यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction mainly come from?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#proof
#hard
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? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
B केवल (p) विषम हो जाता है / Only (p) becomes odd
C केवल (q) विषम हो जाता है / Only (q) becomes odd
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / (p) and (q) both become negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। / So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / In exams, remember that coprime numbers cannot both be even.
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किस कथन का उपयोग \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में सबसे आवश्यक है?
Which statement is most essential in proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#prime-divisibility
#hard
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? Hint Small clue
A यदि (3) किसी अभाज्य (p) को भाग दे तो वह \(p^2\) को भी भाग देगा / If (3) divides a prime (p), it also divides \(p^2\)
B यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
C हर वर्ग संख्या (3) से विभाज्य होती है / Every square number is divisible by (3)
D हर विषम संख्या का वर्ग (3) से विभाज्य होता है / The square of every odd number is divisible by (3)
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Correct Answer
B. यदि (3) किसी \(p^2\) को भाग दे तो (3) (p) को भी भाग देगा / If (3) divides \(p^2\), then (3) divides (p)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालना जरूरी है। / The key step is using \(3\mid p^2\Rightarrow 3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाली इस बात को साफ लिखना अच्छे अंक दिलाता है। / Writing this prime-number property clearly helps in scoring well.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) और (a,b) सहअभाज्य हैं, तो \(a^2=5b^2\) से पहले कौन-सा निष्कर्ष सही है?
If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) and (a,b) are coprime, what is the first correct conclusion from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#divisibility
#hard
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? Hint Small clue
A \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
B \(5\mid b^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid b^2\), so \(5\mid a\)
C (a) और (b) दोनों विषम हैं / (a) and (b) are both odd
D (a) और (b) दोनों अभाज्य हैं / (a) and (b) are both prime
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Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\) / \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर। / In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b).
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\(\sqrt{2}\) के अपरिमेय होने के प्रमाण में (p=2k) रखने के बाद कौन-सा निष्कर्ष मिलता है?
In the proof that \(\sqrt{2}\) is irrational, what conclusion is obtained after putting (p=2k)?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#even-numbers
#hard
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A \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
B \(q^2=k^2\), इसलिए (q=k) है / \(q^2=k^2\), so (q=k)
C \(p^2=q^2\), इसलिए (p=q) है / \(p^2=q^2\), so (p=q)
D (q=2p), इसलिए (q) सम है / (q=2p), so (q) is even
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=2k^2\), so (q) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) और (p=2k) रखने पर \(4k^2=2q^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\) and (p=2k), we get \(4k^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q^2\) सम और (q) सम है। / Simplifying gives \(q^2=2k^2\), so \(q^2\) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा समपन विरोधाभास पूरा करता है। / This second evenness completes the contradiction.
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किस कारण से \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) मानना अंत में गलत सिद्ध होता है, जब (m,n) सहअभाज्य लिए गए हों?
Why is the assumption \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) finally proved wrong when (m,n) are taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#hard
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? Hint Small clue
A (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
B (m) और (n) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (2)
C (m) और (n) दोनों अपरिमेय निकलते हैं / (m) and (n) both turn out irrational
D (m) और (n) दोनों शून्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out zero
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Correct Answer
A. (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / (m) and (n) both turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\) से \(m^2=3n^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), we get \(m^2=3n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(3\mid m\) और फिर \(3\mid n\) निकलता है। / This leads to \(3\mid m\) and then \(3\mid n\).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
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यदि किसी छात्र ने लिखा कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है क्योंकि (5) पूर्ण संख्या है, तो सही सुधार क्या होगा?
If a student writes that \(\sqrt{5}\) is rational because (5) is a whole number, what is the correct correction?
