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A. \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\)/\(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq3\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-3\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq3\), and for a quadratic \(\alpha\neq-3\).
द्विघात समीकरण में दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)>0\), जिससे \(\theta<0\) या \(\theta>3\) प्राप्त होता है। \(\theta=0\) और \(\theta=3\) पर मूल समान होंगे, जबकि \(0<\theta<3\) में मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant is positive. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=b^2-4ac=4\theta^2-12\theta=4\theta(\theta-3)\). Therefore, \(4\theta(\theta-3)>0\), which gives \(\theta<0\) or \(\theta>3\). At \(\theta=0\) and \(\theta=3\), the roots are equal, while for \(0<\theta<3\), the roots are not real. Exam tip: For two real and distinct roots, always impose \(D>0\).
A. \(p\leq5\) और \(p\neq2\)/\(p\leq5\) and \(p\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq5\) और द्विघात के लिए \(p\neq2\)। / Here (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p). For real roots \(p\leq5\), and for a quadratic \(p\neq2\).
A. \(\alpha\leq2\) और \(\alpha\neq-2\)/\(\alpha\leq2\) and \(\alpha\neq-2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq2\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-2\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq2\), and for a quadratic \(\alpha\neq-2\).
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\mu\) और \(c=2\mu\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)\)। अतः \(4\mu(\mu-2)>0\) से \(\mu<0\) या \(\mu>2\) प्राप्त होता है। \(\mu=0\) या \(\mu=2\) पर \(D=0\), इसलिए मूल वास्तविक तो होंगे, पर असमान नहीं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2\mu\), and \(c=2\mu\), so \(D=b^2-4ac=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)\). Therefore, \(4\mu(\mu-2)>0\), which gives \(\mu<0\) or \(\mu>2\). At \(\mu=0\) or \(\mu=2\), \(D=0\), so the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: For two real and unequal roots, always apply the condition \(D>0\).
A. \(p\leq2\) और \(p\neq1\)/\(p\leq2\) and \(p\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq2\) और द्विघात के लिए \(p\neq1\)। / Here (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p). For real roots \(p\leq2\), and for a quadratic \(p\neq1\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(k+2)]^2-4(k^2+3k+7)=4(k-3)\)। अतः \(4(k-3)\geq 0\), जिससे \(k\geq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k=3\) पर भी मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq 0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq 0\). Here, \(D=[-2(k+2)]^2-4(k^2+3k+7)=4(k-3)\). Therefore, \(4(k-3)\geq 0\), which gives \(k\geq 3\). Option B is incorrect because \(k=3\) also gives real, equal roots. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq 0\).
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), और \\(c=\alpha\\)। अतः विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\)। वास्तविक मूलों के लिए \\(D\ge0\\) होना चाहिए, इसलिए \\(-4\alpha\ge0\\), अर्थात् \\(\alpha\le0\\)। इसमें \\(\alpha=0\\) भी शामिल है, जबकि \\(\alpha=-1\\) पहले से ही दिए गए प्रतिबंध के कारण मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पैरामीटर वाले द्विघात प्रश्नों में पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ और फिर यह जाँचें कि द्विघात गुणांक शून्य न हो। / The coefficients are \\(a=\alpha+1\\), \\(b=-2\alpha\\), and \\(c=\alpha\\). Therefore, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=4\alpha^2-4\alpha(\alpha+1)=-4\alpha\\). For real roots, \\(D\ge0\\), so \\(-4\alpha\ge0\\), which gives \\(\alpha\le0\\). The value \\(\alpha=0\\) is included, whereas \\(\alpha=-1\\) is already excluded because it would make the quadratic coefficient zero. Exam tip: In parameter-based quadratic questions, apply \\(D\ge0\\) and also verify that the coefficient of \\(x^2\\) is non-zero.
A. \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)/\(\lambda<0\) or \(\lambda>1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)) है। असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(\lambda<0\) या \(\lambda>1\)। / Here (D=4\lambda-2-4\lambda=4\lambda\(\lambda-1\)). For distinct real roots (D>0), so \(\lambda<0\) or \(\lambda>1\).
