के लिए \(x^{10}\) पद हटना चाहिए और \(x^6\) पद बचना चाहिए। (a=4) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (6), the \(x^{10}\) term must vanish and the \(x^6\) term must remain. This condition holds at (a=4).
फैलाने पर \(2x^8-2x^5-2x^8+7x^4\) मिलता है। \(x^8\) कटता है और सबसे बड़ी घात (5) रहती है। / On expanding, we get \(2x^8-2x^5-2x^8+7x^4\). The \(x^8\) term cancels and the highest power left is (5).
यहाँ k=-1 रखने पर (k+1)2=0 और k-2-1=0 हो जाते हैं। इसलिए x-9 तथा x-5 वाले पद समाप्त हो जाते हैं और q(x)=-4x+6 बचता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 0 डिग्री केवल अशून्य अचर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले उच्च घात के पद हटाएँ, फिर सबसे बड़ी बची हुई घात देखें। / On substituting k=-1, we get (k+1)2=0 and k-2-1=0. Thus, the x-9 and x-5 terms vanish, leaving q(x)=-4x+6. The highest power of x in the remaining polynomial is 1, so its degree is 1. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: substitute the parameter first, remove terms with zero coefficients, and then identify the highest remaining exponent.
A. \(x^4\) का गुणांक शून्येतर हो और \(x\) की 4 से बड़ी घात वाला कोई पद न हो।/The coefficient of \(x^4\) is non-zero and no term has a power of \(x\) greater than 4.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्येतर हो। इसलिए \(x^4\) होना और उससे बड़ी घात न होना आवश्यक है। परीक्षा में पदों की संख्या नहीं, सबसे बड़ी घात जाँचें। / The degree is the greatest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient. Thus, an \(x^4\) term must remain and no higher power may occur. Exam tip: count the highest valid exponent, not the number of terms.
अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है: \(5+5=10\)। योग या अंतर में अग्रणी पद कट सकते हैं। परीक्षा टिप: गुणन के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees: \(5+5=10\). In a sum or difference, leading terms may cancel. Exam tip: add degrees only for multiplication.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 5+3=8, 2+8=10, 1+1=2 और स्थिर पद के लिए 0 हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात 10 है, इसलिए सही उत्तर 10 है। 8 केवल पहले पद 4x-5y-3 की कुल घात है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of the terms are 5+3=8, 2+8=10, 1+1=2, and 0 for the constant term. The greatest value is 10, so the correct answer is 10. Note that 8 is only the total degree of the first term, 4x-5y-3. Exam tip: Add the exponents in each term and select the largest sum.
x के संदर्भ में डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 6, 4, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए बहुपद की x के संदर्भ में डिग्री 6 है। 9, y की घात है; यह x के संदर्भ में डिग्री नहीं बताती। परीक्षा टिप: जिस चर के संदर्भ में डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 6, 4, 0, and 0. The greatest power is 6, so the degree of the polynomial with respect to x is 6. The number 9 is the power of y, not the degree with respect to x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable named in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की घातों को देखा जाता है; x को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में y की घातें 9, 2, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए सही उत्तर 9 है। 6, x की सबसे बड़ी घात है, y के संदर्भ में डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के संदर्भ में डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की उच्चतम घात चुनें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y; x is treated as part of the coefficient. The powers of y in the expression are 9, 2, 1, and 0. The greatest power is 9, so the degree is 9. Although 6 is the greatest power of x, it is not the degree with respect to y. Exam tip: always identify the variable named in the question before selecting the highest exponent.
जब (n>8) है तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=11) ही शर्त पूरी करता है। / When (n>8), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=11) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(4x^7\) पद के कारण डिग्री 7 है। शर्त \(m<7\) के अनुसार \(m=5\) संभव है और तब भी सबसे बड़ी घात 7 ही रहती है। \(m=7\) शर्त को पूरा नहीं करता, जबकि \(m=8\) या \(m=10\) होने पर बहुपद की डिग्री क्रमशः 8 या 10 हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(4x^7\) makes the degree 7. Since \(m<7\), \(m=5\) is possible, and the greatest exponent still remains 7. \(m=7\) does not satisfy the strict inequality, while \(m=8\) or \(m=10\) would make the polynomial’s degree 8 or 10. Exam tip: compare the exponents of all variable terms to find the degree.
बहुपद के भीतर सबसे अधिक घात वाला पद x-4 है। पूरे व्यंजक को घात 3 करने पर उसका उच्चतम घात वाला पद \(x^4\)3=x^{12} होगा। अतः बहुपद की डिग्री 12 है। 24 इसलिए सही नहीं है क्योंकि घातों को गुणा किया जाता है: 4×3=12, न कि 4 का कोई अतिरिक्त गुणन। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री को उस घात से गुणा करें, यदि उच्चतम पद निरस्त न हो। / Inside the polynomial, the term with the greatest exponent is x-4. When the entire expression is raised to the power 3, its highest-degree term is \(x^4\)3=x^{12}. Hence, the degree of the polynomial is 12. Option 24 is incorrect because the exponents are multiplied: 4×3=12. Exam tip: when a polynomial is raised to a power, multiply its degree by that power, provided the leading term does not cancel.
-5/x को \(-5x^{-1}\) लिखा जा सकता है। इसमें x का घात ऋणात्मक है, इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद ही नहीं है और इसकी डिग्री 3 नहीं कही जा सकती। परीक्षा में पहले सभी घातों को जाँचें। / The term -5/x can be written as \(-5x^{-1}\). Since x has a negative exponent, the expression is not a polynomial, so it cannot have degree 3. Exam tip: check exponents before finding degree.