#real-numbers
#root5
#perfect-square
#concept-error
#hard
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A पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a whole number is not always rational
B हर पूर्ण संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है / The square root of every whole number is a whole number
C \(\sqrt{5}\) पूर्ण संख्या है / \(\sqrt{5}\) is a whole number
D \(\sqrt{5}\) को \(\frac{5}{1}\) लिखा जा सकता है / \(\sqrt{5}\) can be written as \(\frac{5}{1}\)
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Correct Answer
A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता / The square root of a whole number is not always rational
Step 1
Concept
(5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। / (5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। / Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें। / In exams, distinguish a number from its square root.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में लेना क्यों जरूरी है?
Why is it necessary to take \(\frac{p}{q}\) in lowest form while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#coprime
#hard
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? Hint Small clue
A ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो सकें / So that (p) and (q) can both be zero
C ताकि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक बन जाए / So that \(\sqrt{2}\) becomes an integer
D ताकि (q) को हटाया जा सके / So that (q) can be removed
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Correct Answer
A. ताकि अंत में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास बने / So that getting a common factor at the end becomes a contradiction
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाता है। / A rational number is written in lowest form as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। / The proof shows that both (p) and (q) become even, which contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में सहअभाज्य लिखना बहुत जरूरी है। / Always mention coprime at the start of the proof.
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कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?
Which argument directly proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational?
#real-numbers
#root3
#proof
#common-factor
#hard
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A मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
B मानने पर अंश और हर दोनों विषम हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become odd
C मानने पर अंश और हर बराबर हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator become equal
D मानने पर अंश हर से बड़ा हो जाता है / On assuming it rational, numerator becomes greater than denominator
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Correct Answer
A. मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। / Taking \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। / This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही बात सहअभाज्यता से टकराती है। / That contradicts the condition of being coprime.
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यदि \(a^2\) (5) से विभाज्य है, तो (a) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?
If \(a^2\) is divisible by (5), what conclusion about (a) is correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#prime-factor
#root5
#divisibility
#hard
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A (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
B (a) (10) से विभाज्य है / (a) is divisible by (10)
C (a) अवश्य सम है / (a) must be even
D (a) अवश्य अभाज्य है / (a) must be prime
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Correct Answer
A. (a) (5) से विभाज्य है / (a) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। / If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है। / This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद \(p^2=2q^2\) लिखते समय कौन-सी शर्त नहीं भूलनी चाहिए?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational and writing \(p^2=2q^2\), which condition must not be forgotten?
#real-numbers
#root2
#rational-assumption
#coprime
#hard
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? Hint Small clue
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
B (p) और (q) दोनों अभाज्य हैं / (p) and (q) are both prime
C (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हैं / (p) and (q) are both negative
D (p) और (q) दोनों (2) से पहले ही विभाज्य हैं / (p) and (q) are already divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं तथा \(q\neq0\) / (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(q\neq0\)। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेना होता है, इसलिए (p,q) सहअभाज्य हैं। / The fraction is taken in lowest form, so (p,q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में विरोधाभास दिखाती है। / This condition is what creates the contradiction later.
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कौन-सी संख्या का वर्गमूल \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) जैसे प्रमाणों में अपरिमेय सिद्ध होता है?
Which type of square root is proved irrational in proofs like those for \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#prime-roots
#concept
#hard
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? Hint Small clue
A ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
B किसी भी सम संख्या का वर्गमूल / The square root of any even number
C किसी भी विषम संख्या का वर्गमूल / The square root of any odd number
D हर प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल / The square root of every natural number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ऐसी अभाज्य संख्या का वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं है / The square root of a prime number that is not a perfect square
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं और पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने से अंश और हर में वही अभाज्य साझा गुणनखंड बनता है। / Assuming their square roots rational creates the same prime as a common factor of numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग और अभाज्य संख्या का फर्क जरूर समझें। / Understand the difference between a perfect square and a prime number.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और (p=3r), तो आगे कौन-सा सही समीकरण बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and (p=3r), what correct equation follows next?
