A. क्योंकि 64 और 3969 संयुक्त रूप हैं/Because 64 and 3969 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^6\times3^4\times7^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^6\times3^4\times7^2\) होगा।
\(66825=3^5\times5^2\times11\), so \(2138400=2^5\times3^5\times5^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 66825 its complete prime form. चरण 1: \(2138400=32\times66825\) लिखें। चरण 2: \(66825=3^5\times5^2\times11\), इसलिए \(2138400=2^5\times3^5\times5^2\times11\)। चरण 3: 66825 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\), so \(254016=2^6\times3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 3969 into prime powers. चरण 1: \(254016=64\times3969\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 3: 3969 को अभाज्य घातों में बदलें।
Avoid decimal-based options and write prime bases. चरण 1: \(582120=52920\times11\) लिखें। चरण 2: \(52920=2^3\times3^3\times5\times7^2\) नहीं बल्कि यहां \(16\times27\times25\times49\times11\) से \(2^4\times3^3\times5^2\times7^2\times11\) मिलता है। चरण 3: दशमलव वाले विकल्प से बचें और अभाज्य आधार लिखें।
When there are many factors, multiply in small groups. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times27\times25\times7\times11=415800\)। चरण 3: कई गुणनखंड हों तो छोटे समूह बनाकर गुणा करें।
Take \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\), and (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times25\times7=680400\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\) और (7) लें। चरण 2: \(16\times243\times25\times7=680400\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
\(2^6\times81\times121\) must be changed into \(2^6\times3^4\times11^2\). चरण 1: अधूरे रूप में संयुक्त आधार बच जाता है। चरण 2: 81 और 121 संयुक्त आधार हैं। चरण 3: \(2^6\times81\times121\) को \(2^6\times3^4\times11^2\) में बदलना होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
32, 81, 25, 405, 35, and 160 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में आधार अभाज्य होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 32, 81, 25, 405, 35 और 160 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
Calculate \(2^4=16\), \(3^3=27\), \(5^2=25\), and \(7^2=49\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times27\times25\times49=529200\).
Step 3
Exam Tip
Do the multiplication step by step. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^3=27\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(16\times27\times25\times49=529200\)। चरण 3: गुणा को चरणों में करें।
Calculate \(2^6=64\), \(3^4=81\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(64\times81\times121=627264\).
Step 3
Exam Tip
Solve all three powers separately first. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^4=81\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(64\times81\times121=627264\)। चरण 3: तीनों घातों को पहले अलग-अलग हल करें।
Powers with the same base 3 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (x) is 4 and in (y) is 5.
Step 3
Exam Tip
The total power will be (4+5=9). चरण 1: समान आधार 3 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 3 की घात 4 है और (y) में 3 की घात 5 है। चरण 3: कुल घात (4+5=9) होगी।
In multiplication, powers of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 11 in (a) is 1 and in (b) is 2.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 11 will be (1+2=3). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 11 की घात 1 है और (b) में 11 की घात 2 है। चरण 3: (ab) में 11 की घात (1+2=3) होगी।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 5, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 6. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 6 है।
Counting only bases and counting with repetition are different. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (8+6+4+3+2=23)। चरण 3: केवल आधार गिनना और दोहराव सहित गिनना अलग बातें हैं।
For divisibility, the exponents of the divisor must not exceed those in the number.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, all exponents are less than or equal to those in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by that number. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में सभी घातें (n) की घातों से कम या बराबर हैं। चरण 3: इसलिए (n) उस संख्या से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 5, but \(5^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(5^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 5 की घात 2 है, पर \(5^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(5^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
Reducing 10 to 9, 8 to 6, 5 to 3, and 4 to 3 is the smallest way.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the divisor is \(2\times3^2\times5^2\times11\). चरण 1: पूर्ण घन में घातें 3 के गुणज होती हैं। चरण 2: 10 को 9, 8 को 6, 5 को 3 और 4 को 3 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2\times3^2\times5^2\times11\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 4, 2, and 7 must become 6, 6, 3, and 9.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 4 को 6, 2 को 3 और 7 को 9 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
Dividing by \(3\times7=21\) makes the powers 4 and 2. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से भाग देने पर घातें 4 और 2 हो जाएंगी।
Multiplying by \(2\times11=22\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7 और 11 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(2\times11=22\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
Simplify the higher-power part first. चरण 1: \(2^3=8\) और \(3^6=729\) निकालें। चरण 2: \(8\times729\times5\times13=379080\)। चरण 3: बड़े घात वाले भाग को पहले सरल करें।
Do not skip square powers in a hurry. चरण 1: \(3^4=81\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(81\times25\times49=99225\)। चरण 3: वर्ग घातों को जल्दबाजी में न छोड़ें।
Calculate \(2^7=128\), \(3^2=9\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(128\times9\times121=139392\).
