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यदि छोटी पृष्ठ संख्या \(x\) है, तो अगली पृष्ठ संख्या \(x+1\) होगी। इसलिए \(x(x+1)=930\), अर्थात् \(x^2+x-930=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-30)(x+31)=0\) है, इसलिए \(x=30\) या \(x=-31\)। पृष्ठ संख्या धनात्मक होती है, अतः छोटी पृष्ठ संख्या 30 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत धनात्मक संख्याओं के लिए 930 के ऐसे गुणनखंड खोजें जिनका अंतर 1 हो—\(30\) और \(31\)। / Let the smaller page number be \(x\); then the next page number is \(x+1\). Thus, \(x(x+1)=930\), or \(x^2+x-930=0\). Factoring gives \((x-30)(x+31)=0\), so \(x=30\) or \(x=-31\). Since a page number must be positive, the smaller page number is 30. Exam tip: For consecutive positive integers, look for factor pairs of 930 that differ by 1—\(30\) and \(31\).
मान लें कि छोटी संख्या (x) है; तब अगली संख्या (x+1) होगी। इसलिए x(x+1)=552, अर्थात x-2+x-552=0। इसका गुणनखंडन (x-23)(x+24)=0 है, इसलिए x=23 या x=-24। धनात्मक संख्या होने के कारण x=23 मान्य है और संख्याएँ 23 तथा 24 हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत संख्याओं के लिए हमेशा x और x+1 मानकर द्विघात समीकरण बनाइए। / Let the smaller integer be (x); then the next integer is (x+1). Thus, x(x+1)=552, giving x-2+x-552=0. Factoring gives (x-23)(x+24)=0, so x=23 or x=-24. Since the integers are positive, x=23 is valid, and the numbers are 23 and 24. Exam tip: represent consecutive integers as x and x+1 before forming the quadratic equation.
मान लें कि छोटे पूर्णांक को \(x\) कहा गया है। तब दूसरा पूर्णांक \(x+1\) होगा। इसलिए \(x(x+1)=240\), अर्थात् \(x^2+x-240=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+16)=0\) है। धनात्मक मान \(x=15\) लेने पर पूर्णांक 15 और 16 मिलते हैं, क्योंकि \(15\times16=240\)। विकल्प A निकट है, लेकिन \(14\times15=210\) होता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत संख्याओं के लिए पहले \(x\) और \(x+1\) मानकर द्विघात समीकरण बनाइए। / Let the smaller integer be \(x\). Then the other integer is \(x+1\). Thus, \(x(x+1)=240\), or \(x^2+x-240=0\). Factoring gives \((x-15)(x+16)=0\). Since the integers are positive, \(x=15\), so the pair is 15 and 16; indeed, \(15\times16=240\). Option A is close but \(14\times15=210\), not 240. Exam tip: For consecutive integers, represent them as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2+x=1260\), अर्थात् \(x^2+x-1260=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-35)(x+36)=0\) है, इसलिए \(x=35\) या \(x=-36\)। धनात्मक संख्या \(35\) है। परीक्षा-युक्ति: लगातार दो पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में \(1260=35\times36\) पहचानना सबसे तेज़ तरीका है; विकल्प 36 गलत है क्योंकि \(36^2+36=1332\)। / Let the number be \(x\). Then \(x^2+x=1260\), so \(x^2+x-1260=0\). Factoring gives \((x-35)(x+36)=0\), hence \(x=35\) or \(x=-36\). The positive number is \(35\). Exam tip: quickly recognise that \(1260=35\times36\), the product of two consecutive integers; 36 is incorrect because \(36^2+36=1332\).