#real-numbers
#root3
#substitution
#proof-step
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(q^2=3r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(3q^2=r^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(q^2=3r^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(p=3r) रखने पर \(9r^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3r^2\)। / Substituting (p=3r) gives \(9r^2=3q^2\), so \(q^2=3r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस रूप से (q) के (3) से विभाज्य होने का रास्ता खुलता है। / This shows the path to proving (q) is divisible by (3).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (a=5k) रखा जाए, तो (b) के बारे में क्या सिद्ध होता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is proved about (b)?
#real-numbers
#root5
#substitution
#contradiction
#hard
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? Hint Small clue
A (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b) (25) से अवश्य विभाज्य है / (b) must be divisible by (25)
D (b) शून्य है / (b) is zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (b) (5) से विभाज्य है / (b) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है। / This is the final step against coprimality.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
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? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो \(\sqrt{r}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में कौन-सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), what conclusion is used in proving the irrationality of \(\sqrt{r}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-divisibility
#irrationality
#hard
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A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(r^2\mid x\)
D (x) अवश्य (1) है / (x) must be (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में तभी आता है जब आधार में भी आता है। / A prime factor appears in a square only if it appears in the base.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(r\mid x^2\) से \(r\mid x\) लिया जाता है। / Therefore \(r\mid x^2\) implies \(r\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य नियम (2,3,5) तीनों के प्रमाण में काम आता है। / This general rule works for the proofs of (2,3,5).
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही क्रम दिया गया है?
Which option gives the correct order of proof for the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
B पहले \(5\mid b\), फिर \(\sqrt{5}=a+b\) / First \(5\mid b\), then \(\sqrt{5}=a+b\)
C मानें \(\sqrt{5}=a\), फिर (a=5b) / Assume \(\sqrt{5}=a\), then (a=5b)
D पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), फिर \(a^2=5b^2\), फिर \(5\mid a\), फिर \(5\mid b\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), then \(a^2=5b^2\), then \(5\mid a\), then \(5\mid b\)
Step 1
Concept
सही प्रमाण हमेशा परिमेय मानकर शुरू होता है। / The correct proof starts by assuming the number is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(a^2=5b^2\) बनता है और फिर (5) की विभाज्यता दोनों पर आती है। / Squaring gives \(a^2=5b^2\), and divisibility by (5) is then forced on both variables.
Step 3
Exam Tip
क्रम सही रखने से पूरा प्रमाण साफ बनता है। / Keeping the order correct makes the proof clear.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम क्यों माना जाता है?
Why is (p) considered even when \(p^2\) is even in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#parity
#even-square
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या का वर्ग सम होता है / Because the square of every number is even
C क्योंकि सम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an even number is odd
D क्योंकि \(p^2\) हमेशा (p) से छोटा होता है / Because \(p^2\) is always smaller than (p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता और (p) सम होगा। / Since \(p^2\) is even, (p) cannot be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी सी सम-विषम बात प्रमाण में बहुत महत्त्वपूर्ण है। / This parity fact is very important in the proof.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो उसे किस रूप में सही तरह लिखा जाता?
If \(\sqrt{3}\) were rational, in which form would it be correctly written?
#real-numbers
#root3
#rational-form
#definition
#hard
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{0}\)
C \(\sqrt{3}=p+q\), जहाँ (p,q) दशमलव हैं / \(\sqrt{3}=p+q\), where (p,q) are decimals
D \(\sqrt{3}=3p\), जहाँ (p) कोई भी संख्या है / \(\sqrt{3}=3p\), where (p) is any number
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Correct Answer
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और अनुपात सरलतम रूप में लिया जाता है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण शुरू करते समय यह पूरा रूप लिखें। / Write this complete form at the beginning of the proof.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में समान है?
Which statement is common to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#common-method
#hard
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? Hint Small clue
A परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
B हर प्रमाण में अंश और हर दोनों सम होते हैं / In every proof, numerator and denominator both become even
C हर प्रमाण में (2) साझा गुणनखंड बनता है / In every proof, (2) becomes the common factor
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है / In every proof, the square root becomes an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने से सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आ जाता है / Assuming rationality creates a common factor in the coprime numerator and denominator
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में संख्या को पहले परिमेय माना जाता है। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है। / Then the related prime number is forced to divide both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
समान ढाँचा समझने से तीनों प्रमाण आसानी से याद रहते हैं। / Understanding this common structure makes all three proofs easier to remember.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का विरोधाभास सही लिखा है?