\(b\neq3\) होने पर \(x^{12}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (12) रहेगी। / When \(b\neq3\), the coefficient of \(x^{12}\) is not zero. Therefore the highest power remains (12).
जब \(b=3\) रखते हैं, तब \((b-3)=0\) हो जाता है। इसलिए \((b-3)x^{12}\) पद शून्य हो जाता है और बहुपद \(2x^5-9\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है। 12 सही नहीं है क्योंकि \(x^{12}\) वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले पैरामीटर का मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें, फिर सबसे बड़ी बची हुई घात देखें। / On substituting \(b=3\), we get \((b-3)=0\). Hence, the term \((b-3)x^{12}\) becomes zero and the polynomial reduces to \(2x^5-9\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 12 is not correct because the \(x^{12}\) term has vanished. Exam tip: substitute the parameter first, remove zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
A. \(6x^7\) और \(-6x^7\) कट जाते हैं; सरल रूप में उच्चतम घात 4 है, इसलिए डिग्री 4 है।/\(6x^7\) and \(-6x^7\) cancel; the highest power in the simplified form is 4, so the degree is 4.
Explanation
Simple Explanation
समान पदों को मिलाने पर \(6x^7-6x^7=0\), इसलिए व्यंजक \(-2x^4+x^3\) बनता है। इसकी उच्चतम घात 4 है। परीक्षा में डिग्री निकालने से पहले बहुपद को हमेशा सरल करें। / Combining like terms gives \(6x^7-6x^7=0\), so the expression becomes \(-2x^4+x^3\). Its highest exponent is 4. In exams, always simplify a polynomial before finding its degree.
पहले व्यंजक का प्रसार करें: \(3x^4(x^4-2)=3x^8-6x^4\)। अतः पूरा बहुपद \(3x^8-6x^4-3x^8+11x^6=11x^6-6x^4\) होगा। \(3x^8\) और \(-3x^8\) कट जाते हैं, इसलिए शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है; 8 केवल सरल करने से पहले दिखाई देने वाली घात है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First expand the expression: \(3x^4(x^4-2)=3x^8-6x^4\). Thus, the polynomial becomes \(3x^8-6x^4-3x^8+11x^6=11x^6-6x^4\). The terms \(3x^8\) and \(-3x^8\) cancel, so the highest remaining exponent is 6. Therefore, the degree is 6; 8 is only visible before simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (43) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (43) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
चौथे बहुपद की डिग्री (6) है और \(x^5\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक (0) है। / The fourth polynomial has degree (6), and the \(x^5\) term is absent. So the coefficient of \(x^5\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^3(x^5-4)=x^8-4x^3\)। अतः \(p(x)=x^8-4x^3-x^8+4x^3+19=19\)। शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(8\) लेने की गलती तब होती है जब समान पदों \(x^8\) और \(-x^8\) के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / First simplify the expression: \(x^3(x^5-4)=x^8-4x^3\). Thus, \(p(x)=x^8-4x^3-x^8+4x^3+19=19\). A non-zero constant polynomial has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(8\) would result from overlooking the cancellation of \(x^8\) and \(-x^8\). Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
एक विद्यार्थी कहता है कि दो बहुपदों की डिग्री 6 होने पर उनके योग की डिग्री भी हमेशा 6 होगी। यदि \(p(x)=x^6-3x^2\) और \(q(x)=-x^6+5x\) हों, तो निम्न में से कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. योग की डिग्री 2 है, क्योंकि \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं।/The sum has degree 2 because the \(x^6\) terms cancel.
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\)। \(x^6\) पद कटने के बाद सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए डिग्री 2 है। परीक्षा टिप: योग में पहले समान घात वाले पदों को सरल करें। / \(p(x)+q(x)=(x^6-3x^2)+(-x^6+5x)=-3x^2+5x\). After the \(x^6\) terms cancel, the highest remaining exponent is 2, so the degree is 2. Exam tip: simplify like terms before finding degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^6\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^6\) and \(x^4\) terms must vanish. At (c=-3), both coefficients become (0).
डिग्री (5) के लिए \(x^7\) पद हटना चाहिए और \(x^5\) पद बचना चाहिए। (d=6) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the \(x^7\) term must vanish and the \(x^5\) term must remain. This condition holds at (d=6).
बहुपद की कुल डिग्री उसके पदों की कुल घातों में सबसे बड़ी घात होती है। पहले पद \(x^3y^4z^5\) की कुल घात \(3+4+5=12\) है। दूसरे पद \(2x^5y^2z^3\) की कुल घात \(5+2+3=10\) तथा अचर पद \(-7\) की घात \(0\) है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात \(12\) है। \(10\) केवल दूसरे पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: बहुचर पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. For the first term, \(x^3y^4z^5\), the total degree is \(3+4+5=12\). The second term, \(2x^5y^2z^3\), has total degree \(5+2+3=10\), while the constant term \(-7\) has degree \(0\). Hence, the greatest total degree is \(12\). Option \(10\) is only the degree of the second term. Exam tip: In a multivariable term, add the exponents of all variables before comparing terms.
(z) की सबसे बड़ी घात (8) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (8). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
मान लें कि अशून्य बहुपद \(p(x)\) और \(q(x)\), दोनों की घात \(n\) है तथा \(p(x)+q(x)\) भी अशून्य है। \(p(x)+q(x)\) की घात \(n\) से कम होने के लिए कौन-सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
A. \(x^n\) के गुणांक परस्पर योगात्मक प्रतिलोम हों/The coefficients of \(x^n\) are additive inverses of each other
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों में \(x^n\) का पद सबसे उच्च घात वाला है। यदि उसके गुणांकों का योग शून्य हो, तो \(x^n\) पद कट जाता है और शेष अशून्य योग की घात \(n\) से कम होगी। स्थिर पद इसमें प्रभावी नहीं होते। परीक्षा टिप: पहले सबसे उच्च घात वाले पदों के गुणांक जाँचें। / The \(x^n\) terms are the highest-degree terms in both polynomials. If their coefficients add to zero, these terms cancel, so the remaining non-zero sum has degree below \(n\). Constant terms do not control degree. Exam tip: compare leading coefficients first.
