\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस प्रकार का परिणाम है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) are found divisible by (5). What type of result is this?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#result-type
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिभाषा / Ordinary definition
C दशमलव विस्तार / Decimal expansion
D पूर्ण वर्ग परिणाम / Perfect-square result
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है। / Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि कोई \(5\mid a^2\) से (a=25k) लिख दे, तो गलती क्या है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if someone writes (a=25k) from \(5\mid a^2\), what is the mistake?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#overclaim
A \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
B \(5\mid a^2\) से (a) विषम होता है / From \(5\mid a^2\), (a) is odd
C \(5\mid a^2\) से (a=0) होता है / From \(5\mid a^2\), (a=0)
D \(5\mid a^2\) से (b=5) होता है / From \(5\mid a^2\), (b=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं / From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
Step 1
Concept
अभाज्य नियम से \(5\mid a^2\) होने पर \(5\mid a\) मिलता है। / By the prime rule, \(5\mid a^2\) gives \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a=5k) लिखना सही है, (a=25k) आवश्यक नहीं। / So (a=5k) is correct, but (a=25k) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में अतिरिक्त दावा करने से बचें। / Avoid making extra claims in proofs.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को सबसे साफ ढंग से शुरू करता है?
Which statement starts the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\) most clearly?
#real-numbers
#root5
#opening-statement
#rational-form
A मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
B मान लें \(\sqrt{5}=5\) / Assume \(\sqrt{5}=5\)
C मान लें (b=0) / Assume (b=0)
D मान लें (a=b) / Assume (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं। / For contradiction, first assume \(\sqrt{5}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय रूप को सरलतम भिन्न में लिखते हैं, जहाँ \(b\neq0\)। / Write the rational form as a lowest-form fraction with \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यह शुरुआत बाद के विरोधाभास को मजबूत बनाती है। / This start makes the later contradiction strong.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a=5k) लिखने के लिए बीच का सही निष्कर्ष कौन-सा है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), what is the correct intermediate conclusion needed to write (a=5k) from \(a^2=5b^2\)?
#real-numbers
#root5
#intermediate-step
#divisibility
A (a=b)
B \(5\mid a\)
C (b=5)
D (a=25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(5\mid a\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), we get \(5\mid a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid a\).
Step 3
Exam Tip
फिर (a=5k) लिखा जा सकता है। / Then (a=5k) can be written.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(5\mid b^2\), तो \(5\mid b\) लिखते समय कौन-सी बात जरूर जोड़नी चाहिए?
In the proof for \(\sqrt{5}\), while writing \(5\mid b\) from \(5\mid b^2\), what must be added?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (b=5) है / (b=5)
C (b=0) है / (b=0)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। / The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। / This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है। / Mentioning this reason makes the proof complete in exams.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) क्या होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\). What will \(b^2\) be?
#real-numbers
#root5
#algebra
#simplification
A \(25k^2\)
B \(5k^2\)
C \(k^2\)
D \(\frac{k^2}{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। / Divide both sides of \(25k^2=5b^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। / We get \(5k^2=b^2\), that is \(b^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है। / This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\).
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सा विचार समान है?
Which idea is common in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A दोनों में दशमलव विस्तार से निष्कर्ष मिलता है / Both use decimal expansion for the conclusion
B दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
C दोनों में (2) साझा गुणनखंड मिलता है / In both, (2) is the common factor
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है / In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। / In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। / In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है। / The prime factor changes, but the contradiction structure is the same.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=5b^2\) मिला, तो \(a^2\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(a^2=5b^2\), which statement about \(a^2\) is correct?
#real-numbers
#root5
#equation-analysis
#divisibility
A \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
B \(a^2\) (2) से अवश्य विभाज्य है / \(a^2\) is necessarily divisible by (2)
C \(a^2=0\) है / \(a^2=0\)
D \(a^2=b^2\) है / \(a^2=b^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। / In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है। / Then the prime rule gives \(5\mid a\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य होना किस प्रारंभिक शर्त को तोड़ता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) being divisible by (5) breaks which initial condition?