Which option correctly states the contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
#hard
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? Hint Small clue
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
B (p) और (q) बराबर हैं, इसलिए वे सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are equal, so they are coprime
C (p) विषम है और (q) सम है / (p) is odd and (q) is even
D (p) धनात्मक है और (q) ऋणात्मक है / (p) is positive and (q) is negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में (p) और (q) सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, (p) and (q) should be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होने और साझा गुणनखंड होने का टकराव ही विरोधाभास है। / The contradiction is the clash between coprimality and a common factor.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय हो और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर कौन-सा समीकरण मिलेगा?
If \(\sqrt{2}\) is rational and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), which equation is obtained after squaring?
#real-numbers
#root2
#squaring
#proof-step
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\)
B \(2p^2=q^2\)
C (p=2q)
D \(p^2=q^2+2\)
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Correct Answer
A. \(p^2=2q^2\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / Squaring \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(2=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। / Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ। / After squaring, remove the denominator carefully.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने का कारण क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\), why does \(a^2=5b^2\) imply that (a) is divisible by (5)?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#proof
#hard
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? Hint Small clue
A क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
D क्योंकि (a) हमेशा (25) होता है / Because (a) is always (25)
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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किस स्थिति में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में नहीं कहा जा सकता?
In which situation can \(\frac{p}{q}\) not be called lowest form?
#real-numbers
#lowest-form
#coprime
#fraction
#hard
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? Hint Small clue
A जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
B जब (p) और (q) दोनों पूर्णांक हों / When (p) and (q) are both integers
C जब \(q\neq0\) हो / When \(q\neq0\)
D जब (p) और (q) अलग-अलग हों / When (p) and (q) are different
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Correct Answer
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो / When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। / If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है। / This idea becomes the contradiction in irrationality proofs.
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यदि \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही होगा?
If \(p^2=3q^2\) in the proof for \(\sqrt{3}\), in what form should (p) be correctly written?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
#hard
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? Hint Small clue
A (p=3k)
B (p=2k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
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Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। / Therefore \(3\mid p\), so (p=3k) can be written.
Step 3
Exam Tip
किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें। / Write the form according to the prime divisor involved.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के लिए सही और \(\sqrt{3}\) के सामान्य प्रमाण के लिए सीधे सही नहीं है?
Which statement is correct for \(\sqrt{2}\) but not directly correct for the usual proof of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#comparison
#hard
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A अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / Numerator and denominator both become even
B अंश और हर दोनों में साझा गुणनखंड आता है / Numerator and denominator get a common factor
C प्रमाण विरोधाभास से होता है / The proof is by contradiction
D भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / The fraction is taken in lowest form
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Correct Answer
A. अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / Numerator and denominator both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) आता है, इसलिए अंश और हर सम होते हैं। / For \(\sqrt{2}\), the common factor is (2), so numerator and denominator become even.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) आता है, समपन जरूरी नहीं। / For \(\sqrt{3}\), the common factor is (3), so evenness is not the direct point.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग मूलों में संबंधित अभाज्य को पहचानें। / Identify the related prime for each root.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (a) and (b) turn out divisible by (5), what conclusion is correct?
#real-numbers
#root5
#lowest-form
#contradiction
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
B \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
C (a=b) है / (a=b)
D (b=0) है / (b=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / This proves the original rational assumption false.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने के बाद सही विरोधाभासी परिणाम है?
Which option gives the correct contradictory result after assuming \(\sqrt{2}\) rational?