मान लें छोटा पूर्णांक \(x\) है। तब बड़ा पूर्णांक \(x+1\) होगा और \(x(x+1)=306\), अर्थात् \(x^2+x-306=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-17)(x+18)=0\) है। धनात्मक मान \(x=17\) लेने पर बड़ा पूर्णांक \(x+1=18\) मिलता है। अतः सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: लगातार पूर्णांकों के लिए \(x(x+1)\) का समीकरण बनाकर गुणनखंडन करें। / Let the smaller integer be \(x\). Then the larger integer is \(x+1\), so \(x(x+1)=306\), or \(x^2+x-306=0\). Factoring gives \((x-17)(x+18)=0\). Since the integers are positive, \(x=17\), and the larger integer is \(x+1=18\). Therefore, 18 is correct. Exam tip: For consecutive integers, represent them as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
मान लें धनात्मक पूर्णांक \(x\) है। तब \(x(x+1)=210\), अर्थात् \(x^2+x-210=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-14)(x+15)=0\) है, इसलिए \(x=14\) या \(x=-15\)। धनात्मक पूर्णांक होने के कारण \(x=14\) सही है और \(14\times15=210\)। विकल्प 15 गलत है, क्योंकि उसका अगला पूर्णांक 16 है और \(15\times16=240\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में संख्या और उसके अगले पूर्णांक का गुणनफल बनाने वाले क्रमागत पूर्णांकों की जाँच करें। / Let the positive integer be \(x\). Then \(x(x+1)=210\), so \(x^2+x-210=0\). Factoring gives \((x-14)(x+15)=0\), hence \(x=14\) or \(x=-15\). Since the question specifies a positive integer, \(x=14\) is correct, and \(14\times15=210\). Option 15 is incorrect because its next integer is 16, and \(15\times16=240\). Exam tip: Check pairs of consecutive integers whose product equals the given number.
मान लें छोटा सम पूर्णांक x है। तब अगला सम पूर्णांक x + 2 होगा। इसलिए x(x + 2) = 168, अर्थात् x² + 2x − 168 = 0 = (x − 12)(x + 14)। धनात्मक मान x = 12 है, इसलिए बड़ा पूर्णांक 12 + 2 = 14 होगा। परीक्षा-युक्ति: लगातार सम पूर्णांकों के बीच का अंतर हमेशा 2 होता है। / Let the smaller even integer be x. The next consecutive even integer is x + 2. Thus, x(x + 2) = 168, giving x² + 2x − 168 = 0 = (x − 12)(x + 14). Since the integers are positive, x = 12, so the larger integer is 12 + 2 = 14. Exam tip: consecutive even integers always differ by 2.
मान लें कि छोटा पूर्णांक \(x\) है। तब बड़ा पूर्णांक \(x+1\) होगा और \(x(x+1)=156\), अर्थात् \(x^2+x-156=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+13)=0\) है। धनात्मक पूर्णांक के लिए \(x=12\), इसलिए बड़ा पूर्णांक \(13\) है। विकल्प B छोटा पूर्णांक है, बड़ा नहीं। परीक्षा-युक्ति: लगातार पूर्णांकों के प्रश्नों में \(x\) और \(x+1\) मानकर द्विघात समीकरण बनाएँ। / Let the smaller integer be \(x\). Then the larger integer is \(x+1\), so \(x(x+1)=156\), giving \(x^2+x-156=0\). Factoring, \((x-12)(x+13)=0\). Since the integers are positive, \(x=12\), and the larger integer is therefore \(13\). Option B is the smaller integer, not the larger one. Exam tip: For consecutive-integer problems, represent the numbers as \(x\) and \(x+1\) before forming the quadratic equation.
मान लें कि छोटी संख्या \\(x\\) है। तब बड़ी संख्या \\(x+1\\) होगी और \\(x(x+1)=380\\), अर्थात \\(x^2+x-380=0\\)। इसका गुणनखंडन \\( (x-19)(x+20)=0 \\) है। धनात्मक संख्या के लिए \\(x=19\\), इसलिए बड़ी संख्या \\(20\\) है। परीक्षा-युक्ति: लगातार संख्याओं के युग्मों में 380 के निकट गुणनखंडों का युग्म 19 और 20 है। / Let the smaller integer be \\(x\\). Then the larger integer is \\(x+1\\), so \\(x(x+1)=380\\), or \\(x^2+x-380=0\\)। Factoring gives \\((x-19)(x+20)=0\\). Since the integers are positive, \\(x=19\\), and the larger integer is \\(20\\). Exam tip: For consecutive integers, look for factor pairs of the product that differ by 1; here, 19 and 20 do so.
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=306), जिससे (x=17) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=306), giving (x=17). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
संख्याएँ (x) और (x+1) मानें, तब (x(x+1)=210) से (x=14) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (15) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=210) gives (x=14). So the larger integer is (15).
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x(x+1)=182), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखना सही तरीका है। / If the smaller integer is (x), then (x(x+1)=182), which gives (x=13). Writing consecutive integers as (x) and (x+1) is the correct method.
मान लें संख्याएँ (x) और (x+1) हैं, तब (x(x+1)=132) से (x=11) है। इसलिए बड़ा पूर्णांक (12) है। / Let the numbers be (x) and (x+1), then (x(x+1)=132) gives (x=11). So the larger integer is (12).
