discriminant se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
761 questions tagged with discriminant.
If (p(x)=x-2+2x+c) has no real zero, which condition on (c) is correct?
A. (c>1)
कोई वास्तविक शून्यक नहीं होने के लिए विविक्तकर (4-4c<0) चाहिए। इससे (c>1) मिलता है। / For no real zero, the discriminant must satisfy (4-4c<0). This gives (c>1).
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If both zeroes of (p(x)=x-2+rx+9) are equal and negative, what is the value of (r)?
A. (6)
समान शून्यकों के लिए \(r^2-36=0\), अतः \(r=\pm6\)। ऋणात्मक शून्यक के लिए योग धनात्मक (6) होना चाहिए, इसलिए (r=6)। / For equal zeroes, \(r^2-36=0\), so \(r=\pm6\). For negative zeroes the sum must be positive (6), hence (r=6).
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If both zeroes of (p(x)=2x-2+kx+8) are equal, what is \(k^2\)?
A. (64)
बराबर शून्यकों के लिए विविक्तकर (0) होता है, अतः \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\)। इसलिए \(k^2=64\) है। / For equal zeroes, the discriminant is (0), so \(k^2-4\cdot2\cdot8=0\). Hence \(k^2=64\).
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If the zeroes of \(x^2-9x+k\) are equal, what is the value of (k)?
C. \(\frac{81}{4}\)
बराबर शून्यकों के लिए विविक्तकर \(b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए (81-4k=0) से \(k=\frac{81}{4}\) मिलता है। / For equal zeroes, the discriminant \(b^2-4ac=0\). Thus (81-4k=0), giving \(k=\frac{81}{4}\).
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B. असंभव है क्योंकि विविक्तकर ऋणात्मक हैImpossible because the discriminant is negative
परिमाप (20) होने पर (l+b=10) और (lb=96)। समीकरण (x(10-x)=96) का विविक्तकर (100-384<0), इसलिए आयत संभव नहीं। / With perimeter (20), (l+b=10) and (lb=96). The equation (x(10-x)=96) has discriminant (100-384<0), so the rectangle is impossible.
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A. \(-1<r<5\)
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-2)^2-9<0\), अर्थात \((r-2)^2<9\)। इससे \(-3<r-2<3\) और अतः \(-1<r<5\) प्राप्त होता है। सीमांत मान \(r=-1\) और \(r=5\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ एक समान वास्तविक मूल होता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((r-2)^2-9<0\), or \((r-2)^2<9\). This gives \(-3<r-2<3\), and hence \(-1<r<5\). At the endpoints \(r=-1\) and \(r=5\), \(D=0\), so the equation has one repeated real root; therefore option C is not correct. Exam tip: use \(D<0\) for no real roots, \(D=0\) for equal real roots, and \(D>0\) for two distinct real roots.
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If \\(m+4)x^2-2(m+2)x+m=0\\) with \\(m\ne -4\\), what will be the nature of its roots?
A. दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots
यहाँ \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\) और \(c=m\) हैं। शर्त \(m\ne-4\) से \(a\ne0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। इसका विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\), and \(c=m\). The condition \(m\ne-4\) ensures that \(a\ne0\), so the equation is genuinely quadratic. Its discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct. Equal roots would require \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
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A. a > −2
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
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A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots for every real \(a\)
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.
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A. \(p>0\)
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-11p\), इसलिए \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, अतः \(44p>0\), यानी \(p>0\)। ध्यान रखें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-11p\), so \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\). Two real and distinct roots require \(D>0\); hence \(44p>0\), which gives \(p>0\). Note that when \(p=0\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct.
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A. \\(a\ge -3\\)
\\(L\\) के वास्तविक मान होने के लिए विविक्तकर \\(D\\ge0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। इसलिए \\(8(a+3)\ge0\\), अर्थात \\(a\ge-3\\)। विकल्प B में असमानता उलटी है; जबकि \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में वास्तविक मूलों की शर्त के लिए हमेशा \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For real values of \\(L\\), the discriminant must satisfy \\(D\ge0\\)। Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(8(a+3)\ge0\\), giving \\(a\ge-3\\)। Option B reverses the inequality; at \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the equation has two equal real roots. In exams, use \\(D\ge0\\) whenever real roots are required.
