Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। इसलिए \((r-2)^2-9<0\), अर्थात \((r-2)^2<9\)। इससे \(-3<r-2<3\) और अतः \(-1<r<5\) प्राप्त होता है। सीमांत मान \(r=-1\) और \(r=5\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ एक समान वास्तविक मूल होता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, \((r-2)^2-9<0\), or \((r-2)^2<9\). This gives \(-3<r-2<3\), and hence \(-1<r<5\). At the endpoints \(r=-1\) and \(r=5\), \(D=0\), so the equation has one repeated real root; therefore option C is not correct. Exam tip: use \(D<0\) for no real roots, \(D=0\) for equal real roots, and \(D>0\) for two distinct real roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\) और \(c=m\) हैं। शर्त \(m\ne-4\) से \(a\ne0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। इसका विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\), and \(c=m\). The condition \(m\ne-4\) ensures that \(a\ne0\), so the equation is genuinely quadratic. Its discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct. Equal roots would require \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots for every real \(a\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.
एक संख्या-समस्या से समीकरण \(n^2-2pn+(p^2-11p)=0\) प्राप्त होता है। \(n\) के दो वास्तविक और भिन्न मान प्राप्त करने के लिए \(p\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-11p\), इसलिए \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\)। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, अतः \(44p>0\), यानी \(p>0\)। ध्यान रखें कि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-11p\), so \(D=(-2p)^2-4(p^2-11p)=44p\). Two real and distinct roots require \(D>0\); hence \(44p>0\), which gives \(p>0\). Note that when \(p=0\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct.
\\(L\\) के वास्तविक मान होने के लिए विविक्तकर \\(D\\ge0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। इसलिए \\(8(a+3)\ge0\\), अर्थात \\(a\ge-3\\)। विकल्प B में असमानता उलटी है; जबकि \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में वास्तविक मूलों की शर्त के लिए हमेशा \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For real values of \\(L\\), the discriminant must satisfy \\(D\ge0\\)। Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(8(a+3)\ge0\\), giving \\(a\ge-3\\)। Option B reverses the inequality; at \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the equation has two equal real roots. In exams, use \\(D\ge0\\) whenever real roots are required.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। अतः \\(D\ge0\\) से \\(a\ge-3\\) प्राप्त होता है। \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must be zero or positive. Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(D\ge0\\) gives \\(a\ge-3\\). At \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the roots are equal and real, so option B is incorrect. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \\(D\ge0\\).
\(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए \(y=0\) रखना होगा, जिससे \(x^2-2kx+k^2-16=0\) प्राप्त होता है। इसका विवर्तक \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\) है। अतः हर वास्तविक \(k\) के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) का अर्थ है दो भिन्न वास्तविक मूल। / To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\), giving \(x^2-2kx+k^2-16=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2-16)=64>0\). Therefore, for every real value of \(k\), the equation has two distinct real roots, so the parabola intersects the \(x\)-axis at two distinct points. Exam tip: \(D>0\) indicates two distinct real roots.
दिया गया समीकरण \(y=(x-(k+2))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए \((x-(k+2))^2=0\), जिसका एक ही वास्तविक मूल \(x=k+2\) है। अतः परवलय प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है; यह केवल \(k=-2\) पर निर्भर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=0\) हो, तो ग्राफ अक्ष को एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है। / The equation can be written as \(y=(x-(k+2))^2\). On the \(x\)-axis, \(y=0\), so \((x-(k+2))^2=0\), which has the single real root \(x=k+2\). Therefore, for every real value of \(k\), the parabola only touches the \(x\)-axis; it is not restricted to \(k=-2\). Exam tip: when the discriminant of the corresponding quadratic is \(D=0\), the graph touches the axis at exactly one point.
