At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is a contradictory result, and the rational assumption is false. चरण 1: शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है और परिमेय मान्यता गलत होती है।
A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं/From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
Step 1
Concept
By the prime rule, \(5\mid a^2\) gives \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
So (a=5k) is correct, but (a=25k) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
Avoid making extra claims in proofs. चरण 1: अभाज्य नियम से \(5\mid a^2\) होने पर \(5\mid a\) मिलता है। चरण 2: इससे (a=5k) लिखना सही है, (a=25k) आवश्यक नहीं। चरण 3: प्रमाण में अतिरिक्त दावा करने से बचें।
A. मान लें \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(b\neq0\)/Assume \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
For contradiction, first assume \(\sqrt{5}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Write the rational form as a lowest-form fraction with \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This start makes the later contradiction strong. चरण 1: विरोधाभास के लिए पहले \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: परिमेय रूप को सरलतम भिन्न में लिखते हैं, जहाँ \(b\neq0\)। चरण 3: यह शुरुआत बाद के विरोधाभास को मजबूत बनाती है।
Then (a=5k) can be written. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) मिलता है। चरण 2: (5) अभाज्य होने से \(5\mid a\) निष्कर्ष मिलता है। चरण 3: फिर (a=5k) लिखा जा सकता है।
The step from \(5\mid b^2\) to \(5\mid b\) uses the prime-factor rule.
Step 2
Why this answer is correct
This rule applies because (5) is prime.
Step 3
Exam Tip
Mentioning this reason makes the proof complete in exams. चरण 1: \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) निकालने में अभाज्य गुणनखंड का नियम लगता है। चरण 2: यह नियम इसलिए लागू है क्योंकि (5) अभाज्य है। चरण 3: परीक्षा में यह कारण लिखने से प्रमाण पूर्ण दिखता है।
This gives \(5\mid b^2\) and then \(5\mid b\). चरण 1: \(25k^2=5b^2\) में दोनों पक्षों को (5) से भाग दें। चरण 2: \(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\)। चरण 3: यही \(5\mid b^2\) और फिर \(5\mid b\) देता है।
B. दोनों में संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देती है/In both, the related prime number divides both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the common factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), the common factor is (5).
Step 3
Exam Tip
The prime factor changes, but the contradiction structure is the same. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। चरण 3: दोनों में अभाज्य गुणनखंड बदलता है, लेकिन विरोधाभास का ढाँचा समान है।
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives \(5\mid a\). चरण 1: \(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है।
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
(5) being common to both breaks this condition. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है।
A. (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)/Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\)
Step 1
Concept
Substituting (a=5k) in \(a^2=5b^2\) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows the final common factor. चरण 1: (a=5k) को \(a^2=5b^2\) में रखने से \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यह अंतिम साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. संबंधित अभाज्य गुणनखंड (2,3,5) बदलता है/The related prime factor (2,3,5) changes
Step 1
Concept
In all three proofs, the rational assumption is made first.
Step 2
Why this answer is correct
Then the related prime number becomes common to numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: तीनों में पहले परिमेय मान्यता ली जाती है। चरण 2: फिर संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों में साझा बनती है। चरण 3: ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
A. पहले \(5\mid a\), फिर (a=5k) रखने से \(5\mid b\)/First \(5\mid a\), then substituting (a=5k) gives \(5\mid b\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
Putting (a=5k) gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
Now (5) becomes a common factor and gives the contradiction. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a\) मिलता है। चरण 2: (a=5k) रखने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b\)। चरण 3: अब (5) दोनों में साझा गुणनखंड बनकर विरोधाभास देता है।
C. (a) (25) से अवश्य विभाज्य है/(a) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(5\mid a^2\), so \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
This does not necessarily mean (a) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
Write only the conclusion that is actually proved. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से \(5\mid a^2\) और इसलिए \(5\mid a\) मिलता है। चरण 2: इससे (a) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। चरण 3: जितना सिद्ध हो, केवल उतना ही निष्कर्ष लिखें।
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा/(\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the coprimality condition. चरण 1: दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है।
Divisibility is written in multiple form, so (a=5t).