#real-numbers
#root5
#coprime
#initial-condition
A दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
B दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
C दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
D \(b\neq0\) है / \(b\neq0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। / This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है। / (5) being common to both breaks this condition.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (b) की विभाज्यता का सही आधार दिया गया है?
Which option gives the correct basis for divisibility of (b) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#b-divisibility
#proof-step
A (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
B (a=5k) रखने पर (b=5) / Putting (a=5k) gives (b=5)
C (a=5k) रखने पर (b=a) / Putting (a=5k) gives (b=a)
D (a=5k) रखने पर (b=0) / Putting (a=5k) gives (b=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\) / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
(a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। / Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है। / This shows the final common factor.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन-सी बात बदलती है, जबकि प्रमाण की विधि समान रहती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what changes while the proof method remains the same?
#real-numbers
#root2
#root3
#root5
#comparison
A संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
B हर बार हर शून्य होता है / The denominator is zero every time
C हर बार दशमलव विस्तार लिया जाता है / The decimal expansion is used every time
D हर बार वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root is an integer every time
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है / The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। / In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। / Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(a^2=5b^2\) मिलने पर (a) और (b) में साझा गुणनखंड कैसे बनता है?
After assuming \(\sqrt{5}\) rational and getting \(a^2=5b^2\), how does a common factor appear in (a) and (b)?
#real-numbers
#root5
#common-factor
#proof-flow
A पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\) / First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
B पहले (b=0), फिर (a=0) / First (b=0), then (a=0)
C पहले (a=b), फिर (5=1) / First (a=b), then (5=1)
D पहले \(\sqrt{5}=5\), फिर (a=b) / First \(\sqrt{5}=5\), then (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\) / First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। / Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है। / Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने के बाद कौन-सा निष्कर्ष तुरंत गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after showing (a) is divisible by (5) from \(a^2=5b^2\), which conclusion would be immediately wrong?
#real-numbers
#root5
#overclaim
#error-analysis
A (a=5k) लिखा जा सकता है / (a=5k) can be written
B \(5\mid a\) है / \(5\mid a\)
C (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
D (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है / (a) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। / From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें। / Write only the conclusion that is actually proved.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। इसका (\gcd(a,b)) पर क्या प्रभाव है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, both (a) and (b) turn out divisible by (5). What is its effect on (\gcd(a,b))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(a,b)=1) ही रहेगा / (\gcd(a,b)=1) will still remain
B (\gcd(a,b)=0) होगा / (\gcd(a,b)=0)
C (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
D (\gcd(a,b)) अवश्य (2) होगा / (\gcd(a,b)) must be (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। / Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the coprimality condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) सिद्ध होने के बाद (a=5t) लिखा गया। यह किस बात का संकेत है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after \(5\mid a\) is proved from \(a^2=5b^2\), (a=5t) is written. What does this indicate?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-step
A (a) और (b) बराबर हैं / (a) and (b) are equal
B (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
C (b=5) है / (b=5)
D \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (a) (5) का गुणज है / (a) is a multiple of (5)
Step 1
Concept
\(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। / \(5\mid a\) means (a) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। / Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है। / This form helps prove divisibility of (b) next.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) लिया गया है, तो (a) और (b) के बारे में कौन-सी शर्त प्रमाण के लिए अनिवार्य है?
If \(\sqrt{5}\) is assumed rational as \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), which condition about (a) and (b) is essential for the proof?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#coprime
A (a=b) होना चाहिए / (a=b) must hold
B (b=0) होना चाहिए / (b=0) must hold
C (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
D (a) और (b) दोनों (5) होने चाहिए / Both (a) and (b) must be (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। / In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / This condition later creates the contradiction with a common factor.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(x^2=5y^2\) से (x) के बारे में गलत निष्कर्ष देता है?
