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A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-64\)=256) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4p-2-4\(p^2-64\)=256). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=1)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+3)\) और \(C=(a+1)(a+2)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\) प्राप्त होता है। इसलिए \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न हैं। साथ ही \(D=1\) पूर्ण वर्ग है और \(a\) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt D=1\) तथा दोनों मूल परिमेय होंगे; वास्तव में मूल \(a+1\) और \(a+2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) से पहले वास्तविकता जाँचें, फिर \(D\) के पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता तय करें। / Here \(A=1\), \(B=-(2a+3)\), and \(C=(a+1)(a+2)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+3)^2-4(a+1)(a+2)=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, \(D=1\) is a perfect square and \(a\) is rational, so both roots are rational; in fact, they are \(a+1\) and \(a+2\). Exam tip: First use the sign of \(D\) to determine whether roots are real, and then check whether \(D\) is a perfect square to determine rationality.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / Here (D=4r-2-4\(r^2-49\)=196). A positive perfect-square discriminant gives rational distinct roots.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100) है। (100) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4p-2-4\(p^2-25\)=100). (100) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान/Two real rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4r-2-4\(r^2-16\)=64) है। (64) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=4r-2-4\(r^2-16\)=64). (64) is a positive perfect square, so roots are rational and distinct.
A. दो भिन्न वास्तविक और परिमेय मूल/Two distinct real and rational roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-11)2-4\cdot6\cdot3=49), जो धनात्मक पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में ऐसे मामलों में मूल परिमेय होते हैं। / Here (D=(-11)2-4\cdot6\cdot3=49), a positive perfect square. In exams, roots are rational in such cases.
A. दो भिन्न वास्तविक और परिमेय मूल/Two distinct real and rational roots
Explanation
Simple Explanation
यहां (D=(-7)2-4\cdot1\cdot10=9), जो धनात्मक पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में (D) धनात्मक पूर्ण वर्ग हो तो मूल परिमेय और भिन्न होते हैं। / Here (D=(-7)2-4\cdot1\cdot10=9), which is a positive perfect square. In exams, positive perfect-square (D) gives rational and distinct roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))/Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-19\) और \(c=90\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\) है। चूँकि \(\Delta\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे; वास्तव में मूल 9 और 10 हैं। विकल्प B के लिए \(\Delta=0\) होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(\Delta>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेयता जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-19\), and \(c=90\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4(1)(90)=361-360=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are 9 and 10. Option B would require \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that they are rational.
A. दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल \(D=1\)/Two distinct real rational roots \(D=1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-21\) और \(c=110\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 एक पूर्ण वर्ग है, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल होंगे। अतः विकल्प A सही है; \(D=0\) होने पर ही मूल समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से मूल भिन्न और वास्तविक, जबकि पूर्ण वर्ग विविक्तकर से उनकी परिमेयता पहचानी जाती है। / Here, \(a=1\), \(b=-21\), and \(c=110\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-21)^2-4(1)(110)=441-440=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the equation has two distinct real rational roots. Therefore, option A is correct; equal roots occur only when \(D=0\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates that the roots are rational.
A. मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(\Delta=144\) एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है। \(\Delta>0\) होने से दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग होते हैं, जबकि पूर्ण वर्ग होने से, परिमेय गुणांकों वाले समीकरण में, मूल परिमेय होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(\Delta=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) से पहले वास्तविकता तथा पूर्ण वर्ग होने से परिमेयता जाँचें। / The discriminant \(\Delta=144\) is a positive perfect square. Since \(\Delta>0\), the two roots are real and distinct; because the coefficients are rational and the discriminant is a perfect square, the roots are rational. Hence, option A is correct. Option B is true only when \(\Delta=0\). Exam tip: first use the sign of \(\Delta\) to determine whether the roots are real and distinct, and then check whether it is a perfect square to determine rationality.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। साथ ही, \\(121\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \\(x=\frac{2}{5}\\) और \\(x=\frac{3}{2}\\) हैं। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है। परीक्षा-टिप: \\(D>0\\) से असमान वास्तविक मूल और पूर्ण वर्ग विविक्तकर से परिमेय मूल निर्धारित करें। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=(-19)^2-4(10)(6)=121\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. Also, \\(121\\) is a perfect square, so both roots are rational. In fact, the roots are \\(x=\frac{2}{5}\\) and \\(x=\frac{3}{2}\\). Therefore, option A is correct; option D is incorrect because the discriminant is a perfect square. Exam tip: Use \\(D>0\\) for distinct real roots, and check whether \\(D\\) is a perfect square to decide if they are rational.