#real-numbers
#root2
#common-factor
#contradiction
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
B अंश और हर दोनों (1) हो जाते हैं / Numerator and denominator both become (1)
C अंश और हर दोनों अपरिमेय हो जाते हैं / Numerator and denominator both become irrational
D अंश और हर दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / Numerator and denominator both become negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है / (2) becomes a common factor of both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ (p,q) सहअभाज्य हैं। / We assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (2) साझा गुणनखंड बनता है, जो सहअभाज्यता के विरुद्ध है। / Thus (2) becomes a common factor, contradicting coprimality.
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यदि कोई लिखता है \(p^2=3q^2\) इसलिए (p=3q), तो यह गलती क्यों है?
If someone writes \(p^2=3q^2\), therefore (p=3q), why is this wrong?
#real-numbers
#root3
#error-analysis
#squaring
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
B क्योंकि \(3q^2\) हमेशा शून्य होता है / Because \(3q^2\) is always zero
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि \(p^2\) कभी \(3q^2\) नहीं हो सकता / Because \(p^2\) can never equal \(3q^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता / Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। / The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें। / Be careful when removing squares in a proof.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में सबसे पहले कौन-सी मान्यता ली जाती है?
What is the first assumption made while proving the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction-method
#proof
#hard
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? Hint Small clue
A मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
B मान लें \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Assume \(\sqrt{5}\) is an integer
C मान लें (5) सम है / Assume (5) is even
D मान लें (5=0) है / Assume (5=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। / In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। / So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Writing the method clearly at the start strengthens the answer.
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कौन-सा कथन सही है यदि (n) विषम पूर्णांक है?
Which statement is correct if (n) is an odd integer?
#real-numbers
#parity
#odd-square
#root2
#hard
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? Hint Small clue
A \(n^2\) विषम होगा / \(n^2\) will be odd
B \(n^2\) सम होगा / \(n^2\) will be even
C \(n^2\) शून्य होगा / \(n^2\) will be zero
D \(n^2\) हमेशा अभाज्य होगा / \(n^2\) will always be prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(n^2\) विषम होगा / \(n^2\) will be odd
Step 1
Concept
विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। / An odd integer can be written as (2k+1).
Step 2
Why this answer is correct
उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। / Its square becomes \(4k^2+4k+1\), which is odd.
Step 3
Exam Tip
यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है। / This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन-सा असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (p) विषम और (q) सम हो / (p) is odd and (q) is even
C (p) और (q) अलग-अलग हों / (p) and (q) are different
D (p) धनात्मक और (q) धनात्मक हों / (p) and (q) are positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\).
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उचित अंतिम वाक्य है?
Which option gives a proper final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-statement
#proof-writing
#hard
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? Hint Small clue
A अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}\) एक पूर्ण वर्ग है / Hence \(\sqrt{3}\) is a perfect square
C अतः (3) परिमेय नहीं है / Hence (3) is not rational
D अतः हर संख्या अपरिमेय है / Hence every number is irrational
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। / The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। / Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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यदि \(p^2=5q^2\) और \(5\mid p\), तो (p=5k) रखने के बाद \(q^2\) किसके बराबर होगा?
If \(p^2=5q^2\) and \(5\mid p\), after putting (p=5k), what will \(q^2\) equal?
#real-numbers
#root5
#algebra
#proof-step
#hard
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A \(5k^2\)
B \(25k^2\)
C \(k^2\)
D \(\frac{k^2}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। / Putting (p=5k) gives \(p^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। / Then \(25k^2=5q^2\), so \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है। / Simplify algebra carefully, or the proof will break.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में कौन-सा गुण सीधे (2) के अभाज्य होने से जुड़ा है?
Which property in the proof of \(\sqrt{2}\) is directly connected with (2) being prime?
#real-numbers
#root2
#prime-property
#divisibility
#hard
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A यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
B यदि \(2\mid p\), तो (p=1) / If \(2\mid p\), then (p=1)
C यदि \(p^2=2q^2\), तो (q=0) / If \(p^2=2q^2\), then (q=0)
D यदि (p) सम है, तो (p) अभाज्य है / If (p) is even, then (p) is prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\) / If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) अभाज्य संख्या है। / (2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। / If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है। / Writing this rule makes the proof logical.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
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A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) में (p,q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम निकलना किस बात का संकेत है?