यहाँ (D=(2k)2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)) नहीं, सही सरल रूप (4(6-k)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k\leq6\) चाहिए। / Here (D=(2k)2-4(k-2)(k+3)=4(6-k)). For real roots we need \(k\leq6\), so check simplification carefully.
यहाँ \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\) और \(c=p+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\), इसलिए \(p\leq 0\)। साथ ही \(p=-1\) दिया हुआ है, इसलिए अंतिम शर्त \(p\leq 0,\ p\ne -1\) होगी। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq 0\) लगाएँ और जाँचें कि समीकरण वास्तव में द्विघात है। / Here, \(a=p+1\), \(b=-2(p+2)\), and \(c=p+4\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(p+2)^2-4(p+1)(p+4)=-4p\). For real roots, \(D\geq 0\), which gives \(p\leq 0\). Since \(p=-1\) is excluded, the complete condition is \(p\leq 0,\ p\ne -1\). Option B is incorrect because at \(p=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For real roots, apply \(D\geq 0\) and also verify that the coefficient of \(x^2\) is non-zero.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k^2+4\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\)। अतः \(8k-12\geq0\), जिससे \(k\geq\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है। \(k=\frac{3}{2}\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए उसे केवल एकमात्र मान कहना गलत है। परीक्षा टिप: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ, जबकि अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) चाहिए। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k^2+4\), so \(D=b^2-4ac=4(k+1)^2-4(k^2+4)=8k-12\). Thus, \(8k-12\geq0\), giving \(k\geq\frac{3}{2}\). At \(k=\frac{3}{2}\), the roots are equal and real, so option C is too restrictive. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots and \(D>0\) only for distinct real roots.
A. \(r^2<\frac{25}{4}\) और \(r\neq0\)/\(r^2<\frac{25}{4}\) and \(r\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
दो भिन्न वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए \(25-4r^2>0\)। साथ में \(r\neq0\) चाहिए क्योंकि समीकरण द्विघात होना चाहिए। / For two distinct real roots, (D>0), so \(25-4r^2>0\). Also \(r\neq0\) is needed because the equation must remain quadratic.
A. \(k\leq-3\) या \(k\geq1\)/\(k\leq-3\) or \(k\geq1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(k+1)2-4(k+5)) है। \(D\geq0\) से \(k^2+k-4\geq0\) नहीं, सही सरल रूप \(k^2+k-4\geq0\) देता है। / Here (D=4(k+1)2-4(k+5)). \(D\geq0\) gives \(k^2+k-4\geq0\), so solve the resulting inequality carefully.
A. \(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) या \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)/\(k\leq\frac{-1-2\sqrt{10}}{2}\) or \(k\geq\frac{-1+2\sqrt{10}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k+1)2-40\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) या \(2k+1\geq2\sqrt{10}\)। / For real roots, ((2k+1)2-40\geq0) is needed. Hence \(2k+1\leq-2\sqrt{10}\) or \(2k+1\geq2\sqrt{10}\).
A. \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या/or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3\\), \\(b=k-2\\) और \\(c=4\\), इसलिए \\(D=(k-2)^2-48\\)। दो असमान वास्तविक मूलों के लिए \\(D>0\\) आवश्यक है, अतः \\((k-2)^2>48\\)। इससे \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), यानी \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) या \\(k>2+4\\sqrt{3}\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, जबकि सीमांत मानों पर मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D>0\\) जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3\\), \\(b=k-2\\), and \\(c=4\\), so \\(D=(k-2)^2-48\\). Two distinct real roots require \\(D>0\\), which gives \\((k-2)^2>48\\). Hence \\(|k-2|>4\\sqrt{3}\\), so \\(k<2-4\\sqrt{3}\\) or \\(k>2+4\\sqrt{3}\\). Therefore, option A is correct. In option B, the discriminant is negative, and at the boundary values the roots are equal. Exam tip: for distinct real roots, always check \\(D>0\\).