मान लें छोटा पूर्णांक (x) है, तब (x(x+1)=72) से (x=8) मिलता है। परीक्षा में लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / Let the smaller integer be (x), then (x(x+1)=72) gives (x=8). In exams, write consecutive numbers as (x) and (x+1).
दिए गए बहुपद को \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, क्योंकि इसका विस्तार \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\) देता है। अतः मूल \(a+3\) और \(a+4\) हैं, जिनका अंतर 1 है; इसलिए वे क्रमागत पूर्णांक हैं। विकल्प A का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मूल पहचानने के लिए पहले गुणनखंडन करें और फिर योग तथा गुणनफल से जाँच करें। / The polynomial factors as \((x-(a+3))(x-(a+4))=0\), since its expansion is \(x^2-(2a+7)x+(a+3)(a+4)\). Therefore, the roots are \(a+3\) and \(a+4\), whose difference is 1, so they are consecutive integers. Option A has the correct sum of roots but not the correct product. Exam tip: Factor the quadratic first, then verify the roots using their sum and product.
स्थिर पद को गुणनखंडित करने पर \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\) मिलता है और गुणांकों का योग \((a+1)+(a+2)=2a+3\) है। अतः समीकरण \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए जड़ें \(a+1\) और \(a+2\) हैं। लगातार पूर्णांक होने के लिए \(a\) का पूर्णांक होना आवश्यक है। विकल्प B का योग सही है, लेकिन उसका गुणनफल \(a^2+3a\) है, जिसमें \(+2\) नहीं है। परीक्षा टिप: जड़ों से जुड़े प्रश्नों में योग और गुणनफल, दोनों का मिलान करें। / Factoring the constant term gives \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\), and the sum of these factors is \((a+1)+(a+2)=2a+3\). Thus, the equation can be written as \([x-(a+1)][x-(a+2)]=0\), so its roots are \(a+1\) and \(a+2\). For them to be consecutive integers, \(a\) must be an integer. Option B has the correct sum, but its product is \(a^2+3a\), which lacks the required \(+2\). Exam tip: Always verify both the sum and product of the proposed roots.
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो क्रमागत पूर्णांक \(x\) और \(x+1\) होंगे। उनकी वर्गों का योग: \(x^2+(x+1)^2=145\). इसका विस्तार करें: \(x^2+x^2+2x+1=145\) यानी \(2x^2+2x+1=145\). दोनों ओर से 145 घटाने पर \(2x^2+2x-144=0\) प्राप्त होता है, जो विकल्प A है. निकटतम विचलन विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वह \(+1\) को भूलकर सीधे \(2x^2+2x=145\) मान लेता; इससे स्थिर पद गलत बचता है. परीक्षा-सुझाव: समीकरण को 2 से भाग देकर \(x^2+x-72=0\) बनाकर फैक्टर करें — \((x+9)(x-8)=0\) से धनात्मक हल \(x=8\) मिलेगा। / Take the smaller integer as \(x\); the two consecutive integers are \(x\) and \(x+1\). Their squares sum to \(x^2+(x+1)^2=145\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=145\) or \(2x^2+2x+1=145\). Subtracting 145 yields \(2x^2+2x-144=0\), which is option A. The closest distractor, B, is wrong because it ignores the \(+1\) from \((x+1)^2\) and thus miscalculates the constant term. Exam tip: divide the equation by 2 to get \(x^2+x-72=0\), factor to \((x+9)(x-8)=0\) and choose the positive root \(x=8\).
छोटा पूर्णांक \(x\) और अगला \(x+1\) होगा। इसलिए \(x^2+(x+1)^2=85\)। विस्तार करने पर \(x^2+x^2+2x+1=85\) जो कि \(2x^2+2x+1-85=0\) या सरल करके \(2x^2+2x-84=0\) बनता है। विकल्प B केवल नियतांक में एक गलती है (\(-85\) होना चाहिए था \(-84\)) — यह इसलिए गलत है। विकल्प C में \(x^2\) का गुणन भूल गया गया है (दो बार होना चाहिए), और D में रैखिक पद का संकेत गलत है। परिक्षा टिप: हमेशा पहले बहुव्यंजक को फैलाकर शेष-समान को शून्य की ओर लाएँ और स्थिर पदों को जोड़ें। / If the smaller integer is \(x\), the next is \(x+1\). So set up \(x^2+(x+1)^2=85\). Expanding gives \(x^2+x^2+2x+1=85\), i.e. \(2x^2+2x+1-85=0\), which simplifies to \(2x^2+2x-84=0\). Option B is close but has the constant wrong (\(-85\) instead of \(-84\)). Option C misses the doubled \(x^2\) term; option D has the wrong sign on the linear term. Exam tip: expand carefully, bring all terms to one side and combine like terms before comparing options.