If (p,q) are coprime in \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), what does it indicate when both (p) and (q) turn out even?
#real-numbers
#root2
#coprime
#evenness
#hard
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A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B भिन्न सबसे सरल है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D (p) और (q) में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / (p) and (q) have no common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Hence the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3k) है, तो \(p^2\) किसके बराबर होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3k), what is \(p^2\) equal to?
#real-numbers
#root3
#squaring
#algebra
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(9k^2\)
B \(3k^2\)
C (6k)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(p=3k) का वर्ग करने पर (p-2 =(3k)2 ) मिलता है। / Squaring (p=3k) gives (p-2 =(3k)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। / Therefore \(p^2=9k^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है। / Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next.
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किस विकल्प से स्पष्ट होता है कि \(\sqrt{5}\) परिमेय मानना गलत है?
Which option clearly shows that assuming \(\sqrt{5}\) rational is wrong?
#real-numbers
#root5
#rational-assumption
#contradiction
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
B (5) एक धनात्मक संख्या है / (5) is a positive number
C \(\sqrt{5}\) का दशमलव रूप लंबा है / The decimal form of \(\sqrt{5}\) is long
D (5) विषम संख्या है / (5) is an odd number
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Correct Answer
A. सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
परिमेय मानने पर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में लिया जाता है। / Assuming rationality, \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both (a) and (b) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए मान्यता गलत है। / This cannot happen in lowest form, so the assumption is false.
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कौन-सा विकल्प पूर्ण वर्ग न होने के कारण अपरिमेय वर्गमूल का सही उदाहरण है?
Which option is a correct example of an irrational square root because it is not a perfect square?
#real-numbers
#root5
#perfect-square
#irrationality
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{4}\)
C \(\sqrt{9}\)
D \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
(4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। / (4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / (5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / In options, identify perfect squares first.
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यदि \(\sqrt{2}\) का प्रमाण लिखते समय छात्र \(q\neq0\) नहीं लिखता, तो क्या कमी रह जाती है?
If a student does not write \(q\neq0\) while proving \(\sqrt{2}\) irrational, what is missing?
#real-numbers
#root2
#rational-form
#proof-writing
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है / The necessary condition of the rational form is incomplete
B प्रमाण में (p) सम नहीं हो सकता / (p) cannot be even in the proof
C \(\sqrt{2}\) अपने आप पूर्णांक बन जाती है / \(\sqrt{2}\) automatically becomes an integer
D वर्ग करना असंभव हो जाता है / Squaring becomes impossible
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Correct Answer
A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है / The necessary condition of the rational form is incomplete
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\) हो। / \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। / This condition is necessary when writing the rational form.
Step 3
Exam Tip
छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं। / Small conditions make the proof complete.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर अंतिम निष्कर्ष देता है?
Which statement gives the final conclusion about (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-step
#divisibility
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B \(q^2=3k^2\), इसलिए (q=1) / \(q^2=3k^2\), so (q=1)
C \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) सम है / \(q^2=3k^2\), so (q) is even
D \(q^2=3k^2\), इसलिए (q) ऋणात्मक है / \(q^2=3k^2\), so (q) is negative
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Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / \(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में किस प्रकार के प्रमाण का प्रयोग सबसे सामान्य है?
Which type of proof is most commonly used to prove the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#proof-method
#irrationality
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
B आरेख द्वारा प्रमाण / Proof by diagram
C मापन द्वारा प्रमाण / Proof by measurement
D अनुमान द्वारा प्रमाण / Proof by guess
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Correct Answer
A. विरोधाभास द्वारा प्रमाण / Proof by contradiction
Step 1
Concept
इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। / Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं। / Hence this is called proof by contradiction.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#real-numbers
#coprime
#root3
#lowest-form
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह हमेशा शून्य है / It is always zero
C यह हमेशा पूर्णांक है / It is always an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
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Correct Answer
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। / So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\).
