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A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\) और \(c=m\) हैं। शर्त \(m\ne-4\) से \(a\ne0\), इसलिए समीकरण वास्तव में द्विघात है। इसका विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। समान मूलों के लिए \(\Delta=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=m+4\), \(b=-2(m+2)\), and \(c=m\). The condition \(m\ne-4\) ensures that \(a\ne0\), so the equation is genuinely quadratic. Its discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=4(m+2)^2-4m(m+4)=16\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct. Equal roots would require \(\Delta=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(\Delta>0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
A. हर वास्तविक \(a\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots for every real \(a\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(A=1\), \(B=-(2a+5)\) और \(C=(a+2)(a+3)\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\)। चूँकि \(D=1>0\) हर वास्तविक \(a\) के लिए, दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(a+2\) और \(a+3\) हैं, जिनका अंतर हमेशा 1 है। ध्यान दें कि उन्हें परिमेय तभी कहा जा सकता है जब \(a\) परिमेय हो। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से केवल वास्तविक और असमान मूल निश्चित होते हैं; परिमेयता के लिए गुणांकों की परिमेयता भी जाँचें। / Here, \(A=1\), \(B=-(2a+5)\), and \(C=(a+2)(a+3)\). Therefore, the discriminant is \(D=B^2-4AC=(2a+5)^2-4(a+2)(a+3)=1\). Since \(D=1>0\) for every real \(a\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \(a+2\) and \(a+3\), whose difference is always 1. They are rational only when \(a\) is rational. Exam tip: \(D>0\) guarantees real and distinct roots; rationality also requires checking whether the coefficients are rational.
\\(L\\) के वास्तविक मान होने के लिए विविक्तकर \\(D\\ge0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। इसलिए \\(8(a+3)\ge0\\), अर्थात \\(a\ge-3\\)। विकल्प B में असमानता उलटी है; जबकि \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में वास्तविक मूलों की शर्त के लिए हमेशा \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For real values of \\(L\\), the discriminant must satisfy \\(D\ge0\\)। Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(8(a+3)\ge0\\), giving \\(a\ge-3\\)। Option B reverses the inequality; at \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the equation has two equal real roots. In exams, use \\(D\ge0\\) whenever real roots are required.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य या धनात्मक होना चाहिए। यहाँ \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। अतः \\(D\ge0\\) से \\(a\ge-3\\) प्राप्त होता है। \\(a=-3\\) पर विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल समान वास्तविक होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D\ge0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have real roots, its discriminant must be zero or positive. Here, \\(D=[-2(a+5)]^2-4(a^2+8a+19)=8a+24=8(a+3)\\)। Thus, \\(D\ge0\\) gives \\(a\ge-3\\). At \\(a=-3\\), the discriminant is zero and the roots are equal and real, so option B is incorrect. Exam tip: For questions about real roots, begin by applying \\(D\ge0\\).
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण का विविक्तकर \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए हर वास्तविक \(r\) के लिए दो वास्तविक और असमान मूल होंगे। वास्तव में मूल \(r+9\) और \(r-9\) हैं। इन्हें सदैव परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि \(r\) स्वयं अपरिमेय हो सकता है; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\), \(D=0\) और \(D<0\) क्रमशः असमान वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूल दर्शाते हैं। / The discriminant is \(D=(-2r)^2-4(r^2-81)=4r^2-4r^2+324=324=18^2\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots for every real value of \(r\). In fact, the roots are \(r+9\) and \(r-9\). They cannot be called always rational because \(r\) itself may be irrational, so option D is not correct. Exam tip: \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) indicate distinct real, equal real, and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। इसलिए \(20n-80>0\), अर्थात \(20n>80\), जिससे \(n>4\) प्राप्त होता है। \(n=4\) पर \(D=0\) होता है और दोनों मूल समान होते हैं; अतः वह विकल्प B नहीं हो सकता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति के लिए पहले \(D\) का संकेत जाँचें—\(D>0\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Thus, \(20n-80>0\), so \(20n>80\) and hence \(n>4\). At \(n=4\), \(D=0\), which gives two equal real roots, not distinct roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first—\(D>0\) indicates real and distinct roots.