रीमा कहती है कि बहुपद \((x^4-5x^2+1)(2x^3+x)-2x^7\) की डिग्री 7 है, क्योंकि उसने गुणनखंडों की डिग्रियाँ जोड़ दी हैं। रीमा की त्रुटि को ध्यान में रखते हुए बहुपद की सही डिग्री क्या है?
गुणन करने पर \((x^4-5x^2+1)(2x^3+x)=2x^7-9x^5-3x^3+x\) मिलता है। इसमें से \(2x^7\) घटाने पर उच्च घात वाले पद निरस्त हो जाते हैं और बहुपद \(-9x^5-3x^3+x\) बचता है। इसका उच्चतम घात वाला पद \(-9x^5\) है, इसलिए डिग्री 5 है। 7 केवल गुणनफल की डिग्री होती; बाहरी \(-2x^7\) से निरस्तीकरण जाँचना आवश्यक है। परीक्षा टिप: डिग्री बताने से पहले बहुपद को सरल करके शून्य गुणांक वाले उच्चतम पद हटाएँ। / Expanding gives \((x^4-5x^2+1)(2x^3+x)=2x^7-9x^5-3x^3+x\). After subtracting \(2x^7\), the highest-degree terms cancel, leaving \(-9x^5-3x^3+x\). Its leading term is \(-9x^5\), so the degree is 5. Degree 7 applies only before this cancellation. Exam tip: simplify fully and check whether leading terms cancel before finding the degree.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे बहुपद के सभी पदों के चिह्न बदलेंगे: \(p(x)=x^6-4x^2+5-x^6+x^2=-3x^2+5\)। \(x^6\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। 6 चुनना गलत है, क्योंकि \(x^6\) का पद सरल करने के बाद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / On opening the brackets, the signs of all terms in the second polynomial change: \(p(x)=x^6-4x^2+5-x^6+x^2=-3x^2+5\). The \(x^6\) terms cancel, and the highest power remaining is 2; hence the degree is 2. Choosing 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक को फैलाने पर मिलता है: \(x^5(x^3+1)-x^3(x^5-4)=x^8+x^5-x^8+4x^3=x^5+4x^3\)। यहाँ \(x^8\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि \(x^8\) पद सरल करने के बाद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / On expanding, \(x^5(x^3+1)-x^3(x^5-4)=x^8+x^5-x^8+4x^3=x^5+4x^3\). The \(x^8\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 5, so its degree is 5. Option 8 is incorrect because the \(x^8\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
(e=4) पर \(x^{11}\) पद हटता है लेकिन \(x^8\) का गुणांक (6) रहता है। इसलिए डिग्री (8) है। / At (e=4), the \(x^{11}\) term vanishes but the coefficient of \(x^8\) remains (6). Therefore the degree is (8).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=0 प्राप्त होता है, क्योंकि प्रत्येक पद का गुणांक 0 है। इसे शून्य बहुपद कहते हैं। शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य गुणांक वाला उच्चतम घात का पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 0 को इसकी डिग्री नहीं मानते; स्थिर गैर-शून्य बहुपद की डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके सभी शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, p(x)=0 because every term has coefficient 0. This is called the zero polynomial. It has no highest-power term with a non-zero coefficient, so its degree is not defined. Do not assign degree 0 to it; degree 0 is for a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify a polynomial and remove all zero-coefficient terms before finding its degree.
मान लें कि \(\deg(p)=m\) और \(\deg(q)=n\)। यदि उनके अग्र पद क्रमशः \(ax^m\) और \(bx^n\) हैं, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। क्योंकि \(a\neq0\) और \(b\neq0\), इसलिए \(ab\neq0\) होता है और \(\deg(pq)=m+n\)। विकल्प B सामान्यतः अधिकतम डिग्री बताता है, जो गुणनफल के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती, इसलिए यह नियम केवल अशून्य बहुपदों के लिए लागू है। / Let \(\deg(p)=m\) and \(\deg(q)=n\). If their leading terms are \(ax^m\) and \(bx^n\), respectively, then the leading term of the product is \(abx^{m+n}\). Since \(a\neq0\) and \(b\neq0\), we have \(ab\neq0\), so \(\deg(pq)=m+n\). Option B gives the maximum degree, which is not generally true for a product. Exam tip: the degree of the zero polynomial is not defined, so this rule applies only to non-zero polynomials.
\(0x^{15}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{13}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (13) है। / \(0x^{15}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{13}\) term. Therefore the degree is (13).
