Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2-(u+2v)x+2uv=(x-u)(x-2v)\) मिलता है। अतः \(x=u\) या \(x=2v\), इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में जड़ों का योग \(2u+v\) होगा, जो दिए गए \(u+2v\) से सामान्यतः भिन्न है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग और गुणनफल को क्रमशः \(u+2v\) और \(2uv\) से मिलाकर भी उत्तर जाँचा जा सकता है। / Factoring the quadratic gives \(x^2-(u+2v)x+2uv=(x-u)(x-2v)\). Hence, \(x=u\) or \(x=2v\), so option A is correct. In option B, the sum of the proposed roots is \(2u+v\), which generally does not equal the given sum \(u+2v\). Exam tip: verify roots using their sum \(u+2v\) and product \(2uv\).
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-16\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-16\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-16=0\), अर्थात \(a^2=16\), जिससे \(a=4\) या \(a=-4\)। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में जड़ों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-B/A\) और \(C/A\) अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-16\), so the product of the roots is \(a^2-16\). Setting it equal to zero gives \(a^2-16=0\), or \(a^2=16\), hence \(a=4\) or \(a=-4\). Therefore, option A is correct. In exams, remember that the sum and product of roots are \(-B/A\) and \(C/A\), respectively.
समीकरण को \((x-t)^2-49=0\) या \((x-t)^2=49\) लिखा जा सकता है। अतः इसकी जड़ें \(x=t+7\) और \(x=t-7\) हैं। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((t+7)-(t-7)=14\) है। विकल्प A में दिया गया 7 प्रत्येक जड़ और \(t\) के बीच का अंतर है, जड़ों के बीच का नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2=b^2\) के रूप में लिखे समीकरण की जड़ों का अंतर \(2b\) होता है। / The equation can be rewritten as \((x-t)^2-49=0\), or \((x-t)^2=49\). Therefore, its roots are \(x=t+7\) and \(x=t-7\). Their positive difference is \((t+7)-(t-7)=14\). The value 7 in option A is the distance of each root from \(t\), not the difference between the roots. Exam tip: for an equation in the form \((x-a)^2=b^2\), the difference between its roots is \(2b\).
यदि जड़ें \(\alpha\) और \(\beta\) हों, तो एकक द्विघात समीकरण \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) रखने पर \(x^2-7x+10=0\) प्राप्त होता है। विकल्प A में योग का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प B में योग और गुणनफल की भूमिकाएँ बदल गई हैं। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग के सामने ऋण चिह्न और गुणनफल के सामने धन चिह्न लगाएँ। / If the roots are \(\alpha\) and \(\beta\), the monic quadratic equation is \(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\). Substituting \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\) gives \(x^2-7x+10=0\). Option A has the wrong sign for the sum, while option B interchanges the sum and product. Exam tip: in the monic form, the coefficient of \(x\) is the negative of the sum of roots, and the constant term is their product.
दिया गया समीकरण \\(x^2-2kx+k^2-25=0\\) को \\((x-k)^2-25=0\\) के रूप में लिख सकते हैं। अतः \\((x-k)^2=25\\), इसलिए जड़ें \\(k+5\\) और \\(k-5\\) हैं। बड़ी और छोटी जड़ का अंतर \\((k+5)-(k-5)=10\\) है। इसलिए सही उत्तर B है। परीक्षा-युक्ति: \\(x^2+bx+c=0\\) में जड़ों का अंतर ज्ञात करने के लिए विविक्तकर का उपयोग भी किया जा सकता है। / The equation can be rewritten as \\((x-k)^2-25=0\\). Thus, \\((x-k)^2=25\\), giving the roots \\(k+5\\) and \\(k-5\\). Their positive difference is \\((k+5)-(k-5)=10\\), so option B is correct. Exam tip: For \\(ax^2+bx+c=0\\), the difference between the roots can also be found using the discriminant.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=h\), इसलिए दोनों जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{3}\) है। एक जड़ \(\frac{1}{3}\) होने पर दूसरी जड़ \(\frac{h/3}{1/3}=h\) होगी। विकल्प B केवल जड़ों के गुणनफल को दर्शाता है, दूसरी जड़ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूसरी जड़ निकालने के लिए जड़ों के गुणनफल को दी गई जड़ से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=h\), so the product of the roots is \(\frac{h}{3}\). Since one root is \(\frac{1}{3}\), the other root is \(\frac{h/3}{1/3}=h\). Option B is the product of the roots, not the second root. Exam tip: To find an unknown root, divide the product of the roots by the known root.