A. \\(k\\le -\\sqrt{10}\\) या/or \\(k\\ge \\sqrt{10}\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \\(a=5\\), \\(b=2k\\) और \\(c=2\\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\ge 0\\) होना चाहिए। इसलिए \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), जिससे \\(k^2\\ge10\\) और अतः \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) या \\(k\\ge\\sqrt{10}\\) मिलता है। विकल्प B में \\(D<0\\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \\(D\\ge0\\) लगाएँ; बराबरी की स्थिति में दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / For the quadratic equation, \\(a=5\\), \\(b=2k\\), and \\(c=2\\). Real roots require the discriminant \\(D=b^2-4ac\\ge0\\). Thus, \\(D=(2k)^2-4(5)(2)=4(k^2-10)\\ge0\\), giving \\(k^2\\ge10\\), or \\(k\\le-\\sqrt{10}\\) or \\(k\\ge\\sqrt{10}\\). In option B, \\(D<0\\), so the roots are not real. Exam tip: For real roots, use \\(D\\ge0\\); equality represents two equal real roots.
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-4\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\)। अतः \(16-12p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{4}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B इस असमानता के विपरीत है, जबकि \(p<0\) केवल पर्याप्त स्थिति है, आवश्यक नहीं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=3\), \(b=-4\), and \(c=p\), so \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(3)(p)=16-12p\). Thus, \(16-12p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{4}{3}\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required inequality, while \(p<0\) is only a sufficient condition, not the complete condition. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq0\).
A. \(k\leq -3\) या \(k\geq 3\)/\(k\leq -3\) or \(k\geq 3\)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=-2k, c=9\), इसलिए \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\)। अतः \(4k^2-36\geq0\), अर्थात \(k^2\geq9\), जिससे \(k\leq-3\) या \(k\geq3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है और केवल \(k=3\) कहना अधूरा है, क्योंकि \(k=-3\) पर भी वास्तविक समान मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is non-negative. Here, \(a=1, b=-2k, c=9\), so \(D=(-2k)^2-4(1)(9)=4k^2-36\). Thus, \(4k^2-36\geq0\), which gives \(k^2\geq9\), or \(k\leq-3\) or \(k\geq3\). Option B makes the discriminant negative, while option D is incomplete because \(k=-3\) also gives real equal roots. Exam tip: For real roots, always apply the condition \(D\geq0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\) और \(C=a^2+a+1\) हैं। इसलिए \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)>0\), जिससे \(a<-2\) या \(a>1\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) या \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल समान होंगे। परीक्षा टिप: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / A quadratic equation has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(A=3\), \(B=-2(2a+1)\), and \(C=a^2+a+1\). Thus, \(D=B^2-4AC=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)>0\), which gives \(a<-2\) or \(a>1\). At \(a=-2\) or \(a=1\), \(D=0\), so the roots are equal rather than distinct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate real distinct, real equal, and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2h\) और \(c=h^2+8h\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4h^2-4(h^2+8h)=-32h\)। अतः \(-32h>0\) से \(h<0\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(h=0\) पर \(D=0\), इसलिए मूल समान होंगे; जबकि \(h>0\) पर मूल वास्तविक नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation has real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2h\), and \(c=h^2+8h\), so \(D=b^2-4ac=4h^2-4(h^2+8h)=-32h\). Therefore, \(-32h>0\), which gives \(h<0\). Note that \(h=0\) makes \(D=0\), producing equal roots, while \(h>0\) gives non-real roots. Exam tip: For real and distinct roots, always impose \(D>0\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\)। अतः \(-16(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, न कि कोई वास्तविक मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\). Therefore, \(-16(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). At \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
A. \(k\leq\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) या \(k\geq\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(k-1)\) और \(c=k+2\), इसलिए \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\)। अतः \(k^2-3k-1\geq0\)। इसके शून्यक \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) और \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) हैं। चूँकि \(k^2-3k-1\) का अग्रणी गुणांक धनात्मक है, असमानता शून्यकों के बाहर सत्य होगी, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(k^2-3k-4\) प्राप्त करना गणना की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) लगाकर परिणामी द्विघात असमानता का चिन्ह-विश्लेषण करें। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must satisfy \(D\geq0\). Here \(a=1\), \(b=2(k-1)\), and \(c=k+2\), so \(D=4(k-1)^2-4(k+2)=4(k^2-3k-1)\). Thus, \(k^2-3k-1\geq0\). The zeros of this quadratic are \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\). Since its leading coefficient is positive, the inequality holds outside the interval between these zeros; hence option A is correct. Option C results from the calculation error of writing \(k^2-3k-4\) instead. Exam tip: Set the discriminant \(D\geq0\), then solve the resulting quadratic inequality using its zeros and sign pattern.