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A. \\(a\ge -3\\)
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। अतः \\(D\ge0\\) से \\(a\ge-3\\) प्राप्त होता है। \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must be zero or positive. Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(D\ge0\\) gives \\(a\ge-3\\). At \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the roots are equal and real, so option B is incorrect. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \\(D\ge0\\).
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A. दो अलग-अलग बिंदुओं परAt two distinct points
\(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(y=0\) रखना होगा, जिससे \(x^2-2kx+k^2-16=0\) प्राप्त होता है। इसका विवर्तक \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\) है। अतः हर वास्तविक \(k\) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ है दो भिन्न वास्तविक मूल। / To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\), giving \(x^2-2kx+k^2-16=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\). Therefore, for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real roots.
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How does the parabola \(y=x^2-2(k+2)x+(k+2)^2\) meet the \(x\)-axis?
A. केवल स्पर्श करेगाIt will only touch the axis
दिया गया समीकरण \(y=(x-(k+2))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए \((x-(k+2))^2=0\), जिसका एक ही वास्तविक मूल \(x=k+2\) है। अतः परवलय प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है; यह केवल \(k=-2\) पर निर्भर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो ग्राफ अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है। / The equation can be written as \(y=(x-(k+2))^2\). On the \(x\)-axis, \(y=0\), so \((x-(k+2))^2=0\), which has the single real root \(x=k+2\). Therefore, for every real value of \(k\), the parabola only touches the \(x\)-axis; it is not restricted to \(k=-2\). Exam tip: when the discriminant of the corresponding quadratic is \(D=0\), the graph touches the axis at exactly one point.
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A. कोई प्रतिच्छेद नहींNo intersection
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2+9=0\) या \((x-k)^2+9=0\) बनेगा। चूँकि \((x-k)^2\geq 0\), इसलिए बायाँ पक्ष हमेशा कम-से-कम 9 रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। समतुल्य रूप से, विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\) है। इसलिए कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \((x-k)^2+9\) के रूप में लिखने पर निष्कर्ष तुरंत मिल जाता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+9=0\), or \((x-k)^2+9=0\). Since \((x-k)^2\geq 0\), the left side is always at least 9 and can never be zero. Equivalently, the discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\), so there are no real points of intersection. The tempting answers of one or two intersections are incorrect because they would require a zero or positive discriminant. Exam tip: completing the square gives the result immediately.
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A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+49\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\)। अतः \(r\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+49\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\). Therefore, for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not possible here. Exam tip: a quadratic equation with real coefficients has no real roots whenever its discriminant is negative.
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A. दो वास्तविक और असमान मूलTwo real and distinct roots
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
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What is the nature of the roots of the equation \(x^2-2(3+\sqrt{5})x+(14+6\sqrt{5})=0\)?
A. दो वास्तविक और समानTwo real and equal
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
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What is the nature of the roots of \\(x^2+2(3-\sqrt{10})x+16=0\\)?
A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \\(D<0\\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\). Therefore, the equation has no real roots. Option B would require \\(D=0\\), but the discriminant here is negative. Exam tip: For a quadratic equation, \\(D<0\\) means that the roots are not real.
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A. \(n>4\)
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(20n-80>0\), अर्थात \(20n>80\), जिससे \(n>4\) प्राप्त होता है। \(n=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं; अतः वह विकल्प B नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति के लिए पहले \(D\) का संकेत जाँचें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Thus, \(20n-80>0\), so \(20n>80\) and hence \(n>4\). At \(n=4\), \(D=0\), which gives two equal real roots, not distinct roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
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A. −1 < z < 9
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर D < 0 होना चाहिए। अतः (z − 9)(z + 1) < 0। इस गुणनफल का मान दोनों शून्यकों −1 और 9 के बीच ऋणात्मक होता है, इसलिए −1 < z < 9। विकल्प B में D > 0 होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि सिरों z = −1 और z = 9 पर D = 0 होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल के दो रैखिक गुणकों के बीच का अंतराल जाँचने के लिए किसी एक मान, जैसे z = 0, पर चिन्ह अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies D < 0. Therefore, (z − 9)(z + 1) < 0. This product is negative between its zeros, −1 and 9, so −1 < z < 9. In option B, D > 0, which gives two distinct real roots; at z = −1 or z = 9, D = 0, which gives equal real roots. Exam tip: For a product of two linear factors, test a value such as z = 0 to confirm the sign in the interval between the zeros.