जड़ों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार \(\alpha+\beta=-p\) और \(\alpha\beta=q\)। यहाँ \((-3)+7=4\), इसलिए \(p=-4\), तथा \((-3)(7)=-21\), इसलिए \(q=-21\)। अतः \(p-q=-4-(-21)=17\)। परीक्षा में याद रखें: \(x^2+px+q\) में जड़ों का योग \(-p\) होता है, जबकि गुणनफल \(q\) होता है। / By Vieta’s formulas, for \(x^2+px+q=0\), the sum of the roots is \(-p\) and their product is \(q\). Here, \((-3)+7=4\), so \(p=-4\), while \((-3)(7)=-21\), so \(q=-21\). Therefore, \(p-q=-4-(-21)=17\). Exam tip: in a monic quadratic \(x^2+px+q\), the sum of the roots is \(-p\), not \(p\).
दिए गए बहुपद को \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, क्योंकि इसका विस्तार \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\) देता है। अतः मूल \(a+3\) और \(a+4\) हैं, जिनका अंतर 1 है; इसलिए वे क्रमागत पूर्णांक हैं। विकल्प A का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूल पहचानने के लिए पहले गुणनखंडन करें और फिर योग तथा गुणनफल से जाँच करें। / The polynomial factors as \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\), since its expansion is \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\). Therefore, the roots are \(a+3\) and \(a+4\), whose difference is 1, so they are consecutive integers. Option A has the correct sum of roots but not the correct product. Exam tip: Factor the quadratic first, then verify the roots using their sum and product.
दिया गया समीकरण \((x-q)^2-16=0\) या \((x-q)^2=16\) है। इसलिए इसकी जड़ें \(x=q+4\) और \(x=q-4\) होंगी। दोनों जड़ों के बीच धनात्मक अंतर \((q+4)-(q-4)=8\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण वर्ग बनाने से जड़ें तुरंत प्राप्त की जा सकती हैं। / The equation can be rewritten as \((x-q)^2-16=0\), so \((x-q)^2=16\). Hence, the roots are \(x=q+4\) and \(x=q-4\). Their positive difference is \((q+4)-(q-4)=8\). Exam tip: when a quadratic is in the form \((x-a)^2=b^2\), its roots are \(a+b\) and \(a-b\), making their difference \(2b\).
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m+1\) और \(c=16\), इसलिए \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), अर्थात \((m+1)^2=64\)। अतः \(m+1=\pm 8\), जिससे \(m=7\) या \(m=-9\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m+1\), and \(c=16\). Thus, \((m+1)^2-4(1)(16)=0\), giving \((m+1)^2=64\). Therefore, \(m+1=\pm 8\), so \(m=7\) or \(m=-9\). Hence, option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
वियत के सूत्रों से \(\alpha+\beta=-6\) और \(\alpha\beta=8\)। अतः \((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\)। इसलिए \((\alpha-\beta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में मूलों को अलग-अलग ज्ञात करने के बजाय उनके योग और गुणनफल का सीधे उपयोग करें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-6\) and \(\alpha\beta=8\). Therefore, \((\alpha-eta)^2=(\alpha+eta)^2-4\alpha\beta=36-32=4\). Hence, \((\alpha-eta)^2+2\alpha\beta=4+2(8)=20\), so option A is correct. Exam tip: In such questions, use the sum and product of the roots directly instead of finding the roots individually.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-1\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-1\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-1=0\), अर्थात \(a^2=1\), जिससे \(a=1\) या \(a=-1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग या गुणनफल से जुड़े प्रश्नों में वियत के सूत्र का सीधे प्रयोग करें; केवल एक मान चुनने से पहले समीकरण के दोनों हलों को अवश्य जाँचें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-1\), so the product of the roots is \(a^2-1\). Setting it equal to zero gives \(a^2-1=0\), or \(a^2=1\), hence \(a=1\) or \(a=-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when a question asks for the sum or product of roots, and remember to consider both values obtained after solving the parameter equation.
