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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Roots of a Quadratic Equation Expert Level 31

समीकरण \(4x^2-4(a-1)x+a^2-4a=0\) की दोनों जड़ें वास्तविक हों, तो \(a\) के लिए सही शर्त क्या है?

For the equation \(4x^2-4(a-1)x+a^2-4a=0\) to have real roots, what is the correct condition on \(a\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a\ge -\frac{1}{2}\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.

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समीकरण \(4x^2-4(a-1)x+a^2-4a=0\) की दोनों जड़ें वास्तविक हों, तो \(a\) के लिए सही शर्त क्या है? / For the equation \(4x^2-4(a-1)x+a^2-4a=0\) to have real roots, what is the correct condition on \(a\)?

Correct Answer: A. \(a\ge -\frac{1}{2}\). Explanation: द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.