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-4) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^5\) terms must vanish. At (s=-4), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^7+2x^3+5)-(x^7+2x^3)=5\)। \(5\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(7\) मूल बहुपदों की डिग्री है, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों का अंतर निकालने के बाद ही उसका उच्चतम घात वाला अशून्य पद देखकर डिग्री तय करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^7+2x^3+5)-(x^7+2x^3)=5\). Since \(5\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degree \(7\) is the degree of the original polynomials, not of their difference. Exam tip: first simplify the resulting polynomial, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
A(x)+B(x)=\(x^6+9\)+\(-x^6+4x^2\)=4x-2+9। यहाँ x-6 और -x-6 पदों का योग शून्य हो जाता है। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 6 सही नहीं है, क्योंकि x-6 पद निरस्त हो चुका है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उच्चतम घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / A(x)+B(x)=\(x^6+9\)+\(-x^6+4x^2\)=4x-2+9. The x-6 and -x-6 terms cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Option 6 is incorrect because the x-6 term no longer remains. Exam tip: always simplify a sum of polynomials before identifying its degree.
a=5 और b=9 रखने पर बहुपद 4x-5+3x-9+1 बनता है। इसकी पदों की घातें 5, 9 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 9 है। 5 केवल 4x-5 पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरलीकरण के बाद सबसे अधिक घात वाला पद देखें। / Substituting a=5 and b=9 gives the polynomial 4x-5+3x-9+1. The degrees of its terms are 5, 9, and 0. The greatest degree is 9, so the degree of the polynomial is 9. Option 5 is only the degree of the term 4x-5, not of the whole polynomial. Exam tip: After simplifying a polynomial, identify the term with the highest power of the variable.
पहले गुणा करने पर (x-4\(x^3+x\)=x-7+x-5) मिलता है। अतः (p(x)=x-7+x-5-x-7-x-5+31=31) है। 31 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। विकल्प 7 तब मिलता यदि उच्चतम घात वाले पदों का निरसन न होता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा पदों को सरल करके समान पदों का निरसन जाँचें। / First, expand: (x-4\(x^3+x\)=x-7+x-5). Therefore, (p(x)=x-7+x-5-x-7-x-5+31=31). Since 31 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. Degree 7 would result only if the cancellation of the highest-degree terms were ignored. Exam tip: simplify a polynomial and combine or cancel like terms before finding its degree.
\(x^5\) की डिग्री 5 है और \((x-2)^2\) की डिग्री 2 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है, इसलिए कुल डिग्री \(5+2=7\) है। विकल्प \(10\) घातों को गुणा करने की गलत धारणा से आ सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें, जबकि किसी बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री उस घात से गुणा होती है। / The degree of \(x^5\) is 5, and the degree of \((x-2)^2\) is 2. The degree of the product of two non-zero polynomials is the sum of their degrees, so the total degree is \(5+2=7\). Option \(10\) may result from incorrectly multiplying the degrees. Exam tip: add degrees in a product; multiply the degree only when a polynomial itself is raised to a power.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अशून्य स्थिरांक हो। इसलिए \(x^8\) और \(x^3\) वाले दोनों पदों का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-7\) है, अतः \(r-7=0\), जिससे \(r=7\) प्राप्त होता है। \(r=-7\) रखने पर उच्च घात वाले पद समाप्त नहीं होते। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में डिग्री घटाने के लिए सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य करें। / A polynomial has degree 0 when it reduces to a non-zero constant. Therefore, the coefficients of both the \(x^8\) and \(x^3\) terms must be zero. Both coefficients are \(r-7\), so \(r-7=0\), giving \(r=7\). If \(r=-7\), the higher-power terms do not vanish. Exam tip: In a parameter-based polynomial, first set the coefficient of the highest power to zero when checking whether the degree can decrease.
दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\)। विकल्प \(4\) केवल \(p(x)\) की डिग्री है, जबकि \(24\) डिग्रियों को गुणा करने से मिलता है, जो यहाँ सही नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, गुणा नहीं करें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Hence, \(\deg(p(x)q(x))=4+6=10\). Option \(4\) is only the degree of \(p(x)\), while \(24\) results from multiplying the degrees, which is not the correct rule. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; do not multiply them.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद की सबसे बड़ी कुल घात होती है। यहाँ x-4y-3 की कुल घात 4+3=7, x-2y-6 की 2+6=8 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 8 है, इसलिए सही उत्तर 8 है। 7 केवल पहले पद की कुल घात है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले प्रत्येक पद में घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest total degree among its terms. Here, the total degrees of x-4y-3, x-2y-6, and xy are 4+3=7, 2+6=8, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 8, so the correct answer is 8. Option 7 is only the total degree of the first term. Exam tip: For each term with two or more variables, add the exponents and choose the largest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^4\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=7) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^4\) terms must vanish. At (u=7), both coefficients are (0).
दिए गए बहुपद में समान पदों को मिलाने पर
\(3x^{11}-3x^{11}=0\) तथा \(4x^7-4x^7=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=5x^2-1\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। विकल्प 11 लेने की गलती तब होती है जब रद्द होने वाले पदों को सरल किए बिना देख लिया जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर या घटाकर बहुपद को सरल करें। / On combining like terms, \(3x^{11}-3x^{11}=0\) and \(4x^7-4x^7=0\). Thus, \(F(x)=5x^2-1\). The highest exponent of the variable in the simplified polynomial is 2, so its degree is 2. Option 11 would result from noticing the original highest power without first cancelling the like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree.
(\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(13x^4\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4). After higher terms cancel, \(13x^4\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (2) के लिए \(x^{12}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (v=8) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{12}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (v=8), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^9\) पद बनता है और बाहर का \(-x^9\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (6) है। / The product creates an \(x^9\) term and the outside \(-x^9\) cancels it. The remaining highest power is (6).
फैलाने पर \(x^8-2x^6+x^3-x^8+2x^6+5x\) मिलता है। बड़े पद कट जाते हैं और डिग्री (3) रहती है। / On expanding, we get \(x^8-2x^6+x^3-x^8+2x^6+5x\). Higher terms cancel and the degree remains (3).
डिग्री (4) के लिए \(x^{11}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=-5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{11}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (w=-5), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^9\) पद बनता है और बाहर का \(-x^9\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (6) है। / The product creates an \(x^9\) term and the outside \(-x^9\) cancels it. The remaining highest power is (6).
