What condition on the parameter \(a\) is necessary for the equation \(x^2+2(a+1)x+a^2+3=0\) to have real roots?समीकरण \(x^2+2(a+1)x+a^2+3=0\) के वास्तविक मूल होने के लिए पैरामीटर \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(a\ge1\)\(a\ge1\)
A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\ge0\). Here, \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\). Therefore, \(8(a-1)\ge0\), giving \(a\ge1\). Option C, \(a>3\), is sufficient but unnecessarily restrictive; it is not the complete condition. Exam tip: For a parameter-based quadratic equation, begin by setting its discriminant greater than or equal to zero.द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\ge0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+1)]^2-4(a^2+3)=8(a-1)\)। अतः \(8(a-1)\ge0\), जिससे \(a\ge1\) प्राप्त होता है। विकल्प C \(a>3\) पर्याप्त तो है, लेकिन आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरणों में पहले \(D\) को शून्य से बड़ा या बराबर रखें।
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