Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ऊपर \(10^4\) common लेने पर \(\dfrac{10^4(10-1)}{9\times 10^3}=10\) मिलता है। परीक्षा में common factor लेने से गणना आसान होती है। / Taking \(10^4\) common in the numerator gives \(\dfrac{10^4(10-1)}{9\times 10^3}=10\). In exams, taking a common factor makes calculation easier.
ऊपर से \(7^4\) common लेने पर (\dfrac{74(7-1)}{74}=6) मिलता है। परीक्षा में समान factor common लेना गणना को छोटा करता है। / Taking \(7^4\) common in the numerator gives (\dfrac{74(7-1)}{74}=6). In exams, taking a common factor makes calculation shorter.
यहां \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), इसलिए मूल बराबर वास्तविक हैं। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड हटाने पर भी प्रकृति नहीं बदलती। / Here \(D=20^2-4\cdot5\cdot20=0\), so the roots are equal and real. In exams, removing a common factor does not change the nature.
\(11x^2-77x=0\) से (11x(x-7)=0), इसलिए (x=0) और (x=7) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(11x^2-77x=0\), (11x(x-7)=0), so (x=0) and (x=7). In exams, dividing by the variable can miss one root.
\(9x^2-45x=0\) से (9x(x-5)=0), इसलिए (x=0) और (x=5) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(9x^2-45x=0\), (9x(x-5)=0), so (x=0) and (x=5). In exams, dividing by the variable can miss one root.
\(7x^2-28x=0\) से (7x(x-4)=0), इसलिए (x=0) और (x=4) हैं। परीक्षा में चर से भाग देने से एक मूल छूट सकता है। / From \(7x^2-28x=0\), (7x(x-4)=0), so (x=0) and (x=4). In exams, dividing by the variable can miss one root.
सामान्य गुणनखंड (9x) निकालने पर (9x(x-3)=0) मिलता है। परीक्षा में गुणनखंड निकालने के बाद विस्तार करके जांचें। / Taking common factor (9x) gives (9x(x-3)=0). In exams, check by expanding after factoring.
(4x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (4x(x+7)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (4x) is the common factor, so (4x(x+7)=0). In exams, take out the greatest common factor.
सामान्य गुणनखंड (7x) निकालने पर (7x(x-2)=0) मिलता है। परीक्षा में गुणनखंड निकालने के बाद विस्तार करके जांच सकते हैं। / Taking common factor (7x) gives (7x(x-2)=0). In exams, you can check by expanding after factoring.
(5x) सामान्य गुणनखंड है, इसलिए (5x(x+3)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / (5x) is the common factor, so (5x(x+3)=0). In exams, take out the greatest common factor.
\(x^2-16x\) में सामान्य गुणनखंड (x) है, इसलिए (x(x-16)=0) लिखते हैं। परीक्षा में चर से भाग देकर (x=0) को न छोड़ें। / The common factor in \(x^2-16x\) is (x), so we write (x(x-16)=0). In exams, do not divide by the variable and lose (x=0).
सामान्य गुणनखंड (3x) निकालने पर (3x(x-4)=0) मिलता है। परीक्षा में सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड निकालें। / Taking common factor (3x) gives (3x(x-4)=0). In exams, take out the greatest common factor.
x² और 5x दोनों में x सामान्य गुणनखंड है। इसलिए x को बाहर लेने पर x² + 5x = x(x + 5) मिलता है और समीकरण x(x + 5) = 0 बन जाता है। विकल्प B में चिह्न गलत है, क्योंकि सही रूपांतरण x² = -5x होगा। परीक्षा में पहले सामान्य गुणनखंड निकालें, फिर शून्य-गुणनफल नियम लगाकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / The terms x² and 5x have x as a common factor. Factoring it out gives x² + 5x = x(x + 5), so the equation becomes x(x + 5) = 0. Option B has the wrong sign; the correct rearrangement would be x² = -5x. Exam tip: factor out the common term first, then apply the zero-product property to set each factor equal to zero.
समीकरण को गुणनखंडित करने पर \(x^2+6x=x(x+6)=0\) मिलता है। अतः \(x=0\) या \(x+6=0\), जिससे \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए मूल \(0\) और \(-6\) हैं। विकल्प B में \(-6\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / Factoring the equation gives \(x^2+6x=x(x+6)=0\). Hence, either \(x=0\) or \(x+6=0\), which gives \(x=-6\). Therefore, the roots are \(0\) and \(-6\). Option B has the incorrect sign for the second root. Exam tip: When a quadratic has no constant term, take the common factor first and set each factor equal to zero.
