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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) के मूल वास्तविक हैं, तो \(a\) और \(b\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(a\) and \(b\) are real numbers and the roots of \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) are real, which statement about \(a\) and \(b\) is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैंThe roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.

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यदि \(a\) और \(b\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) के मूल वास्तविक हैं, तो \(a\) और \(b\) के बारे में कौन-सा कथन सही है? / If \(a\) and \(b\) are real numbers and the roots of \(x^2-2(a+b)x+3ab=0\) are real, which statement about \(a\) and \(b\) is correct?

Correct Answer: A. \(a^2-ab+b^2\geq 0\) होने के कारण मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं / The roots are real for all real \(a,b\) because \(a^2-ab+b^2\geq 0\). Explanation: द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\) है। अब \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), इसलिए \(D\geq 0\) और मूल सभी वास्तविक \(a,b\) के लिए वास्तविक होते हैं। विकल्प B आवश्यक नहीं है; उदाहरण के लिए \(a=1,b=-1\) पर \(ab<0\), फिर भी मूल वास्तविक हैं। समान मूल के लिए \(D=0\), जो केवल \(a=b=0\) पर होता है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / The discriminant is \(D=[-2(a+b)]^2-4(1)(3ab)=4(a^2-ab+b^2)\). Since \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2]\geq 0\), we have \(D\geq 0\), so the roots are real for every pair of real values of \(a\) and \(b\). Option B is not necessary; for example, when \(a=1,b=-1\), \(ab<0\) but the roots are still real. Equal roots require \(D=0\), which occurs only when \(a=b=0\), so option D is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, determine the nature of its roots by checking the sign of the discriminant.