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-5\) और \(c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\)। अतः \(m-5=\pm6\), जिससे \(m=11\) या \(m=-1\) प्राप्त होता है। साथ ही, मूलों का गुणनफल \(c/a=9>0\) है, इसलिए वे विपरीत चिह्नों वाले नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=m-5\), and \(c=9\), so \(D=b^2-4ac=(m-5)^2-36=0\). Hence, \(m-5=\pm6\), giving \(m=11\) or \(m=-1\). Also, the product of the roots is \(c/a=9>0\), so the roots cannot have opposite signs. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, directly use \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=4\), \(B=-4(a-1)\) और \(C=a^2-4a\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\)। अतः \(16(2a+1)\ge0\), जिससे \(a\ge-\frac12\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B \(a\le1\) विविक्तकर की सही असमिका नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले \(D\) को सरल रूप में लिखकर ही पैरामीटर की शर्त निकालें। / A quadratic equation has real roots only when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(A=4\), \(B=-4(a-1)\), and \(C=a^2-4a\). Thus, \(D=B^2-4AC=16(a-1)^2-16(a^2-4a)=16(2a+1)\). Therefore, \(16(2a+1)\ge0\), giving \(a\ge-\frac12\). Hence, option A is correct; the condition \(a\le1\) in option B does not follow from the discriminant. Exam tip: simplify the discriminant completely before solving the parameter inequality.
वियत के अनुसार जड़ों का गुणनफल 12 होगा, इसलिए (r(r+1)=12), अर्थात \(r^2+r-12=0\)। इससे (r=3) या (r=-4) मिलता है। अतः जड़ों का योग क्रमशः 7 या -7 है। फिर (r+(r+1)=-p) से (p=-7) या (p=7), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: x-2+px+q=0 में जड़ों का योग -p और गुणनफल q होता है। / By Vieta’s formulas, the product of the roots is 12, so (r(r+1)=12), or \(r^2+r-12=0\). Thus, r=3 or r=-4. The sum of the roots is therefore 7 or -7. Since r+(r+1)=-p, we obtain p=-7 or p=7; hence, option A is correct. Exam tip: for x-2+px+q=0, the sum of the roots is -p and their product is q.
समान जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=\lambda\) और \(c=8\) हैं, इसलिए \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\)। अतः \(\lambda^2-64=0\), जिससे \(\lambda=\pm8\) प्राप्त होता है। विकल्प B में सामान्यतः \(4ac\) की गणना में गलती हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: समान जड़ों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=\lambda\), and \(c=8\), so \(D=\lambda^2-4(2)(8)=\lambda^2-64\). Thus, \(\lambda^2-64=0\), giving \(\lambda=\pm8\). Option B may result from incorrectly calculating \(4ac\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant directly equal to zero.