Which option gives an incorrect conclusion about (x) from \(x^2=5y^2\) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#overclaim
A (x) अवश्य (25) से विभाज्य है / (x) is necessarily divisible by (25)
B \(x^2\) (5) से विभाज्य है / \(x^2\) is divisible by (5)
C (x) (5) से विभाज्य है / (x) is divisible by (5)
D (x=5m) लिखा जा सकता है / (x=5m) can be written
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) अवश्य (25) से विभाज्य है / (x) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
\(x^2=5y^2\) से \(5\mid x^2\) और फिर \(5\mid x\) मिलता है। / From \(x^2=5y^2\), we get \(5\mid x^2\) and then \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। / This does not necessarily mean that (x) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
जितना निष्कर्ष सिद्ध हो, उतना ही लिखें। / Write only what is proved.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य होने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) are divisible by (5), which statement would be false?
#real-numbers
#root5
#coprime
#false-statement
A (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
B (x) (5) से विभाज्य है / (x) is divisible by (5)
C (y) (5) से विभाज्य है / (y) is divisible by (5)
D (5) साझा गुणनखंड है / (5) is a common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। / Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime is proved false.
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किस विकल्प में \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही अंतिम वाक्य है?
Which option gives the correct final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#final-statement
#proof-writing
A अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
B अतः (5) अपरिमेय है / Hence (5) is irrational
C अतः \(\sqrt{5}=5\) / Hence \(\sqrt{5}=5\)
D अतः (p=q) / Hence (p=q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। / The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) लेते समय कौन-सी शर्त आवश्यक है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), which condition is necessary while taking \(5\mid y\) from \(5\mid y^2\)?
#real-numbers
#root5
#prime-condition
#proof-detail
A (5) अभाज्य है / (5) is prime
B (5) सम है / (5) is even
C (y) शून्य है / (y) is zero
D (y) ऋणात्मक है / (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (5) अभाज्य है / (5) is prime
Step 1
Concept
\(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। / The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। / Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा। / Without mentioning primality, this step looks incomplete.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (x) और (y) को सहअभाज्य लेते समय किस बात का ध्यान रखना जरूरी है?
While taking (x) and (y) coprime in the proof for \(\sqrt{5}\), what must be kept in mind?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#denominator
A \(y\neq0\) होना भी जरूरी है / It is also necessary that \(y\neq0\)
B (y=0) होना जरूरी है / It is necessary that (y=0)
C (x=y) होना जरूरी है / It is necessary that (x=y)
D (x) और (y) दोनों दशमलव हों / Both (x) and (y) must be decimals
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Correct Answer
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है / It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। / So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है। / Complete conditions make the proof stronger.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में (5) का पूर्ण वर्ग न होना किस तरह सहायक है?
How does (5) not being a perfect square help in understanding the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#perfect-square
#concept-depth
A यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए / It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
B यह सीधे बताता है कि \(\sqrt{5}=5\) / It directly shows \(\sqrt{5}=5\)
C यह बताता है कि (5) सम है / It shows that (5) is even
D यह हर को शून्य बना देता है / It makes the denominator zero
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Correct Answer
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए / It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
(5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। / Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। / But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है। / That is why the contradiction proof is written.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में \(5\mid x^2\) से (x=5m) तक जाने में कौन-सी बात छिपी है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{5}\), what idea is hidden in moving from \(5\mid x^2\) to (x=5m)?
#real-numbers
#root5
#multiple-form
#proof-detail
A \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
B (x=5) अवश्य / (x=5) necessarily
C (x) शून्य है / (x) is zero
D (x) (2) से विभाज्य है / (x) is divisible by (2)
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Correct Answer
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप / \(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। / First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। / Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें। / In the proof, write these two small steps clearly.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, तो (\gcd(x,y)) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) turn out divisible by (5), what can be said about (\gcd(x,y))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(x,y)\ge5)
B (\gcd(x,y)=1) अवश्य / (\gcd(x,y)=1) necessarily
C (\gcd(x,y)=0)
D (\gcd(x,y)=2) अवश्य / (\gcd(x,y)=2) necessarily
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Correct Answer
A. (\gcd(x,y)\ge5)
Step 1
Concept
(x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। / Both (x) and (y) are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the condition of being coprime.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में (2) की जगह क्रमशः कौन-से अभाज्य गुणनखंड आते हैं?
