A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं/Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 12. चरण 1: 12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। चरण 2: बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
A. क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं/Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 10, possible remainders are from 0 to 9.
Step 2
Why this answer is correct
Ten consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 10. चरण 1: 10 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 9 तक हैं। चरण 2: दस लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 10 से विभाज्य होगी।
Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है।
A. क्योंकि 8 से भाग देने पर शेषफल 0 से 7 तक चक्र में आते हैं/Because division by 8 gives remainders from 0 to 7 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 8, possible remainders are from 0 to 7.
Step 2
Why this answer is correct
Eight consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 8. चरण 1: 8 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 7 तक होते हैं। चरण 2: आठ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 8 से विभाज्य होती है।
Their square remainders are 0, 1, 4, 2, 2, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
So the square remainder can only be 0, 1, 2, or 4. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 2 या 4 हो सकता है।
A. क्योंकि 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 का चक्र आता है/Because division by 6 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4, 5
Step 1
Concept
On division by 6, possible remainders are from 0 to 5.
Step 2
Why this answer is correct
Six consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 6. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0 से 5 तक हो सकते हैं। चरण 2: छह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 6 से विभाज्य होगी।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.
Step 2
Why this answer is correct
Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: 5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता।
A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता है/Because division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3
Step 1
Concept
Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).
Step 2
Why this answer is correct
Four consecutive integers cover all these four remainders.
Step 3
Exam Tip
The one with remainder 0 is divisible by 4. चरण 1: कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। चरण 2: चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, and 3.
Step 2
Why this answer is correct
The square remainders are respectively 0, 1, 0, and 1.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 4 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 0, 1 मिलते हैं। चरण 3: 4 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं होता।
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Use the cycle of remainders for consecutive-number problems. चरण 1: 3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। चरण 2: तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें।