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। अतः समीकरण \(x^2-2kx+k^2+9=0\) या \((x-k)^2+9=0\) बनेगा। चूँकि \((x-k)^2\geq 0\), इसलिए बायाँ पक्ष हमेशा कम-से-कम 9 रहेगा और शून्य नहीं हो सकता। समतुल्य रूप से, विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\) है। इसलिए कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \((x-k)^2+9\) के रूप में लिखने पर निष्कर्ष तुरंत मिल जाता है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+9=0\), or \((x-k)^2+9=0\). Since \((x-k)^2\geq 0\), the left side is always at least 9 and can never be zero. Equivalently, the discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+9)=-36<0\), so there are no real points of intersection. The tempting answers of one or two intersections are incorrect because they would require a zero or positive discriminant. Exam tip: completing the square gives the result immediately.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+49\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\)। अतः \(r\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+49\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\). Therefore, for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not possible here. Exam tip: a quadratic equation with real coefficients has no real roots whenever its discriminant is negative.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
यहाँ विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \\(D<0\\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / The discriminant is \\(D=b^2-4ac=4(3-\sqrt{10})^2-64=12-24\sqrt{10}=12(1-2\sqrt{10})<0\\). Therefore, the equation has no real roots. Option B would require \\(D=0\\), but the discriminant here is negative. Exam tip: For a quadratic equation, \\(D<0\\) means that the roots are not real.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(20n-80>0\), अर्थात \(20n>80\), जिससे \(n>4\) प्राप्त होता है। \(n=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं; अतः वह विकल्प B नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति के लिए पहले \(D\) का संकेत जाँचें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Thus, \(20n-80>0\), so \(20n>80\) and hence \(n>4\). At \(n=4\), \(D=0\), which gives two equal real roots, not distinct roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर D < 0 होना चाहिए। अतः (z − 9)(z + 1) < 0। इस गुणनफल का मान दोनों शून्यकों −1 और 9 के बीच ऋणात्मक होता है, इसलिए −1 < z < 9। विकल्प B में D > 0 होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि सिरों z = −1 और z = 9 पर D = 0 होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल के दो रैखिक गुणकों के बीच का अंतराल जाँचने के लिए किसी एक मान, जैसे z = 0, पर चिन्ह अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies D < 0. Therefore, (z − 9)(z + 1) < 0. This product is negative between its zeros, −1 and 9, so −1 < z < 9. In option B, D > 0, which gives two distinct real roots; at z = −1 or z = 9, D = 0, which gives equal real roots. Exam tip: For a product of two linear factors, test a value such as z = 0 to confirm the sign in the interval between the zeros.
द्विघात समीकरण के समान मूल तभी होते हैं जब उसका विविक्तकर \(D=0\) हो। अतः \((m-8)^2=0\), जिससे \(m-8=0\) और \(m=8\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए \((m-8)^2\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is \(D=0\). Therefore, \((m-8)^2=0\), which gives \(m-8=0\) and hence \(m=8\). Option D is incorrect because \((m-8)^2\) is not zero for every real value of \(m\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
यदि किसी द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर के दो संभावित मान \\(D_1=(y+5)^2\\) और \\(D_2=-(y+5)^2\\) हों तथा \\(y\neq -5\\) हो, तो दो असमान वास्तविक मूल किस स्थिति में प्राप्त होंगे?
क्योंकि \\(y\neq -5\\), इसलिए \\(y+5\neq 0\\) और \\(D_1=(y+5)^2>0\\) होगा। विविक्तकर \\(D>0\\) होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। दूसरी ओर, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\) होने से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Since \\(y\neq -5\\), we have \\(y+5\neq 0\\), so \\(D_1=(y+5)^2>0\\). A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant satisfies \\(D>0\\). In contrast, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\), which gives no real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k-3)\) और \(c=k^2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\)। विकल्प B में ऋणात्मक पद का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प C और D में वर्ग खोलने या गुणांक लेने में त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(b\) को पूरा पहचानें और फिर \(b^2-4ac\) में रखें। / Here, \(a=1\), \(b=-2(k-3)\), and \(c=k^2\). Thus, \(D=b^2-4ac=[-2(k-3)]^2-4(1)(k^2)=4(k-3)^2-4k^2=36-24k\). Option B has the wrong sign for the linear term, while options C and D result from errors in expanding the square or handling its coefficients. Exam tip: identify the complete coefficient \(b\) before substituting into \(b^2-4ac\).