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A. \(m=8\)
द्विघात समीकरण के समान मूल तभी होते हैं जब उसका विविक्तकर \(D=0\) हो। अतः \((m-8)^2=0\), जिससे \(m-8=0\) और \(m=8\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए \((m-8)^2\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is \(D=0\). Therefore, \((m-8)^2=0\), which gives \(m-8=0\) and hence \(m=8\). Option D is incorrect because \((m-8)^2\) is not zero for every real value of \(m\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
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A. \\(D_1=(y+5)^2\\)
क्योंकि \\(y\neq -5\\), इसलिए \\(y+5\neq 0\\) और \\(D_1=(y+5)^2>0\\) होगा। विविक्तकर \\(D>0\\) होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। दूसरी ओर, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\) होने से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Since \\(y\neq -5\\), we have \\(y+5\neq 0\\), so \\(D_1=(y+5)^2>0\\). A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant satisfies \\(D>0\\). In contrast, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\), which gives no real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
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What is the discriminant \(D\) of the quadratic equation \(x^2-2(k-3)x+k^2=0\)?
A. \(36-24k\)
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\)। विकल्प B में ऋणात्मक पद का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में वर्ग खोलने या गुणांक लेने में त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(b\) को पूरा पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\). Option B has the wrong sign for the linear term, while options C and D result from errors in expanding the square or handling its coefficients. Exam tip: identify the complete coefficient \(b\) before substituting into \(b^2-4ac\).
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A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता हैBoth the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(x\)-अक्ष को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ है कि परवलय और \(x\)-अक्ष के बीच कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। / Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=11\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola neither intersects nor touches the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: \(D<0\) indicates no real intersection between the parabola and the \(x\)-axis.
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A. कथन और कारण दोनों सही हैंBoth the assertion and the reason are correct
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\) और \(C=(a+3b)^2\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\)। चूँकि \(ab<0\), अतः \(-48ab>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \(D=0\) होता, तभी मूल वास्तविक और समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\), and \(C=(a+3b)^2\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\). Since \(ab<0\), we have \(-48ab>0\), so the roots are real and distinct. The roots would be real and equal only if \(D=0\). Exam tip: First determine the sign of the discriminant—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
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A. कोई वास्तविक मूल नहींNo real roots
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\) है, जो प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) सीधे तौर पर कोई वास्तविक मूल न होने को दर्शाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\), which remains negative for every real value of \(p\). Hence, the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), whereas here \(D<0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately indicates that there are no real roots.
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A. 24k-2-14k-3=0
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\) और \\(c=(k+2)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(24k^2-14k-3=0\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर के विस्तार में गणना की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\), and \\(c=(k+2)^2\\). Thus, \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(24k^2-14k-3=0\\), so option A is correct. Option B results from an expansion error while simplifying the discriminant. Exam tip: For equal roots, immediately apply \\(b^2-4ac=0\\).
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A. m > 1
यहाँ a = 1, b = 2(m − 5) और c = m² − 9m + 24 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 होना चाहिए, इसलिए 4(1 − m) < 0 से m > 1 प्राप्त होता है। m = 1 पर D = 0 होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं; अतः विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त हमेशा D < 0 याद रखें। / Here, a = 1, b = 2(m − 5), and c = m² − 9m + 24. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m). For the equation to have no real roots, D must be less than zero. Thus, 4(1 − m) < 0 gives m > 1. When m = 1, D = 0, so the equation has two equal real roots; hence option C is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, remember that no real roots occur when D < 0.
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If the quadratic equation \(x^2+2(m-5)x+(m^2-9m+24)=0\) has equal roots, what is the value of \(m\)?
A. 1
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-5)\) और \(c=m^2-9m+24\) हैं। इसलिए \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(1-m)=0\), अतः \(m=1\)। परीक्षा-टिप: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करें और पूरे विविक्तकर को सरल करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-5)\), and \(c=m^2-9m+24\). Thus, \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(1-m)=0\), so \(m=1\). Exam tip: For equal-root questions, begin with \(D=0\) and simplify the discriminant carefully.
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