मान लें जड़ें \(\alpha\) और \(-\alpha\) हैं। उनकी राशि \(\alpha+(-\alpha)=0\) होगी। विएटा के सूत्र के अनुसार \(x^2+bx+c=0\) की जड़ों की राशि \(-b\) होती है, इसलिए \(-b=0\), अर्थात \(b=0\)। \(c=0\) अनिवार्य नहीं है; उदाहरण के लिए \(x^2-1=0\) की जड़ें \(1\) और \(-1\) हैं, जबकि \(c=-1\)। परीक्षा-युक्ति: जड़ों की राशि देखकर सीधे \(-b\) से तुलना करें। / Let the roots be \(\alpha\) and \(-\alpha\). Their sum is \(\alpha+(-\alpha)=0\). By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(x^2+bx+c=0\) is \(-b\). Hence \(-b=0\), so \(b=0\). The condition \(c=0\) is not necessary; for example, \(x^2-1=0\) has roots \(1\) and \(-1\), but \(c=-1\). Exam tip: compare the sum of the roots directly with the coefficient relation \(-b\).
मानक द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=6\) और \(c=-2\), इसलिए गुणनफल \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\) है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है, जबकि विकल्प C और D में भिन्न का हर गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) सीधे याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). In this equation, \(a=6\) and \(c=-2\), so the product is \(\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\). Option B misses the negative sign, while options C and D use an incorrect denominator. Exam tip: remember that the sum of the roots is \(-\frac{b}{a}\), whereas their product is \(\frac{c}{a}\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के मूलों का योग \\( -b/a \\) और गुणनफल \\(c/a\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=-5,c=2\\) हैं, इसलिए \\(\\alpha+\\beta=5\\) और \\(\\alpha\\beta=2\\)। अतः \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\)। परीक्षा-युक्ति: मूलों के अलग-अलग मान ज्ञात करने के बजाय सीधे योग और गुणनफल के सूत्र लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the sum of the roots is \\( -b/a \\) and their product is \\(c/a\\). Here, \\(a=1,b=-5,c=2\\), so \\(\\alpha+\\beta=5\\) and \\(\\alpha\\beta=2\\). Therefore, \\(\\alpha+\\beta+2\\alpha\\beta=5+2(2)=9\\). Exam tip: use the sum and product of roots directly instead of solving for the individual roots.
वियत के सूत्रों के अनुसार, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) और \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\)। अतः \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, पूरी अभिव्यक्ति का नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों वाली ऐसी अभिव्यक्तियों में पहले \(\alpha+\beta\) और \(\alpha\beta\) निकालें। / By Vieta’s formulas, \(\alpha+\beta=-\frac{7}{1}=-7\) and \(\alpha\beta=\frac{10}{1}=10\). Therefore, \((\alpha+2)(\beta+2)=\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4=10+2(-7)+4=0\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not of the complete expression. Exam tip: For expressions involving roots, first find the sum and product of the roots using Vieta’s formulas.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=2\), इसलिए \(\alpha+\beta=-2\)। अतः \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\)। ध्यान रखें कि मूलों के योग का वर्ग लेते समय ऋणात्मक चिह्न समाप्त हो जाता है; इसलिए 8 या 16 सही नहीं हैं। / By Vieta’s formula, the sum of the roots of \(ax^2+bx+c=0\) is \(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\). Here, \(a=1\) and \(b=2\), so \(\alpha+\beta=-2\). Therefore, \((\alpha+\beta)^2=(-2)^2=4\). Exam tip: square the complete sum, including its sign; the negative sign disappears only after squaring.
द्विघात समीकरण \(x^2+vx+28=0\) में मूलों का योग \(-v\) होता है। दिए गए मूलों का योग \(-4+(-7)=-11\) है। अतः \(-v=-11\), इसलिए \(v=11\)। विकल्प \(-11\) मूलों का योग है, न कि \(v\) का मान। परीक्षा टिप: \(ax^2+bx+c=0\) में मूलों का योग \(-b/a\) होता है। / For the quadratic equation \(x^2+vx+28=0\), the sum of the roots is \(-v\). The given roots have sum \(-4+(-7)=-11\). Hence, \(-v=-11\), so \(v=11\). Option \(-11\) is the sum of the roots, not the value of \(v\). Exam tip: For \(ax^2+bx+c=0\), the sum of roots is \(-b/a\).