A. कथन और कारण दोनों सही हैं तथा कारण, कथन की सही व्याख्या करता है/Both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=11\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः परवलय \(x\)-अक्ष को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है। इसलिए कथन और कारण दोनों सही हैं, तथा कारण कथन की व्याख्या करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ है कि परवलय और \(x\)-अक्ष के बीच कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं है। / Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=11\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(3)(11)=36-132=-96\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, the parabola neither intersects nor touches the \(x\)-axis. Hence, both the assertion and the reason are correct, and the reason correctly explains the assertion. Exam tip: \(D<0\) indicates no real intersection between the parabola and the \(x\)-axis.
कथन: समीकरण \(x^2-2(a-3b)x+(a+3b)^2=0\) में, यदि \(ab<0\) है, तो इसके मूल वास्तविक और असमान हैं। कारण: इस समीकरण का विविक्तकर \(D=-48ab\) है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं/Both the assertion and the reason are correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\) और \(C=(a+3b)^2\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\)। चूँकि \(ab<0\), अतः \(-48ab>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \(D=0\) होता, तभी मूल वास्तविक और समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर का चिह्न निर्धारित करें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(A=1\), \(B=-2(a-3b)\), and \(C=(a+3b)^2\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a-3b)^2-4(a+3b)^2=-48ab\). Since \(ab<0\), we have \(-48ab>0\), so the roots are real and distinct. The roots would be real and equal only if \(D=0\). Exam tip: First determine the sign of the discriminant—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\) है, जो प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) सीधे तौर पर कोई वास्तविक मूल न होने को दर्शाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\), which remains negative for every real value of \(p\). Hence, the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), whereas here \(D<0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately indicates that there are no real roots.
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\) और \\(c=(k+2)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(24k^2-14k-3=0\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर के विस्तार में गणना की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\), and \\(c=(k+2)^2\\). Thus, \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(24k^2-14k-3=0\\), so option A is correct. Option B results from an expansion error while simplifying the discriminant. Exam tip: For equal roots, immediately apply \\(b^2-4ac=0\\).
यहाँ a = 1, b = 2(m − 5) और c = m² − 9m + 24 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 होना चाहिए, इसलिए 4(1 − m) < 0 से m > 1 प्राप्त होता है। m = 1 पर D = 0 होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं; अतः विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त हमेशा D < 0 याद रखें। / Here, a = 1, b = 2(m − 5), and c = m² − 9m + 24. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m). For the equation to have no real roots, D must be less than zero. Thus, 4(1 − m) < 0 gives m > 1. When m = 1, D = 0, so the equation has two equal real roots; hence option C is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, remember that no real roots occur when D < 0.
A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\)/\(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\), इसलिए \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)=0\) से \(\theta=0\) या \(\theta=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(\theta=3\) देता है और \(\theta=0\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ और प्राप्त सभी मान जाँचें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\). Thus, \(4\theta(\theta-3)=0\) gives \(\theta=0\) or \(\theta=3\). Option B is incomplete because it omits \(\theta=0\). Exam tip: For equal roots, set the discriminant directly to zero and check every resulting parameter value.
द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).
A. दो वास्तविक और समान \\(D=0\\)/Two real and equal \\(D=0\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), इसलिए \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में समान मूल \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए केवल “अपरिमेय” देखकर विकल्प D चुनना गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), so \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\), which is irrational; however, option D is still incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: \\(D=0\\) always indicates two equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(b=0\) तथा \(a<0, c<0\) हैं, इसलिए \(ac>0\)। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\) होगा। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(b=0\) and \(a<0, c<0\), so \(ac>0\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\), which means that the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: if \(D<0\), the roots are not real.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a<0\) और \(c>0\) होने से \(ac<0\), इसलिए \(-4ac>0\) और \(D=b^2+(-4ac)>0\) होगा। अतः समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। समान मूल के लिए \(D=0\) तथा कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) चाहिए, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(ac<0\) दिखते ही मूलों को वास्तविक और असमान निष्कर्षित करें। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Since \(a<0\) and \(c>0\), we have \(ac<0\), so \(-4ac>0\) and \(D=b^2+(-4ac)>0\). Therefore, the equation has two real and distinct roots. Equal roots require \(D=0\), while no real roots require \(D<0\), neither of which is possible here. Exam tip: Whenever \(ac<0\), the roots are automatically real and distinct.