यदि किसी द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर के दो संभावित मान \\(D_1=(y+5)^2\\) और \\(D_2=-(y+5)^2\\) हों तथा \\(y\neq -5\\) हो, तो दो असमान वास्तविक मूल किस स्थिति में प्राप्त होंगे?
क्योंकि \\(y\neq -5\\), इसलिए \\(y+5\neq 0\\) और \\(D_1=(y+5)^2>0\\) होगा। विविक्तकर \\(D>0\\) होने पर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। दूसरी ओर, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\) होने से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Since \\(y\neq -5\\), we have \\(y+5\neq 0\\), so \\(D_1=(y+5)^2>0\\). A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant satisfies \\(D>0\\). In contrast, \\(D_2=-(y+5)^2<0\\), which gives no real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. \(\frac{-1-\sqrt{5}}{3}<t<\frac{-1+\sqrt{5}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में \(a=1\), इसलिए वास्तविक मूल न होने की शर्त विविक्तकर \(D<0\) है। यहाँ \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\)। अतः \(9t^2+6t-4<0\)। इसके शून्यक \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) और \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\) हैं, तथा परवलय ऊपर की ओर खुलता है; इसलिए असमता इनके बीच सत्य होगी। अतः विकल्प A सही है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, उन्हें शामिल नहीं किया जाएगा। / For a quadratic equation, real roots do not exist when the discriminant \(D<0\). Here, \(D=[-2(4t+1)]^2-4(7t^2+2t+5)=4(9t^2+6t-4)\). Thus, \(9t^2+6t-4<0\). Its zeros are \(\frac{-1-\sqrt5}{3}\) and \(\frac{-1+\sqrt5}{3}\), and since the quadratic has a positive leading coefficient, the expression is negative between these zeros. Hence option A is correct. At the endpoints, \(D=0\), giving equal real roots, so the endpoints must be excluded. Exam tip: for no real roots, always use the strict condition \(D<0\), not \(D\leq0\).
A. \(\alpha\leq3\) और \(\alpha\neq-3\)/\(\alpha\leq3\) and \(\alpha\neq-3\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq3\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-3\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+3\)\(\alpha-2\)=24-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq3\), and for a quadratic \(\alpha\neq-3\).
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\)। अतः \(-32ab\geq0\), जिससे \(ab\leq0\) प्राप्त होता है। विकल्प D केवल पर्याप्त स्थिति है, क्योंकि \(a+2b=0\) से \(ab\leq0\) तो मिलता है, पर यह आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D\geq0\) लगाएँ। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq0\). Here, \(D=[-2(a-2b)]^2-4(a+2b)^2=4\{(a-2b)^2-(a+2b)^2\}=-32ab\). Therefore, \(-32ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option D is only a sufficient condition: \(a+2b=0\) implies \(ab\leq0\), but it is not necessary. Exam tip: For questions about the nature of quadratic roots, begin by calculating the discriminant and imposing \(D\geq0\).
A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं/The roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.
A. \(p\leq5\) और \(p\neq2\)/\(p\leq5\) and \(p\neq2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq5\) और द्विघात के लिए \(p\neq2\)। / Here (D=4(p+2)2-4(p-2)(p+6)=40-8p). For real roots \(p\leq5\), and for a quadratic \(p\neq2\).
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k+3)\) और \(c=k^2+5k+12\) हैं। वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\geq 0\) होना चाहिए। अतः \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), इसलिए \(4(k-3)\geq0\), अर्थात \(k\geq3\)। विकल्प B विपरीत असमानता देता है और विकल्प C केवल एक विशेष मान है, पूरी शर्त नहीं। परीक्षा-टिप: पैरामीटर वाले द्विघात समीकरण में पहले \(D\) को \(0\) के साथ तुलना करें। / For the given quadratic, \(a=1\), \(b=-2(k+3)\), and \(c=k^2+5k+12\). Real roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to satisfy \(D\geq0\). Thus, \(D=4(k+3)^2-4(k^2+5k+12)=4(k-3)\), so \(4(k-3)\geq0\), giving \(k\geq3\). Option B states the opposite inequality, while option C gives only one particular value rather than the complete condition. Exam tip: for a quadratic with a parameter, calculate the discriminant and compare it with zero.
