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एक ज्यामितीय स्थिति से निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: \(L^2-2(a+4)L+(a^2+6a+13)=0\)। \(L\) के वास्तविक मान के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
इस द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\) है। \(L\) के वास्तविक होने के लिए \(D\geq0\) आवश्यक है, इसलिए \(4(2a+3)\geq0\), अर्थात् \(a\geq-\frac{3}{2}\)। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ; दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए शर्त \(D>0\) होगी। / For this quadratic, the discriminant is \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\). For \(L\) to be real, \(D\geq0\) is required. Thus, \(4(2a+3)\geq0\), giving \(a\geq-\frac{3}{2}\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots; use \(D>0\) when two distinct real roots are required.
किसी द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\) है। अतः \(-16(k+2)<0\), जिससे \(k>-2\) प्राप्त होता है। \(k=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि \(k<-2\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\). Therefore, \(-16(k+2)<0\), which gives \(k>-2\). At \(k=-2\), \(D=0\), giving two equal real roots, while \(k<-2\) gives two distinct real roots. Exam tip: simplify the discriminant first and then impose the required sign condition.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2k\) और \(c=k^2-4k+8\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\)। अतः \(16(k-2)\ge0\), जिससे \(k\ge2\) प्राप्त होता है। \(k=2\) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए बराबरी का चिह्न भी शामिल होगा। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) होगा। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2k\), and \(c=k^2-4k+8\). Thus, \(D=b^2-4ac=4k^2-4(k^2-4k+8)=16(k-2)\). Therefore, \(16(k-2)\ge0\), giving \(k\ge2\). At \(k=2\), the roots are equal, so equality must be included. Exam tip: use \(D\ge0\) for real roots, whereas distinct real roots require \(D>0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-1)\) और \(c=m+5\) हैं। वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\)। इसलिए \((m-4)(m+1)<0\), जिससे \(-1<m<4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल होते हैं, जबकि विकल्प C पर समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूलों की संख्या जानने के लिए पहले \(D\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-1)\), and \(c=m+5\). For no real roots, the discriminant must satisfy \(D<0\). Thus, \(D=4(m-1)^2-4(m+5)=4(m^2-3m-4)=4(m-4)(m+1)\). Therefore, \((m-4)(m+1)<0\), giving \(-1<m<4\). In option B, the discriminant is positive, so there are two real roots; at the endpoint values in option C, the roots are real and equal. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of the roots by checking the sign of its discriminant.
यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a-1)\) और \(C=a^2-4a-5\) हैं। वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=B^2-4AC\ge 0\) होना चाहिए। अतः \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), इसलिए \(72(a+3)\ge0\), अर्थात् \(a\ge-3\)। विकल्प B केवल विपरीत दिशा की असमानता देता है और सामान्यतः वास्तविक जड़ों की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / Here, \(A=9\), \(B=-6(a-1)\), and \(C=a^2-4a-5\). For real roots, the discriminant must satisfy \(D=B^2-4AC\ge0\). Thus, \(D=36(a-1)^2-36(a^2-4a-5)=72(a+3)\), so \(72(a+3)\ge0\), giving \(a\ge-3\). Option B reverses the required inequality and is therefore not the general condition for real roots. Exam tip: For a quadratic to have real roots, begin by applying \(D\ge0\).
A. \(m\ge0\) और \(m\neq1\)/\(m\ge0\) and \(m\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
जड़ों का गुणनफल \(\frac{m-1}{m-1}=1\) है, इसलिए \(m\neq1\) चाहिए। वास्तविक जड़ों के लिए \(D=16m\ge0\), अतः \(m\ge0\) और \(m\neq1\)। / The product of roots is \(\frac{m-1}{m-1}=1\), so \(m\neq1\) is needed. For real roots, \(D=16m\ge0\), hence \(m\ge0\) and \(m\neq1\).
वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=m^2-m\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\)। अतः \(4m\ge 0\), जिससे \(m\ge 0\)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(m=0\) पर भी दो समान वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के प्रश्नों में सबसे पहले विविक्तकर की शर्त लगाएँ। / For real roots, the discriminant must satisfy \(D\ge 0\). Here \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=m^2-m\), so \(D=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m^2-m)=4m\). Therefore, \(4m\ge 0\), giving \(m\ge 0\). Option A is incorrect because \(m=0\) also gives two equal real roots. Exam tip: For questions about real roots, first apply the discriminant condition.