A. \(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) या \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)/\(k\leq\frac{1-2\sqrt{3}}{2}\) or \(k\geq\frac{1+2\sqrt{3}}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मूलों के लिए ((2k-1)2-12\geq0) चाहिए। इसलिए \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) या \(2k-1\geq2\sqrt{3}\)। / For real roots, ((2k-1)2-12\geq0) is needed. Hence \(2k-1\leq-2\sqrt{3}\) or \(2k-1\geq2\sqrt{3}\).
A. \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)/\(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)) है। वास्तविक मूलों के लिए \(k^2\geq9\) यानी \(k\leq-\frac{3}{2}\) या \(k\geq\frac{3}{2}\)। / Here (D=(4k)2-4(4)(9)=16\(k^2-9\)). For real roots \(k^2\geq9\), so \(k\leq-\frac{3}{2}\) or \(k\geq\frac{3}{2}\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=p\) हैं, इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\)। अतः \(9-8p\geq0\), जिससे \(p\leq\frac{9}{8}\) प्राप्त होता है। विकल्प C केवल एक विशेष मान है, जबकि विकल्प D आवश्यक शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real roots, its discriminant \(D=b^2-4ac\) must satisfy \(D\geq0\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=p\), so \(D=(-3)^2-4(2)(p)=9-8p\). Therefore, \(9-8p\geq0\), which gives \(p\leq\frac{9}{8}\). Option C is only one particular allowed value, while option D is not necessary. Exam tip: For real roots, first apply the condition \(D\geq0\).
द्विघात समीकरण में वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\)। अतः \(20p>0\), जिससे \(p>0\) प्राप्त होता है। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होगा और दोनों मूल समान होंगे; इसलिए \(p\ge0\) भी पूर्णतः सही नहीं है। परीक्षा टिप: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / For a quadratic equation to have real and distinct roots, its discriminant must satisfy \(D>0\). Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\), so \(D=b^2-4ac=4p^2-4(p^2-5p)=20p\). Thus, \(20p>0\), which gives \(p>0\). When \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal, so \(p\ge0\) is not fully correct. Exam tip: For real and distinct roots, always use the condition \(D>0\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\)। अतः \(8(a-1)\ge0\), जिससे \(a\ge1\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(a>3\) पर्याप्त तो है, लेकिन आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले \(D\) को शून्य से बड़ा या बराबर रखें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge0\), giving \(a\ge1\). Option C, \(a>3\), is sufficient but unnecessarily restrictive; it is not the complete condition. Exam tip: For a parameter-based quadratic equation, begin by setting its discriminant greater than or equal to zero.
द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=m-2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=(m-2)^2-4\)। अतः \((m-2)^2<4\), जिससे \(-2<m-2<2\) और परिणामस्वरूप \(0<m<4\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=m-2\), and \(c=1\), so \(D=(m-2)^2-4\). Thus, \((m-2)^2<4\), which gives \(-2<m-2<2\), and hence \(0<m<4\). Therefore, option A is correct. In option C, \(D=0\), which gives two equal real roots rather than no real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, first apply the condition \(D<0\).
यहाँ \(a=3\), \(b=2k\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\) होगा। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq 0\) आवश्यक है, इसलिए \(k(k-3)\geq 0\), जिससे \(k\leq 0\) या \(k\geq 3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक होता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq 0\) लगाएँ। / Here \(a=3\), \(b=2k\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(2k)^2-4(3)(k)=4k(k-3)\). For real roots, \(D\geq 0\), so \(k(k-3)\geq 0\), which gives \(k\leq 0\) or \(k\geq 3\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \(D\geq 0\).