समान्य गुणनखंड निकालें: \(2x^2-10x=2x(x-5)\). शून्य गुणनफल नियम के अनुसार किसी भी गुणनखंड को शून्य रखकर हल करें: \(2x=0\) से \(x=0\) और \(x-5=0\) से \(x=5\)। इसलिए मूल \(0\) और \(5\) हैं। विकल्प B (2 और 5) गलत है — वहाँ \(x=2\) कोई समाधान नहीं है; विकल्प C का संकेत चिह्न उल्टा है और विकल्प D में दूसरा मूल गलत (10) है। परीक्षा टिप: सबसे पहले सामान्य गुणनखंड (common factor) निकालें और फिर प्रत्येक गुणनखंड को \(0\) के बराबर रखकर हल करें। / Factor out the common term: \(2x^2-10x=2x(x-5)\). By the zero-product property set each factor to zero: \(2x=0\) gives \(x=0\), and \(x-5=0\) gives \(x=5\). Hence the roots are 0 and 5. Option B (2 and 5) is incorrect because \(x=2\) does not satisfy the equation; option C has the wrong sign for one root and option D's second root 10 is incorrect. Exam tip: always factor out the greatest common factor first, then apply the zero-product rule and check signs.
समीकरण को गुणा किए गए रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-5x = x(x-5)\). यदि किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य है तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा। इसलिए \(x=0\) अथवा \(x-5=0\) से \(x=5\)। अतः मूल 0 और 5 हैं। निकटतम विचलक विकल्प D (0 और -5) इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ दूसरा मूल का संकेत गलत लिया गया है — सही गुणनखंड \(x-5\) से +5 मिलता है, -5 नहीं। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात को हमेशा गुणनखंडों में तोड़कर प्रत्येक कारक को शून्य मानकर जाँच करें और संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x = x(x-5)\). If a product is zero, at least one factor is zero, so \(x=0\) or \(x-5=0\) giving \(x=5\). Thus the roots are 0 and 5. The closest distractor is D (0 and -5) — it has 0 correct but the sign of the other root is wrong because the factor is \(x-5\), not \(x+5\). Exam tip: Always factor and set each factor to zero; carefully check signs when solving for roots.
समीकरण को सामान्य गुणनखंड के रूप में लिखें: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). किसी गुणनखंड का शून्य तब होता है जब कोई एक कारक शून्य हो, इसलिए \(3x=0\) से \(x=0\) और \(x-4=0\) से \(x=4\)। अतः मूल 0 और 4 हैं। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प B (3 और 4) इसलिए गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर अभिव्यक्ति \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\) शून्य नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी द्विघात में पहले सामान्य गुणनखंड बाहर निकालें; अगर आपने किसी चरण में विभाजन से x निकाल दिया है तो x=0 की संभावना अलग से जाँचे। / Factor the left side: \(3x^2-12x=3x(x-4)\). A product is zero when one factor is zero, so \(3x=0\) gives \(x=0\) and \(x-4=0\) gives \(x=4\). Hence the roots are 0 and 4. The closest distractor B (3 and 4) is wrong because substituting \(x=3\) yields \(3(3)^2-12(3)=27-36=-9\), not zero. Exam tip: always factor out the common factor first; if you divide by x, check x=0 separately.
हर पद को (8) से भाग देने पर \(x^2-4x+3=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (8) gives \(x^2-4x+3=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
हर पद को (6) से भाग देने पर \(x^2-3x+2=0\) मिलता है। समान अशून्य गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (6) gives \(x^2-3x+2=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
हर पद को (3) से भाग देने पर \(x^2-4x+4=0\) मिलता है। समान गुणनखंड से भाग देने पर मूल नहीं बदलते। / Dividing every term by (3) gives \(x^2-4x+4=0\). Dividing by a common nonzero factor does not change the roots.
सामान्य गुणनखंड हटाने पर \(x^2-6x+7\) मिलता है और (D=36-28=8)। (D) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है, इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / After removing the common factor, we get \(x^2-6x+7\), and (D=36-28=8). Since (D) is positive and not a perfect square, the zeroes are real irrational.
(3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), इसलिए शून्यक \(2\pm\sqrt{2}\) हैं। पहले सामान्य गुणनखंड हटाना गणना आसान करता है। / Since (3x-2-12x+6=3\(x^2-4x+2\)), the zeroes are \(2\pm\sqrt{2}\). Removing a common factor first makes calculation easier.