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का मुख्य विचार सबसे अच्छा व्यक्त हुआ है?
Which option best expresses the main idea behind the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#main-idea
#irrationality
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
B \(\sqrt{2}\) का मान (2) के बराबर है / \(\sqrt{2}\) equals (2)
C (2) का वर्गमूल हमेशा पूर्णांक होता है / The square root of (2) is always an integer
D हर दशमलव संख्या परिमेय होती है / Every decimal number is rational
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न बनाया जाता है। / \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। / The proof shows that numerator and denominator are both even.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा संभव नहीं, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This is impossible in lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) क्यों निष्कर्षित किया जाता है?
Why is \(5\mid b\) concluded from \(5\mid b^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#prime-divisibility
#proof-writing
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
C क्योंकि हर वर्ग संख्या (5) से विभाज्य होती है / Because every square number is divisible by (5)
D क्योंकि \(b^2=b\) होता है / Because \(b^2=b\)
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। / If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। / Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें। / Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होती, तो किस कारण से उसका रूप \(\frac{p}{q}\) अंत में अस्वीकार हो जाता?
If \(\sqrt{2}\) were rational, why would its form \(\frac{p}{q}\) finally be rejected?
#real-numbers
#root2
#fraction-form
#contradiction
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है / Because (p) and (q) get (2) as a common factor
B क्योंकि (p) और (q) दोनों (1) बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become (1)
C क्योंकि (p) और (q) दोनों शून्य बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become zero
D क्योंकि (p) और (q) दोनों अपरिमेय बन जाते हैं / Because (p) and (q) both become irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है / Because (p) and (q) get (2) as a common factor
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows that both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए वह रूप सरलतम नहीं रहता और मान्यता टूट जाती है। / So the form is no longer lowest, and the assumption fails.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) दोनों के प्रमाण में सही है?
Which statement is true in both proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
B दोनों प्रमाणों में अंश और हर सम होते हैं / In both proofs, numerator and denominator become even
C दोनों प्रमाणों में (2) साझा गुणनखंड है / In both proofs, (2) is the common factor
D दोनों प्रमाण दशमलव विस्तार पर आधारित हैं / Both proofs are based on decimal expansion
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Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है / The related prime number starts dividing both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor obtained is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor obtained is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में विचार समान है, केवल अभाज्य संख्या बदलती है। / The idea is the same; only the prime number changes.
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यदि \(x^2\) सम है, तो (x) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(x^2\) is even, what is the correct conclusion about (x)?
#real-numbers
#parity
#even-square
#root2
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x) सम है / (x) is even
B (x) विषम है / (x) is odd
C (x) अभाज्य है / (x) is prime
D (x=1) है / (x=1)
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Correct Answer
A. (x) सम है / (x) is even
Step 1
Concept
यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। / If (x) were odd, then \(x^2\) would be odd.
Step 2
Why this answer is correct
दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। / Since \(x^2\) is given even, (x) must be even.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है। / This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\).
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#coprime
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(5\mid a^2\) से \(5\mid a\) / From \(5\mid a^2\), \(5\mid a\)
B (a=5k) रखने पर \(5\mid b^2\) / After putting (a=5k), \(5\mid b^2\)
C \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) / From \(5\mid b^2\), \(5\mid b\)
D \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। / \(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। / Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है। / So coprimality is not proved; a contradiction is obtained.
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इनमें से कौन-सा निष्कर्ष \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों के लिए सही है?
Which conclusion is correct for all three numbers \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#conclusion
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं / All three are irrational numbers
B तीनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं / All three are natural numbers
C तीनों पूर्ण वर्ग हैं / All three are perfect squares
D तीनों पूर्णांक हैं / All three are integers
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Correct Answer
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं / All three are irrational numbers
Step 1
Concept
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। / (2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। / Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं। / Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational.
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