(\(x^6-2\)2=x^{12}-4x-6+4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(9x^3+4\) बचता है जिसकी डिग्री (3) है। / (\(x^6-2\)2=x^{12}-4x-6+4). After higher terms cancel, \(9x^3+4\) remains, whose degree is (3).
डिग्री (3) के लिए \(x^{10}\) और \(x^6\) के पद हटने चाहिए। (a=1) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (3), the \(x^{10}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (a=1), both higher-term coefficients become (0).
पहले गुणा करें: \(x^5(x^4-3)=x^9-3x^5\)। अतः व्यंजक \(x^9-3x^5-x^9+4x^7-2=4x^7-3x^5-2\) बनता है। \(x^9\) के पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। 9 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन उसके पद सरल करने पर समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / First expand: \(x^5(x^4-3)=x^9-3x^5\). Thus, the expression becomes \(x^9-3x^5-x^9+4x^7-2=4x^7-3x^5-2\). The \(x^9\) terms cancel, and the highest remaining power of \(x\) is 7, so the degree is 7. Option 9 is the closest distractor, but its terms disappear after simplification. Exam tip: always simplify the expression completely before finding its degree.
जब \(k=-5\) रखते हैं, तब \(k+5=0\) हो जाता है। इसलिए \((k+5)^2x^9\) और \((k+5)x^4\), दोनों पद शून्य हो जाते हैं। बहुपद \(q(x)=-6x^2+8\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 0 केवल अचर बहुपद के लिए होता है, जबकि यहाँ \(x^2\) पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद ही शून्य गुणांक वाले पद हटाकर डिग्री ज्ञात करें। / On substituting \(k=-5\), we get \(k+5=0\). Hence, both \((k+5)^2x^9\) and \((k+5)x^4\) become zero. The polynomial left is \(q(x)=-6x^2+8\). Its highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2. Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial, but an \(x^2\) term remains here. Exam tip: substitute the parameter first, remove terms with zero coefficients, and then identify the highest remaining exponent.
B. डिग्री 3 है, क्योंकि \(x^5\) वाले पद कट जाते हैं/The degree is 3 because the \(x^5\) terms cancel
Explanation
Simple Explanation
कोष्ठक खोलने पर \(P(x)=3x^5-2x^3+x-3x^5-x^3+4=-3x^3+x+4\) मिलता है। सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए डिग्री 3 है। परीक्षा में पहले समान पदों को सरल करें। / On removing brackets, \(P(x)=3x^5-2x^3+x-3x^5-x^3+4=-3x^3+x+4\). The highest remaining exponent is 3, so the degree is 3. In exams, simplify and combine like terms first.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर
the coefficient of x-7 is 3 - 8 + 5 = 0, so all x-7 terms cancel. Therefore, \(f(x)=2x^3-11\). इस बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प 7 गलत है क्योंकि \(x^7\) के पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को जोड़कर बहुपद को सरल करें। / The coefficient of \(x^7\) is \(3-8+5=0\), so all the \(x^7\) terms cancel. Thus, \(f(x)=2x^3-11\). The highest power of the variable in the simplified polynomial is 3, so its degree is 3. Option 7 is incorrect because the \(x^7\) terms vanish after simplification. Exam tip: Always combine like terms before finding the degree of a polynomial.
दो चरों वाले बहुपद में प्रत्येक पद की कुल घात, उस पद में x और y की घातों का योग होती है। यहाँ 6x-4y-3 की कुल घात 4+3=7, -5x-2y-6 की 2+6=8, 3xy की 1+1=2 और अचर पद -2 की घात 0 है। सबसे बड़ी कुल घात 8 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 8 है। 7 पहला पद की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: सभी पदों की घातें निकालकर उनमें से सबसे बड़ी घात चुनें। / For a polynomial in two variables, the total degree of a term is the sum of the exponents of x and y in that term. Here, 6x-4y-3 has degree 4+3=7, -5x-2y-6 has degree 2+6=8, 3xy has degree 1+1=2, and the constant term -2 has degree 0. The greatest total degree is 8, so the polynomial has total degree 8. Option 7 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: find the degree of every term, then choose the greatest one.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 7, 5, 0 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए डिग्री 7 है। 8, y की घातों में दिखाई देता है, लेकिन वह x के सापेक्ष डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 7, 5, 0, and 0. The greatest power is 7, so the degree is 7. Although 8 appears as a power of y, it is not the degree with respect to x. Exam tip: look only at the highest power of the variable named in the question.
बहुपद को केवल \(y\) के संदर्भ में देखने पर \(x\) को स्थिर माना जाता है। पदों में \(y\) की घातें क्रमशः \(2, 8, 3\) और \(0\) हैं। सबसे बड़ी घात \(8\) है, जो पद \(-9x^5y^8\) में है; इसलिए डिग्री \(8\) है। विकल्प \(7\), \(x\) की सबसे बड़ी घात है, \(y\) के संदर्भ में डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री निकालते समय केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / When the polynomial is considered with respect to \(y\), \(x\) is treated as a constant. The powers of \(y\) in the terms are \(2, 8, 3\), and \(0\), respectively. The greatest power is \(8\), occurring in \(-9x^5y^8\); hence the degree is \(8\). Option \(7\) is the highest power of \(x\), not the degree with respect to \(y\). Exam tip: for degree in one variable, compare powers of that variable only.
जब (n>9) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में केवल (n=12) शर्त पूरी करता है। / When (n>9), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, only (n=12) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(5x^8\) पद के कारण डिग्री 8 है। शर्त \(m<8\) भी दी गई है, इसलिए \(m=6\) संभव है और तब \(8x^6\) की घात 8 से कम रहती है। \(m=8\) डिग्री तो नहीं बदलता, लेकिन वह दी गई असमानता को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable. The term \(5x^8\) ensures that the degree is 8. Since \(m<8\) is also required, \(m=6\) is possible; then the exponent in \(8x^6\) remains below 8. Although \(m=8\) would not change the degree, it does not satisfy the given inequality. Exam tip: while finding degree, always check any conditions imposed on the exponent as well.