द्विघात समीकरण की जड़ें वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=9\), \(B=-6(a+1)\) और \(C=a^2-3a\), इसलिए \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\)। अतः \(36(5a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac{1}{5}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और वह \(a=-\frac{1}{5}\) को भी गलत रूप से बाहर कर देता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D\ge0\) लगाएँ; समान जड़ों के लिए \(D=0\) भी मान्य है। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=9\), \(B=-6(a+1)\), and \(C=a^2-3a\). Thus, \(D=B^2-4AC=36(a+1)^2-36(a^2-3a)=36(5a+1)\). Therefore, \(36(5a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac{1}{5}\). Option B reverses the inequality and incorrectly excludes the boundary value \(a=-\frac{1}{5}\). Exam tip: for real roots, use \(D\ge0\); the case \(D=0\) represents equal real roots and is included.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ें वास्तविक नहीं होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=2\), \(c=\lambda\), इसलिए \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\)। अतः \(4-12\lambda<0\), जिससे \(\lambda>\frac{1}{3}\) प्राप्त होता है। \(\lambda=\frac{1}{3}\) पर \(D=0\) होता है और जड़ें वास्तविक तथा समान होती हैं, इसलिए विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: गैर-वास्तविक जड़ों के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are non-real when the discriminant satisfies \(D=b^2-4ac<0\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=\lambda\), so \(D=2^2-4(3)(\lambda)=4-12\lambda\). Therefore, \(4-12\lambda<0\), which gives \(\lambda>\frac{1}{3}\). At \(\lambda=\frac{1}{3}\), \(D=0\), so the roots are real and equal; hence option C is incorrect. Exam tip: use \(D<0\) whenever a quadratic is required to have non-real roots.
द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=m+4\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\)। अतः \(-4m<0\), जिससे \(m>0\) प्राप्त होता है। \(m=0\) पर \(D=0\) होगा और दो समान वास्तविक मूल मिलेंगे, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की जाँच के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=m+4\), so \(D=b^2-4ac=16-4(m+4)=-4m\). Thus, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). If \(m=0\), then \(D=0\), giving two equal real roots; therefore, option C is incorrect. Exam tip: For questions about the nature of roots, first determine the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से कम होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2, c=m+1\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\)। अतः \(-4m<0\) से \(m>0\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(m=0\) पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं और \(m<0\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों की संख्या जाँचने के लिए पहले विविक्तकर का चिन्ह निर्धारित करें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=-2, c=m+1\), so \(D=(-2)^2-4(1)(m+1)=-4m\). Therefore, \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Option D is incorrect because \(m=0\) gives equal real roots, while \(m<0\) gives two distinct real roots. Exam tip: Always determine the sign of the discriminant to identify the nature of quadratic roots.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=36-4k\)। अतः \(36-4k\ge0\) से \(k\le9\) प्राप्त होता है। \(k=9\) केवल समान मूलों की विशेष स्थिति है, जबकि \(k>9\) पर मूल काल्पनिक होंगे। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों की शर्त के लिए सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=36-4k\). Therefore, \(36-4k\ge0\) gives \(k\le9\). The value \(k=9\) is only the special case of equal roots, whereas \(k>9\) produces non-real roots. Exam tip: For real roots, begin by imposing the condition \(D\ge0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=16-4k\)। अतः \(16-4k\ge0\) से \(k\le4\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल एक पर्याप्त स्थिति बताता है, पूरी आवश्यक शर्त नहीं; क्योंकि \(0\le k\le4\) के लिए भी मूल वास्तविक होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\ge0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\), so \(D=16-4k\). Therefore, \(16-4k\ge0\) gives \(k\le4\). Option D describes only a sufficient subset, not the complete condition, since roots are also real for \(0\le k\le4\). Exam tip: For questions about real roots, first apply \(D\ge0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\ge 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2\), और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\)। अतः \(4-4k\ge0\), जिससे \(k\le1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(k>1\) होने पर विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की शर्त पूछे जाने पर सबसे पहले \(D\ge0\) लिखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac\ge0\). Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=k\), so \(D=2^2-4(1)(k)=4-4k\). Therefore, \(4-4k\ge0\), which gives \(k\le1\). Hence, option A is correct. If \(k>1\), as stated in option B, the discriminant becomes negative, so the roots are not real. Exam tip: For real roots of a quadratic, always begin with the condition \(D\ge0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=k\) हैं, इसलिए \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\)। इससे \(k<36\) प्राप्त होता है। \(k=36\) पर दोनों मूल समान होंगे, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “वास्तविक और भिन्न” मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are real and distinct only when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is greater than zero. Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=k\), so \(D=(-12)^2-4(1)(k)=144-4k>0\). Therefore, \(k<36\). When \(k=36\), the roots are equal, so that option is not correct. Exam tip: For “real and distinct” roots, always apply \(D>0\).