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�। इसका विविक्तकर �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)� है। चूँकि �(D=16>0)� और �\(a=m+3\ne0\)�, इसलिए समीकरण के दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। समान मूलों के लिए �(D=0)� होना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का मान देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / The coefficients are �(a=m+3
d=-2(m+1)
c=m-1
oops)�. Its discriminant is �(D=[-2(m+1)]2-4(m+3)(m-1)=16)�. Since �(D=16>0)� and �\(a=m+3\ne0\)�, the equation has two real and distinct roots. Equal roots would require �(D=0)�. Exam tip: For a quadratic equation, use the sign of the discriminant to determine the nature of its roots.
एक ज्यामितीय स्थिति से निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: \(L^2-2(a+4)L+(a^2+6a+13)=0\)। \(L\) के वास्तविक मान के लिए \(a\) पर कौन-सी शर्त आवश्यक है?
इस द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\) है। \(L\) के वास्तविक होने के लिए \(D\geq0\) आवश्यक है, इसलिए \(4(2a+3)\geq0\), अर्थात् \(a\geq-\frac{3}{2}\)। विकल्प B में विविक्तकर ऋणात्मक हो जाता है, इसलिए वहाँ मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D\geq0\) लगाएँ; दो अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए शर्त \(D>0\) होगी। / For this quadratic, the discriminant is \(D=[-2(a+4)]^2-4(a^2+6a+13)=4(2a+3)\). For \(L\) to be real, \(D\geq0\) is required. Thus, \(4(2a+3)\geq0\), giving \(a\geq-\frac{3}{2}\). In option B, the discriminant is negative, so the roots are not real. Exam tip: use \(D\geq0\) for real roots; use \(D>0\) when two distinct real roots are required.
x-अक्ष पर y=0 होता है। अतः समीकरण है \(x^2-2kx+k^2+4=0\), जिसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\) है। इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय x-अक्ष को नहीं काटता। विकल्प D गलत है, क्योंकि विविक्तकर k के किसी भी वास्तविक मान के लिए -16 ही रहता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=(x-k)^2+4\) लिखने पर तुरंत स्पष्ट होता है कि परवलय का न्यूनतम y-मान 4 है, इसलिए वह x-अक्ष से 4 इकाई ऊपर रहता है। / On the x-axis, \(y=0\). Therefore, the intersection equation is \(x^2-2kx+k^2+4=0\), whose discriminant is \(D=(-2k)^2-4(k^2+4)=-16<0\). Hence it has no real roots, so the parabola does not intersect the x-axis. Option D is incorrect because the discriminant remains -16 for every real value of k. Exam tip: Rewriting the equation as \(y=(x-k)^2+4\) immediately shows that the minimum y-value is 4, so the parabola stays 4 units above the x-axis.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+25\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\)। चूँकि \(D<0\) हर वास्तविक \(r\) के लिए है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता; यहाँ विविक्तकर सदैव ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / The discriminant of a quadratic equation is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+25\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+25)=-100\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is always negative. Exam tip: For a quadratic with real coefficients, \(D<0\) means that it has no real roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त \(D<0\) होती है। इसलिए \((z-4)(z+6)<0\) हल करना होगा। इसका गुणनफल दोनों शून्यों \(-6\) और \(4\) के बीच ऋणात्मक होता है, अतः \(-6<z<4\) सही अंतराल है। विकल्प B में गुणनफल धनात्मक होता है, इसलिए वहाँ दो वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो रैखिक गुणकों के गुणनफल का चिन्ह उनके शून्यों के बीच बदलता है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Thus, we solve \((z-4)(z+6)<0\). The product is negative between its zeros, \(-6\) and \(4\), so the correct interval is \(-6<z<4\). In option B, the product is positive, giving two real roots instead. Exam tip: for a product of two linear factors with positive leading coefficient, the sign is negative between the two zeros.