विकल्प C में x की सबसे बड़ी घात 4 है और सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। A में \(x^{-1}\) तथा D में \(x^{1/2}\) है; B की डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी मान्य घात देखें। / In option C, the highest power of x is 4 and every exponent is a non-negative integer, so its degree is 4. A has \(x^{-1}\), D has \(x^{1/2}\), and B has degree 5. Exam tip: check the highest valid exponent first.
शून्येतर स्थिर बहुपद, जैसे 7 या -3, को 7x-0 या -3x-0 लिखा जा सकता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 0 है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। शून्य बहुपद का मामला अलग है; उसकी डिग्री अपरिभाषित मानी जाती है। परीक्षा टिप: स्थिरांक शून्य है या नहीं, पहले जाँचें। / A non-zero constant polynomial, such as 7 or -3, can be written as 7x-0 or -3x-0. Its highest power of x is 0, so its degree is 0. The zero polynomial is a separate case; its degree is undefined. Exam tip: first check whether the constant is zero.
\(b\neq4\) होने पर \(x^{13}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (13) रहेगी। / When \(b\neq4\), the coefficient of \(x^{13}\) is not zero. Therefore the highest power remains (13).
जब b=4 रखा जाता है, तब b-4=0 हो जाता है। इसलिए x^{13} वाला पद 0x^{13} बनकर समाप्त हो जाता है और बहुपद 6x-7-2 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 7 है, अतः इसकी डिग्री 7 है। 13 चुनना गलत होगा, क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: पहले चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक जाँचें; शून्य गुणांक वाला पद डिग्री में नहीं गिना जाता। / On substituting b=4, we get b-4=0. Hence, the x^{13} term becomes 0x^{13} and disappears, leaving the polynomial 6x-7-2. The highest power of x in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Choosing 13 would be incorrect because its coefficient has become zero. Exam tip: check coefficients first; a term with zero coefficient is not considered while finding degree.
अशून्य बहुपदों के अग्र पदों का गुणन शून्य नहीं होता, इसलिए गुणनफल की घात उनके घातों का योग होती है। अधिकतम घात वाला नियम योग के लिए उपयोगी हो सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल में घातें जोड़ें। / The product of the leading terms of two non-zero polynomials is non-zero, so the degree of their product is the sum of their degrees. The maximum-degree rule can apply to addition. Exam tip: add degrees for a product.
व्यंजक को फैलाने पर 4x-6\(x^2-1\)=4x-8-4x-6 मिलता है। अतः पूरा व्यंजक 4x-8-4x-6-4x-8+3x-5=-4x-6+3x-5 बनता है। x-8 वाले पद परस्पर कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 6 है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि सरल करने के बाद x-8 पद बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाएँ। / Expanding gives 4x-6\(x^2-1\)=4x-8-4x-6. Therefore, the expression becomes 4x-8-4x-6-4x-8+3x-5=-4x-6+3x-5. The x-8 terms cancel, and the highest remaining power of x is 6, so the degree is 6. Option 8 is incorrect because no x-8 term remains after simplification. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-31) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-31) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (9) है और \(x^8\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^8\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (9), and the \(x^8\) term is absent. So the coefficient of \(x^8\) is (0).
यहाँ \(H(x)=0\) शून्य बहुपद है, अर्थात इसके सभी गुणांक शून्य हैं। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 शून्य बहुपद का मान है, उसकी डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों की सबसे बड़ी घात देखें। / Here, \(H(x)=0\) is the zero polynomial, meaning that all its coefficients are zero. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. Option 0 is the value of the zero polynomial, not its degree. Exam tip: While finding degree, look for the greatest power among terms with non-zero coefficients.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^4(x^2-4)=x^6-4x^4\)। अतः \(p(x)=x^6-4x^4-x^6+4x^4+17=17\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(6\) या \(4\) लेने की गलती तब होती है जब समान घात वाले पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^4(x^2-4)=x^6-4x^4\). Thus, \(p(x)=x^6-4x^4-x^6+4x^4+17=17\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing \(6\) or \(4\) would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
after expansion:
\((x^4+2x)(x^5-x)-x^9=x^9-x^5+2x^6-2x^2-x^9=2x^6-x^5-2x^2\)। यहाँ \(x^9\) के पद आपस में कट जाते हैं। बचे हुए बहुपद में सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि \(x^9\) पद सरल करने पर शेष नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह फैलाकर समान घात वाले पदों को मिलाइए। / On expanding and simplifying, \((x^4+2x)(x^5-x)-x^9=x^9-x^5+2x^6-2x^2-x^9=2x^6-x^5-2x^2\). The \(x^9\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(6\), so its degree is 6. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) term does not remain after simplification. Exam tip: Always expand and combine like terms before finding the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^7\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-4) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^7\) and \(x^5\) terms must vanish. At (c=-4), both coefficients become (0).
डिग्री (4) के लिए \(x^6\) पद हटना चाहिए और \(x^4\) पद बचना चाहिए। (d=3) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (4), the \(x^6\) term must vanish and the \(x^4\) term must remain. This condition holds at (d=3).
पहले पद की कुल घात (4+2+3=9) है और दूसरे पद की (2+1+6=9) है। इसलिए कुल डिग्री (9) है। / The total power of the first term is (4+2+3=9) and of the second term is (2+1+6=9). Therefore the total degree is (9).