Step 3
Exam Tip
This form helps prove divisibility of (b) next. चरण 1: \(5\mid a\) का अर्थ है कि (a) (5) से विभाज्य है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज के रूप में लिखते हैं, इसलिए (a=5t)। चरण 3: यह रूप आगे (b) की विभाज्यता सिद्ध करने में मदद करता है।
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए/(a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This condition later creates the contradiction with a common factor. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है।
A. (x) अवश्य (25) से विभाज्य है/(x) is necessarily divisible by (25)
Step 1
Concept
From \(x^2=5y^2\), we get \(5\mid x^2\) and then \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
This does not necessarily mean that (x) is divisible by (25).
Step 3
Exam Tip
Write only what is proved. चरण 1: \(x^2=5y^2\) से \(5\mid x^2\) और फिर \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: इससे (x) का (25) से विभाज्य होना जरूरी नहीं है। चरण 3: जितना निष्कर्ष सिद्ध हो, उतना ही लिखें।
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime is proved false. चरण 1: दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a common-factor contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The contradiction proves that assumption false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by writing that \(\sqrt{5}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास से वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। चरण 3: अंत में स्पष्ट लिखें कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।
The step from \(5\mid y^2\) to \(5\mid y\) uses the prime-divisibility rule.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, the conclusion is valid.
Step 3
Exam Tip
Without mentioning primality, this step looks incomplete. चरण 1: \(5\mid y^2\) से \(5\mid y\) निकालने में अभाज्यता का नियम लगता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष सही है। चरण 3: बिना अभाज्यता बताए यह कदम अधूरा लगेगा।
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। चरण 3: शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है।
A. यह बताता है कि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं है, पर पूर्ण अपरिमेयता के लिए विरोधाभास प्रमाण चाहिए/It shows \(\sqrt{5}\) is not an integer, but full irrationality needs contradiction proof
Step 1
Concept
Since (5) is not a perfect square, \(\sqrt{5}\) cannot be an integer.
Step 2
Why this answer is correct
But to prove irrationality, we must also show it is not any rational fraction.
Step 3
Exam Tip
That is why the contradiction proof is written. चरण 1: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) पूर्णांक नहीं हो सकता। चरण 2: पर अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना भी जरूरी है कि वह कोई परिमेय भिन्न नहीं है। चरण 3: इसलिए विरोधाभास वाला प्रमाण लिखा जाता है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
This goes against the condition of being coprime. चरण 1: (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\), so (3) is used.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\), so (5) is used.
Step 3
Exam Tip
Identify the related prime in each proof. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है, इसलिए (3) काम करता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में \(p^2=5q^2\) बनता है, इसलिए (5) काम करता है। चरण 3: हर प्रमाण में संबंधित अभाज्य संख्या पहचानें।
A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)/If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime number divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule gives the divisibility of (x) and later (y). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या किसी वर्ग को भाग दे तो वह मूल संख्या को भी भाग देती है। चरण 3: इसी नियम से (x) और बाद में (y) की विभाज्यता मिलती है।
So \(5\mid y^2\), and by the prime rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
Then (5) becomes common to both (x) and (y). चरण 1: (x=5n) रखने से \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(5\mid y^2\), और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) निकलता है। चरण 3: तब (x) और (y) दोनों में (5) साझा हो जाता है।
In \(25n^2=5y^2\), both sides can be divided by (5).
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(5n^2=y^2\), that is \(y^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
While simplifying, remove only the common factor, not the whole (25). चरण 1: \(25n^2=5y^2\) में दोनों पक्ष (5) से भाग दिए जा सकते हैं। चरण 2: इससे \(5n^2=y^2\), अर्थात \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में (25) को पूरा नहीं हटाएँ, केवल समान गुणनखंड हटाएँ।
A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता/A finite decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
(2.236) is only an approximate value, not the full value.
Step 2
Why this answer is correct
To prove irrationality, we must assume rationality and show a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not write a decimal approximation in place of proof. चरण 1: (2.236) केवल अनुमानित मान है, पूरा मान नहीं। चरण 2: अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय मानकर विरोधाभास दिखाना पड़ता है। चरण 3: परीक्षा में दशमलव अनुमान को प्रमाण की जगह न लिखें।
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