A. (D=9)�, दो भिन्न वास्तविक परिमेय मूल/�(D=9)�, two distinct real rational roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के लिए विविक्तकर �D=b-2-4ac� होता है। यहाँ �a=1,b=15,c=54� हैं, इसलिए �D=152-4(1)(54)=225-216=9�। चूँकि �D>0� और 9 एक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होंगे। वास्तव में समीकरण �(x+6)(x+9)=0� है, जिससे मूल �-6� और �-9� प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: �D>0� पर मूल भिन्न वास्तविक होते हैं; यदि �D� पूर्ण वर्ग हो, तो वे परिमेय भी होते हैं। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, the discriminant is �D=b-2-4ac�. Here, �a=1,b=15,c=54�, so �D=152-4(1)(54)=225-216=9�. Since �D>0� and 9 is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational. In fact, �(x+6)(x+9)=0�, giving the roots �-6� and �-9�. Exam tip: �D>0� indicates distinct real roots, and a perfect-square discriminant indicates rational roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=8, b=2, c=-3\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान हैं; तथा \\(100\\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \\(\frac{1}{2}\\) और \\(-\frac{3}{4}\\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, असमान और परिमेय होते हैं। / Here, \\(a=8, b=2, c=-3\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=2^2-4(8)(-3)=100\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct; since \\(100\\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \\(\frac{1}{2}\\) and \\(-\frac{3}{4}\\). Exam tip: If \\(D>0\\) and the discriminant is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
विकल्प (A) में (D=(-17)2-4(1)(72)=1) है। धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) परिमेय असमान मूल देता है। / In option (A), (D=(-17)2-4(1)(72)=1). A positive perfect-square (D) gives rational distinct roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल \\(D=25\\)/Two real, rational and distinct roots \\(D=25\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=6, b=-13, c=6\\), इसलिए \\(D=(-13)^2-4(6)(6)=169-144=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 एक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \\(2/3\\) और \\(3/2\\) हैं। विकल्प B के लिए \\(D=0\\) होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल देता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=6, b=-13, c=6\\), so \\(D=(-13)^2-4(6)(6)=169-144=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \\(2/3\\) and \\(3/2\\). Option B would require \\(D=0\\). Exam tip: a positive perfect-square discriminant indicates distinct rational roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=81\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=81\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=4, b=7, c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(4)(-2)=81\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{4}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि धनात्मक विविक्तकर होने के साथ-साथ \(81\) पूर्ण वर्ग भी है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय तथा असमान होते हैं। / Here, \(a=4, b=7, c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(4)(-2)=81\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{4}\) and \(-2\). Option B is incorrect because a positive discriminant gives irrational roots only when it is not a perfect square. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल (\(\Delta=1\))/Two real, rational and distinct roots (\(\Delta=1\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2, b=-11, c=15\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4(2)(15)=1\) है। \(\Delta\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे। वास्तव में, \(2x^2-11x+15=(2x-5)(x-3)\), अतः मूल \(x=\frac{5}{2}\) और \(x=3\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय तथा भिन्न होते हैं। / Here, \(a=2, b=-11, c=15\), so the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4(2)(15)=1\). Since \(\Delta\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, \(2x^2-11x+15=(2x-5)(x-3)\), giving the roots \(x=\frac{5}{2}\) and \(x=3\). Exam tip: when \(\Delta>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
A. मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे; \(a\) परिमेय होने पर वे परिमेय भी होंगे/The roots will always be real and distinct; they will also be rational when \(a\) is rational
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a+4)\) और \(C=a^2+8a+15\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\)। इसलिए दोनों मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(a+3\) और \(a+5\) हैं; इसलिए \(a\) परिमेय होने पर ही ये परिमेय होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि \(D\neq0\), और विकल्प D गलत है क्योंकि \(a\) परिमेय होने पर मूल परिमेय हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here \(A=1\), \(B=-2(a+4)\), and \(C=a^2+8a+15\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=4(a+4)^2-4(a^2+8a+15)=4>0\). Hence, the roots are always real and distinct. In fact, the roots are \(a+3\) and \(a+5\); thus, they are rational when \(a\) is rational. Option B is incorrect because \(D\neq0\), and option D is incorrect because rational values of \(a\) give rational roots. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
A. हमेशा वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Always real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(2r+5)2-4\(r^2+5r+4\)=9) है। (9>0) और पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=(2r+5)2-4\(r^2+5r+4\)=9). Since (9>0) and is a perfect square, roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=9)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=9)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-13, c=40\) हैं। अत: विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\) है। चूँकि \(D>0\), मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D=9\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी होंगे। वास्तव में मूल \(5\) और \(8\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, भिन्न और परिमेय होते हैं। / Here, \(a=1, b=-13, c=40\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-13)^2-4(1)(40)=169-160=9\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D=9\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(5\) and \(8\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, distinct, and rational.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान/Two real, rational and distinct \((D=1)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-15\) और \(c=56\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\)। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल दो वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। ध्यान रखें: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर दो असमान परिमेय मूल देता है, जबकि केवल \(D>0\) होने पर मूल अपरिमेय भी हो सकते हैं। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-15\), and \(c=56\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-15)^2-4(1)(56)=225-224=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant gives two distinct rational roots; merely having \(D>0\) does not guarantee rational roots.
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में, जहाँ \(a,b,c\) परिमेय संख्याएँ हैं और \(a\ne0\), यदि विविक्तकर \(D=b^2-4ac=100\) हो, तो मूलों की प्रकृति के बारे में सही कथन कौन-सा है?
A. मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न हैं/The roots are real, rational, and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=100>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, \(100\) एक पूर्ण वर्ग है, अतः \(\sqrt{D}=10\) परिमेय है। चूँकि \(a,b,c\) परिमेय हैं, सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दोनों मूल परिमेय होंगे। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D गलत है क्योंकि \(D\) का धनात्मक पूर्ण वर्ग होना मूलों को परिमेय बनाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना परिमेय मूल दर्शाता है। / Here, \(D=100>0\), so the two roots are real and distinct. Also, 100 is a perfect square, so \(\sqrt{D}=10\) is rational. Since \(a,b,c\) are rational, the formula \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) shows that both roots are rational. Therefore, option A is correct. Option D is incorrect because a positive perfect-square discriminant gives rational, not irrational, roots. Exam tip: \(D>0\) indicates distinct real roots, and when \(D\) is a perfect square, the roots are rational.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल \((D=25)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=25)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=-9\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(1\) और \(\frac{2}{7}\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: धनात्मक पूर्ण वर्ग विविक्तकर परिमेय असमान मूल दर्शाता है। / Here, \(a=7\), \(b=-9\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(7)(2)=25\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(1\) and \(\frac{2}{7}\), so option A is correct. Exam tip: a positive perfect-square discriminant indicates rational and distinct roots.
A. \\(D=25\\), दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/\\(D=25\\), two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=9,c=14\\), इसलिए \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\)। चूँकि \\(D>0\\) और 25 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \\(D=0\\) होने पर सही होता। परीक्षा-युक्ति: \\(D>0\\), \\(D=0\\) और \\(D<0\\) से पहले मूलों की संख्या और प्रकृति जाँचें; परिमेयता के लिए देखें कि विविक्तकर पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=9,c=14\\), so \\(D=9^2-4(1)(14)=81-56=25\\). Since \\(D>0\\) and 25 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Therefore, option A is correct. Option B would apply only when \\(D=0\\). Exam tip: Use the sign of \\(D\\) to determine whether the roots are real and distinct, equal, or non-real; then check whether \\(D\\) is a perfect square to identify rational roots.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/Two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=6\), \(b=7\) और \(c=-3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\) है। चूँकि \(D>0\) और 121 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। विकल्प B गलत है, क्योंकि अपरिमेय मूल तब मिलते हैं जब \(D>0\) हो लेकिन पूर्ण वर्ग न हो। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न और पूर्ण वर्ग होने की जाँच क्रमशः अवश्य करें। / Here, \(a=6\), \(b=7\), and \(c=-3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=7^2-4(6)(-3)=49+72=121\). Since \(D>0\) and 121 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. Option B is incorrect because irrational roots occur when \(D>0\) but is not a perfect square. Exam tip: First check the sign of the discriminant, then check whether it is a perfect square.
A. दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल (\(D=49\))/Two real, rational and distinct roots (\(D=49\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=5\) और \(c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\)। चूँकि \(D>0\) और \(49\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(\frac{1}{3}\) और \(-2\) हैं। विकल्प B समान मूल के लिए \(D=0\) और विकल्प C वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) तथा पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=5\), and \(c=-2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=5^2-4(3)(-2)=49\). Since \(D>0\) and 49 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(\frac{1}{3}\) and \(-2\). Option B applies when \(D=0\), while option C applies when \(D<0\). Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=1))/Two real rational and distinct ((D=1))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-9)2-4(1)(20)=1) है। (D=1) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=(-9)2-4(1)(20)=1). Since (D=1) is a positive perfect square, the roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल \((D=64)\)/Two real, rational and distinct roots \((D=64)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-10\) और \(c=3\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल होंगे। वास्तव में मूल \(3\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल परिमेय एवं असमान होते हैं। / Here, \(a=3\), \(b=-10\), and \(c=3\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(3)(3)=100-36=64\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the equation has two real, rational, and distinct roots. In fact, the roots are \(3\) and \(\frac{1}{3}\). Exam tip: when \(D>0\) and is a perfect square, the roots are rational and distinct.
A. दो वास्तविक परिमेय और असमान ((D=49))/Two real rational and distinct ((D=49))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=32-4(2)(-5)=49) है। यह धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए मूल परिमेय और असमान हैं। / Here (D=32-4(2)(-5)=49). It is a positive perfect square, so the roots are rational and distinct.
A. D = 9; दो वास्तविक, परिमेय और असमान मूल/D = 9; two real, rational and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=7, c=10\), इसलिए \(D=7^2-4(1)(10)=49-40=9\)। चूँकि \(D\) धनात्मक और पूर्ण वर्ग है, मूल वास्तविक, परिमेय और असमान होंगे; वास्तव में मूल \(-5\) और \(-2\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर मूल असमान होते हैं, और यदि \(D\) पूर्ण वर्ग हो तो वे परिमेय होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=7, c=10\), so \(D=7^2-4(1)(10)=49-40=9\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct; in fact, they are \(-5\) and \(-2\). Therefore, option A is correct. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, and a perfect-square discriminant makes those roots rational.