(z) की सबसे बड़ी घात (7) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (7). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
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A. \(p(x)+q(x)\) की डिग्री 4 होगी/The degree of \(p(x)+q(x)\) will be 4
Explanation
Simple Explanation
\(q(x)\) में \(x^4\) पद नहीं हो सकता, इसलिए वह \(p(x)\) के अग्रणी \(x^4\) पद को रद्द नहीं कर सकता। अतः योग की डिग्री 4 रहती है। परीक्षा टिप: अलग डिग्रियों के बहुपदों के योग की डिग्री बड़ी डिग्री होती है। / Since \(q(x)\) cannot contain an \(x^4\) term, it cannot cancel the leading \(x^4\) term of \(p(x)\). Hence their sum has degree 4. Exam tip: for polynomials of unequal degrees, the sum has the higher degree.
B. डिग्री 4 है, क्योंकि शून्येतर गुणांक वाले \(x\) का उच्चतम घातांक 4 है।/The degree is 4 because the highest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is 4.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री पदों की संख्या से नहीं, \(x\) के सबसे बड़े घातांक से तय होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^4\) है, इसलिए डिग्री 4 है। परीक्षा में पहले उच्चतम घात वाला पद पहचानें। / The degree depends on the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient, not on the number of terms. Here the highest power is \(x^4\), so the degree is 4. Exam tip: ignore coefficients while finding degree.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(p(x)=x^6-4x^3+3-x^6+x^3=-3x^3+3\)। इसमें \(x^6\) वाले पद कट जाते हैं और शेष बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 6 चुनना गलत है, क्योंकि सरल करने के बाद \(x^6\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On removing the brackets, every term of the second polynomial changes sign: \(p(x)=x^6-4x^3+3-x^6+x^3=-3x^3+3\). The \(x^6\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is 3. Therefore, the degree is 3. Choosing 6 is incorrect because no \(x^6\) term remains after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
A. \(x^4\) का गुणांक अशून्य है और \(x^4\) से अधिक घात वाला कोई पद नहीं है।/The coefficient of \(x^4\) is non-zero, and there is no term with power greater than 4.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की डिग्री उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। अतः \(x^4\) उपस्थित हो और उससे बड़ी घात का कोई पद न हो, तो डिग्री 4 है। \(x^5\) होने पर डिग्री कम-से-कम 5 होगी। परीक्षा में शून्य गुणांक वाले पदों को न गिनें। / The degree of a non-zero polynomial is the greatest exponent whose coefficient is non-zero. Thus, a non-zero \(x^4\) term with no higher-power term gives degree 4. If an \(x^5\) term exists, the degree is at least 5. Exam tip: ignore terms with zero coefficients.
(e=-1) पर \(x^{11}\) पद हटता है लेकिन \(x^9\) का गुणांक (-3) रहता है। इसलिए डिग्री (9) है। / At (e=-1), the \(x^{11}\) term vanishes but the coefficient of \(x^9\) remains (-3). Therefore the degree is (9).
दिया गया व्यंजक p(x)=0 है, क्योंकि x की प्रत्येक घात का गुणांक 0 है। इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई भी अशून्य पद नहीं होता, अतः उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। 8 चुनना गलत है, क्योंकि x-8 का गुणांक भी 0 है और वह प्रभावी पद नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल अशून्य गुणांक वाले पदों पर ध्यान दें। / The given expression is p(x)=0 because the coefficient of every power of x is 0. Hence, it is the zero polynomial. Since the zero polynomial has no non-zero term, its degree is not defined. Choosing 8 is incorrect because the coefficient of x-8 is also 0, so it is not an effective term. Exam tip: While finding degree, consider only terms with non-zero coefficients.
अशून्य बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जुड़ती हैं। इसलिए \(\deg[p(x)^2]=7+7=14\)। \(p(x)-p(x)\) शून्य बहुपद है, जिसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, degrees add on multiplication. Hence \(\deg[p(x)^2]=7+7=14\). But \(p(x)-p(x)\) is the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। \(x^5y^3+2x\) में पद \(x^5y^3\) की कुल घात \(5+3=8\) है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 8 है। विकल्प A और D की कुल डिग्री 5 है, जबकि C की 6 है। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले पद में सभी चरों की घातें जोड़कर कुल घात ज्ञात करें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of exponents of variables in any term. In \(x^5y^3+2x\), the term \(x^5y^3\) has total degree \(5+3=8\), so the polynomial has total degree 8. Options A and D have total degree 5, while option C has degree 6. Exam tip: For a term with more than one variable, add the exponents to find its total degree.
\(0x^{16}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{14}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (14) है। / \(0x^{16}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{14}\) term. Therefore the degree is (14).
कोष्ठक खोलने पर समान पद कट जाते हैं:
a
(\(x^6+x^3+1\)-\(x^6+x^3\)) = 1।
1 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री 0 होती है। 6 या 3 मूल व्यंजक के पदों की घातें हैं, लेकिन सरल करने के बाद वे पद बचते नहीं हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On opening the brackets, the like terms cancel:
(\(x^6+x^3+1\)-\(x^6+x^3\)) = 1.