क्योंकि \(v\neq3\), इसलिए \((v-3)^2>0\) होगा। अतः \(D_1>0\), और धनात्मक विविक्तकर द्विघात समीकरण के दो असमान वास्तविक मूल देता है। दूसरी ओर, \(D_2=-(v-3)^2<0\) होगा, इसलिए उससे कोई वास्तविक मूल नहीं मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Since \(v\neq3\), we have \((v-3)^2>0\). Therefore, \(D_1>0\), and a positive discriminant gives two distinct real roots of a quadratic equation. In contrast, \(D_2=-(v-3)^2<0\), so it gives no real roots. Exam tip: \(D>0\) gives two distinct real roots, \(D=0\) gives equal real roots, and \(D<0\) gives no real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+16\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+16\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(1)(p^2+16)=4p^2-4p^2-64=-64\). Since \(D<0\) for every real value of \(p\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: a negative discriminant means that a quadratic equation has no real roots.
A. \(\alpha\leq2\) और \(\alpha\neq-2\)/\(\alpha\leq2\) and \(\alpha\neq-2\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha) है। वास्तविक मूलों के लिए \(\alpha\leq2\) और द्विघात के लिए \(\alpha\neq-2\)। / Here (D=4\alpha-2-4\(\alpha+2\)\(\alpha-1\)=8-4\alpha). For real roots \(\alpha\leq2\), and for a quadratic \(\alpha\neq-2\).
यहाँ द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a-b)]^2-4(a+b)^2\) है। अतः \(D=4[(a-b)^2-(a+b)^2]=-16ab\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(-16ab\geq0\), अर्थात् \(ab\leq0\)। विकल्प B में असमता की दिशा उलटी है। \(a+b=0\) होने पर शर्त पूरी हो सकती है, लेकिन यह आवश्यक और पूर्ण शर्त नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\geq0\) लिखकर पैरामीटरों की शर्त निकालें। / The discriminant of the quadratic equation is \(D=[-2(a-b)]^2-4(a+b)^2\). Therefore, \(D=4[(a-b)^2-(a+b)^2]=-16ab\). For real roots, \(D\geq0\), so \(-16ab\geq0\), which gives \(ab\leq0\). Option B reverses the inequality. The condition \(a+b=0\) may satisfy the requirement, but it is not the complete necessary condition. Exam tip: begin with \(D\geq0\) whenever the nature of roots is asked.
A. \(a^2+b^2\geq0\) के कारण मूल हमेशा वास्तविक हैं/Roots are always real because \(a^2+b^2\geq0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)) है। यह हमेशा (0) या धनात्मक होता है, इसलिए वास्तविक मूल मिलते हैं। / Here (D=4(a+b)2-8ab=4\(a^2+b^2\)). It is always zero or positive, so real roots exist.
A. \(p\leq2\) और \(p\neq1\)/\(p\leq2\) and \(p\neq1\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p) है। वास्तविक मूलों के लिए \(p\leq2\) और द्विघात के लिए \(p\neq1\)। / Here (D=4(p+1)2-4(p-1)(p+3)=16-4p). For real roots \(p\leq2\), and for a quadratic \(p\neq1\).