यदि छोटे पूर्णांक को \(x\) माना जाए तो अगले क्रमागत पूर्णांक होगा \(x+1\)। उनका गुणनफल लिखेंगे: \(x(x+1)=56\)। इसे व्यवस्थित करने पर प्राप्त होगा \(x^2+x-56=0\), इसलिए विकल्प A सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (\(x^2-x-56=0\)) तब बनता है जब पूर्णांक \(x\) और \(x-1\) लिए जाएँ — यह यहाँ लागू नहीं है। विकल्प C का रूप \(x^2+2x-56=0\) दो-बाद वाले पूर्णांकों (जैसे \(x\) और \(x+2\)) का गुणनफल दर्शाता है, और D एक रैखिक समीकरण है और समस्या की प्रकृति से मेल नहीं खाता। परीक्षात्मक संकेत: क्रमागत पूर्णांकों को हमेशा \(x\) और \(x+1\) (या \(x-1\) और \(x\)) के रूप में परिभाषित करें और गुणनफल को 0 पर लाकर द्विघात बनाएं। / Let the smaller integer be \(x\); the next consecutive integer is \(x+1\). Their product gives \(x(x+1)=56\). Expanding yields \(x^2+x-56=0\), so option A is correct. Distractor B (\(x^2-x-56=0\)) corresponds to integers \(x\) and \(x-1\), not the given consecutive pair. Option C (\(x^2+2x-56=0\)) would arise from \(x\) and \(x+2\), and D is a linear equation unrelated to the product of two integers. Exam tip: after forming the equation, check factor pairs of 56 (e.g., 7 and 8) to verify your result quickly.
दो लगातार पूर्णांक होने पर यदि छोटा पूर्णांक \(x\) है तो अगला लगातार पूर्णांक \(x+1\) होगा। चूँकि हमें गुणनफल (product) दिया गया है, इसलिए समीकरण \(x(x+1)=30\) बनेगा। विकल्प B में जोड़ (sum) दिया गया है न कि गुणनफल, इसलिए वह गलत है। विकल्प C तब सही होता यदि दिए गए में बड़ा पूर्णांक \(x\) दिया गया होता; पर प्रश्न में छोटा \(x\) है, इसलिए C गलत है। विकल्प D \(2x=30\) तब मान्य होगा यदि दोनों पूर्णांक बराबर होते (\(x+x=30\)) — पर यहाँ लगातार पूर्णांक बराबर नहीं होते। परीक्षा-सुझाव: शब्दों पर ध्यान दें — "गुणनफल" को जोड़ से न बदलें और यह स्पष्ट करें कि "छोटा" कौन-सा है। / If the smaller integer is \(x\), the next consecutive integer is \(x+1\). Since the relationship given is product, the correct equation is \(x(x+1)=30\). Option B uses a sum \(x+x+1=30\) instead of a product, so it is incorrect. Option C represents \(x\) being the larger integer (product \(x(x-1)\)), which contradicts the statement that \(x\) is the smaller one. Option D, \(2x=30\), models two equal integers (\(x+x\)), not consecutive integers. Exam tip: carefully note whether the problem states "product" or "sum" and which integer (smaller/larger) is denoted by the variable.
A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। / Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। / Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 5.
A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता है/Because division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3
Step 1
Concept
कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। / Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).
Step 2
Why this answer is correct
चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। / Four consecutive integers cover all these four remainders.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी। / The one with remainder 0 is divisible by 4.
A. क्योंकि उनमें एक 2 से और एक 3 से विभाज्य होता है/Because one of them is divisible by 2 and one is divisible by 3
Step 1
Concept
दो लगातार पूर्णांकों में एक सम होता है, इसलिए 2 का गुणनखंड मिलता है। / Among two consecutive integers, one is even, so a factor 2 is present.
Step 2
Why this answer is correct
तीन लगातार पूर्णांकों में एक 3 से विभाज्य होता है, इसलिए 3 का गुणनखंड मिलता है। / Among three consecutive integers, one is divisible by 3, so a factor 3 is present.
Step 3
Exam Tip
2 और 3 मिलकर 6 बनाते हैं, इसलिए गुणनफल 6 से विभाज्य है। / Since 2 and 3 together make 6, the product is divisible by 6.