In the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\), which prime factors appear respectively instead of (2)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
A (3) और (5) / (3) and (5)
B (5) और (3) / (5) and (3)
C (2) और (2) / (2) and (2)
D (1) और (5) / (1) and (5)
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Correct Answer
A. (3) और (5) / (3) and (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें। / Identify the related prime in each proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन (5) के अभाज्य होने का सही उपयोग है?
Which statement correctly uses the primality of (5) in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#prime-property
#divisibility
A यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\) / If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
B यदि \(5\mid x\), तो (x=1) / If \(5\mid x\), then (x=1)
C यदि \(5\mid x^2\), तो (x=25) / If \(5\mid x^2\), then (x=25)
D यदि \(5\mid x\), तो (x) विषम नहीं है / If \(5\mid x\), then (x) is not odd
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Correct Answer
A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\) / If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। / If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है। / This rule gives the divisibility of (x) and later (y).
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(x^2=5y^2\) मिलता है, तो (x) को (5n) लिखने के बाद प्रमाण किस निष्कर्ष की ओर बढ़ता है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(x^2=5y^2\), after writing (x=5n), toward which conclusion does the proof move?
#real-numbers
#root5
#proof-direction
#prime-rule
A \(5\mid y\)
B (y=1)
C (x=y)
D (y) सम है / (y) is even
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Correct Answer
A. \(5\mid y\)
Step 1
Concept
(x=5n) रखने से \(y^2=5n^2\) मिलता है। / Putting (x=5n) gives \(y^2=5n^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(5\mid y^2\), और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) निकलता है। / So \(5\mid y^2\), and by the prime rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
तब (x) और (y) दोनों में (5) साझा हो जाता है। / Then (5) becomes common to both (x) and (y).
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (x=5n) रखने के बाद \(25n^2=5y^2\) मिला। अगला सही सरलीकरण क्या है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), after putting (x=5n), \(25n^2=5y^2\) is obtained. What is the next correct simplification?
#real-numbers
#root5
#algebra
#simplification
A \(y^2=5n^2\)
B \(y^2=25n^2\)
C \(y^2=n^2\)
D \(y=5n^2\)
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Correct Answer
A. \(y^2=5n^2\)
Step 1
Concept
\(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। / In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। / This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ। / While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25).
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{5}\) को परिमेय सिद्ध करने के लिए केवल \(\sqrt{5}\approx2.236\) लिखता है, तो यह तर्क क्यों अधूरा है?
If a student writes only \(\sqrt{5}\approx2.236\) to prove rationality or irrationality, why is this argument incomplete?
#real-numbers
#root5
#decimal-approximation
#proof-quality
A दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता / A finite decimal approximation is not a proof
B दशमलव लिखना हमेशा गलत होता है / Writing decimals is always wrong
C (2.236) एक पूर्णांक है / (2.236) is an integer
D \(\sqrt{5}\) का वर्ग (2.236) है / The square of \(\sqrt{5}\) is (2.236)
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Correct Answer
A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता / A finite decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
(2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। / (2.236) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। / To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें। / In exams, do not write a decimal approximation in place of proof.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid p\) और \(5\mid q\) मिलना किस बात का संकेत है?
If (p) and (q) are coprime, what does obtaining \(5\mid p\) and \(5\mid q\) in the proof for \(\sqrt{5}\) indicate?
#real-numbers
#root5
#coprime
#contradiction
A प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B भिन्न सरलतम रूप में है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
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Correct Answer
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। / \(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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