समीकरण को \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके मूल \(x=a\) और \(x=b\) हैं। चूँकि a और b वास्तविक तथा असमान हैं, इसलिए दोनों मूल भिन्न वास्तविक होंगे। समान मूल केवल \(a=b\) होने पर मिलते, जबकि मूलों का अपरिमेय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर \(D=(a-b)^2\) लिखें; \(a\neq b\) पर \(D>0\), इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / The equation can be factorised as \(x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0\). Hence, its roots are \(x=a\) and \(x=b\). Since a and b are real and unequal, the roots are distinct and real. Equal roots would occur only when \(a=b\), and the roots need not be irrational. Exam tip: Use the discriminant \(D=(a-b)^2\); when \(a\neq b\), \(D>0\), which indicates two distinct real roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल, अर्थात् \\(a\\) और \\(a+1\\)/Two real and distinct roots, namely \\(a\\) and \\(a+1\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\) और \\(C=a(a+1)\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\) है। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में, मूल \\(a\\) और \\(a+1\\) हैं। इन्हें हमेशा परिमेय या अपरिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि यह \\(a\\) पर निर्भर करता है। परीक्षा-युक्ति: पहले विविक्तकर को सरल करके उसका चिह्न निर्धारित करें। / Here \\(A=1\\), \\(B=-(2a+1)\\), and \\(C=a(a+1)\\). Therefore, the discriminant is \\(D=B^2-4AC=(2a+1)^2-4a(a+1)=1\\). Since \\(D>0\\), the roots are real and distinct. In fact, the roots are \\(a\\) and \\(a+1\\). They cannot always be called rational or irrational, because that depends on the value of \\(a\\). Exam tip: simplify the discriminant first and then determine its sign.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2-5p\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\) होगा। दो वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए, इसलिए \(20p>0\), अर्थात् \(p>0\)। \(p=0\) पर विविक्तकर शून्य होता है और दोनों मूल समान हो जाते हैं, जबकि \(p<0\) पर मूल वास्तविक नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2-5p\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2-5p)=20p\). A quadratic equation has two real and distinct roots only when \(D>0\). Hence, \(20p>0\), which gives \(p>0\). For \(p=0\), the discriminant is zero and the roots are equal; for \(p<0\), the roots are non-real. Exam tip: For distinct real roots, always apply the condition \(D>0\).
यहाँ (D=4(a+3)2-4\(a^2+10\)=4(6a-1)) है। वास्तविक मानों के लिए \(D\geq0\), इसलिए \(a\geq\frac{1}{6}\)। / Here (D=4(a+3)2-4\(a^2+10\)=4(6a-1)). For real values \(D\geq0\), so \(a\geq\frac{1}{6}\).
A. कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं/No real intersection
Explanation
Simple Explanation
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए समीकरण \(x^2-2kx+k^2+1=0\) प्राप्त होता है। इसका विविक्तकर \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\) है, अतः किसी भी वास्तविक \(k\) के लिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को नहीं काटता। इसी बात को \(y=(x-k)^2+1\ge 1\) से भी देखा जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर द्विघात ग्राफ और \(x\)-अक्ष का कोई वास्तविक प्रतिच्छेद नहीं होता। / On the \(x\)-axis, \(y=0\), so we get \(x^2-2kx+k^2+1=0\). Its discriminant is \(D=(-2k)^2-4(1)(k^2+1)=-4<0\), so it has no real roots for any real \(k\). Hence, the parabola has no real intersection with the \(x\)-axis. Equivalently, \(y=(x-k)^2+1\ge 1\), so its vertex always lies one unit above the \(x\)-axis. Exam tip: For a quadratic graph, \(D<0\) means there are no real intersections with the \(x\)-axis.
द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D\geq 0\) होना चाहिए। इसलिए \(8m-24\geq 0\), अर्थात \(8m\geq 24\), जिससे \(m\geq 3\) प्राप्त होता है। \(m=3\) पर दोनों मूल समान होंगे, जबकि \(m>3\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा-टिप: विविक्तकर की असमानता हल करते समय धनात्मक या ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर असमानता की दिशा अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has real roots when its discriminant satisfies \(D\geq 0\). Thus, \(8m-24\geq 0\), which gives \(8m\geq 24\) and hence \(m\geq 3\). At \(m=3\), the roots are equal; for \(m>3\), the roots are distinct and real. Exam tip: when solving a discriminant inequality, check whether dividing by a negative quantity would reverse the inequality sign.