Since 1 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. Although 6 and 3 are exponents in the original expression, those terms do not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-3) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (s=-3), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^8+4x^3+7)-(x^8+4x^3)=7\)। चूँकि \(7\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(8\) मूल बहुपदों की डिग्री है, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के योग या अंतर की डिग्री निकालने से पहले पदों को सरल करके अवश्य देखें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^8+4x^3+7)-(x^8+4x^3)=7\). Since \(7\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degree \(8\) is the degree of the original polynomials, not of their difference. Exam tip: simplify a sum or difference of polynomials before deciding its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^7+5)+(-x^7+6x^4)=6x^4+5\)। यहाँ \(x^7\) और \(-x^7\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। \(7\) सही नहीं है, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^7\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उसका उच्चतम घात वाला शून्येतर पद देखकर डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^7+5)+(-x^7+6x^4)=6x^4+5\). The \(x^7\) and \(-x^7\) terms cancel each other. The highest power in the remaining polynomial is \(4\), so its degree is \(4\). Option \(7\) is not correct because no \(x^7\) term remains after addition. Exam tip: first simplify the sum, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
यहाँ
\((x^4-5)(x^4+5)\) में
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का प्रयोग करने पर
\(x^8-25\) मिलता है। अतः
\(P(x)=x^8-25-x^8=-25\)। यह एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प \(8\) केवल सरलीकरण से पहले के उच्चतम घात को देखकर चुना जा सकता है, पर \(x^8\) पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / Using the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), we get \((x^4-5)(x^4+5)=x^8-25\). Therefore, \(P(x)=x^8-25-x^8=-25\). Since this is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Option \(8\) may seem tempting before simplification, but the \(x^8\) terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before identifying its degree.
दिए गए मान रखने पर बहुपद 5x-7+3x-11+1 बनता है। इसके पदों की घातें 7, 11 और 0 हैं। शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 11 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 11 है। 18 घातों का योग है, लेकिन बहुपद की डिग्री घातों का योग नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात पहचानें और सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting the given values, the polynomial becomes 5x-7+3x-11+1. The degrees of its terms are 7, 11, and 0. The greatest exponent of x with a non-zero coefficient is 11, so the degree of the polynomial is 11. Option 18 is the sum of the exponents, but the degree of a polynomial is not found by adding exponents of different terms. Exam tip: identify the exponent of the variable in every term and select the greatest one.
पहले गुणा करने पर \(x^4(x^3+x)=x^7+x^5\) मिलता है। अतः \(p(x)=x^7+x^5-x^7-x^5+23=23\)। शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(7\) डिग्री केवल सरलीकरण से पहले दिखने वाला उच्चतम घातांक है; उसके पद निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / On multiplying, \(x^4(x^3+x)=x^7+x^5\). Hence, \(p(x)=x^7+x^5-x^7-x^5+23=23\). A non-zero constant polynomial has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Degree \(7\) is only the highest exponent visible before simplification; those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
\((x-3)^2\) की डिग्री 2 है और \(x^4\) की डिग्री 4 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्रियाँ जुड़ती हैं, इसलिए \(x^4(x-3)^2\) की डिग्री \(4+2=6\) है। विकल्प 8 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणन के रूप में दिए बहुपद में प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री जोड़ें। / \((x-3)^2\) has degree 2, and \(x^4\) has degree 4. The degrees of two non-zero polynomials add when they are multiplied, so the degree of \(x^4(x-3)^2\) is \(4+2=6\). Option 8 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: For a polynomial written as a product, add the degrees of its factors.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अशून्य स्थिरांक होता है, इसलिए \(x^9\) और \(x^2\) वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ दोनों का गुणांक \(r-8\) है। अतः \(r-8=0\), इसलिए \(r=8\)। इस मान पर बहुपद \(14\) बन जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। \(r=9\) लेने पर \(x^9\) का गुणांक शून्य नहीं रहता और डिग्री 9 होगी। परीक्षा टिप: डिग्री घटाने वाले प्रश्नों में उच्चतम घात वाले पद के गुणांक को पहले शून्य करें। / A polynomial of degree 0 is a non-zero constant, so the coefficients of both the \(x^9\) and \(x^2\) terms must be zero. Both coefficients are \(r-8\). Thus, \(r-8=0\), giving \(r=8\). For this value, the polynomial becomes \(14\), whose degree is 0. If \(r=9\), the coefficient of \(x^9\) remains non-zero, so the degree would be 9. Exam tip: In degree-reduction questions, first make the coefficient of the highest-power term zero.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके अलग-अलग घातों के योग के बराबर होती है। अतः
deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11। विकल्प 6 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें, जबकि जोड़ या घटाव में सामान्यतः बड़ी डिग्री देखें। / For non-zero polynomials, the degree of their product equals the sum of their degrees. Thus, deg(p(x)q(x)) = 6 + 5 = 11. Option 6 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: add degrees when polynomials are multiplied; for addition or subtraction, generally consider the larger degree.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी भी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ x-5y-2 की कुल घात 5+2=7, x-3y-6 की 3+6=9 और xy की 1+1=2 है। अतः सबसे बड़ी कुल घात 9 है, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प A पहले पद की डिग्री है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर उनमें से अधिकतम चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-5y-2, x-3y-6, and xy are 5+2=7, 3+6=9, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 9, so option C is correct. Option A is the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: find the sum of exponents in each term and select the greatest one.
डिग्री (0) के लिए \(x^{11}\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-8) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{11}\) and \(x^5\) terms must vanish. At (u=-8), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में 4x^{10}-4x^{10}=0 और 5x-6-5x-6=0 हो जाते हैं। अतः F(x)=7x-3-2 बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। 0 डिग्री केवल किसी अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल करें, फिर शेष सबसे बड़े घातांक को देखें। / In the given expression, 4x^{10}-4x^{10}=0 and 5x-6-5x-6=0. Thus, F(x)=7x-3-2 remains. The greatest exponent of x is 3, so the degree of the polynomial is 3. Degree 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
(\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(13x^4\) बचता है जिसकी डिग्री (4) है। / (\(x^5+3x^2\)2=x^{10}+6x-7+9x-4). After higher terms cancel, \(13x^4\) remains, whose degree is (4).
डिग्री (4) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=9) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (w=9), both coefficients become (0).