Step 3
Exam Tip
Find the values of powers first, then multiply. चरण 1: \(2^7=128\), \(3^2=9\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(128\times9\times121=139392\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर गुणा करें।
Calculate \(2^4=16\), \(3^5=243\), and \(7^2=49\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times49=190512\).
Step 3
Exam Tip
Finding all three powers separately is safer. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(16\times243\times49=190512\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालना सुरक्षित रहता है।
Calculate \(2^6=64\), \(3^5=243\), and \(7^2=49\).
Step 2
Why this answer is correct
\(64\times243\times49=762048\).
Step 3
Exam Tip
In such calculations, solve powers first. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^5=243\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(64\times243\times49=762048\)। चरण 3: ऐसी गणना में घातों को पहले हल करें।
From the given form, (p=3). चरण 1: \(137200=16\times8575\) लिखें। चरण 2: \(8575=5^2\times7^3\), इसलिए 7 की घात 3 है। चरण 3: दिए गए रूप से (p=3) मिलेगा।
\(64=2^6\) and \(9801=3^4\times11^2\), so the power of 2 is 6.
Step 3
Exam Tip
From the given form, (a=6). चरण 1: \(627264=64\times9801\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(9801=3^4\times11^2\), इसलिए 2 की घात 6 है। चरण 3: दिए गए रूप से (a=6) है।
\(33075=3^3\times5^2\times7^2\), so the power of 7 is 2.
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (q=2). चरण 1: \(529200=16\times33075\) है। चरण 2: \(33075=3^3\times5^2\times7^2\), इसलिए 7 की घात 2 है। चरण 3: तुलना करने पर (q=2) मिलता है।
\(256=2^8\) and \(2025=3^4\times5^2\), so \(518400=2^8\times3^4\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
Give 2025 its final prime form. चरण 1: \(518400=256\times2025\) लिखें। चरण 2: \(256=2^8\) और \(2025=3^4\times5^2\), इसलिए \(518400=2^8\times3^4\times5^2\)। चरण 3: 2025 को अंतिम अभाज्य रूप दें।
\(81=3^4\) and \(1225=5^2\times7^2\), so \(99225=3^4\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1225 into prime powers. चरण 1: \(99225=81\times1225\) लिखें। चरण 2: \(81=3^4\) और \(1225=5^2\times7^2\), इसलिए \(99225=3^4\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 1225 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(7425=3^3\times5^2\times11\), so \(475200=2^6\times3^3\times5^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 7425 in the final form. चरण 1: \(475200=64\times7425\) लिखें। चरण 2: \(7425=3^3\times5^2\times11\), इसलिए \(475200=2^6\times3^3\times5^2\times11\)। चरण 3: 7425 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(14625=3^2\times5^3\times13\), so \(117000=2^3\times3^2\times5^3\times13\).
Step 3
Exam Tip
Give 14625 its complete prime form. चरण 1: \(117000=8\times14625\) लिखें। चरण 2: \(14625=3^2\times5^3\times13\), इसलिए \(117000=2^3\times3^2\times5^3\times13\)। चरण 3: 14625 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(128=2^7\) and \(1089=3^2\times11^2\), so \(139392=2^7\times3^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1089 into prime powers. चरण 1: \(139392=128\times1089\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\) और \(1089=3^2\times11^2\), इसलिए \(139392=2^7\times3^2\times11^2\)। चरण 3: 1089 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(14175=3^4\times5^2\times7\), so \(453600=2^5\times3^4\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 14175 in the final form. चरण 1: \(453600=32\times14175\) लिखें। चरण 2: \(14175=3^4\times5^2\times7\), इसलिए \(453600=2^5\times3^4\times5^2\times7\)। चरण 3: 14175 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(729=3^6\) and \(175=5^2\times7\), so \(127575=3^6\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
Give prime form to both 729 and 175. चरण 1: \(127575=729\times175\) लिखें। चरण 2: \(729=3^6\) और \(175=5^2\times7\), इसलिए \(127575=3^6\times5^2\times7\)। चरण 3: 729 और 175 दोनों को अभाज्य रूप दें।
\(16=2^4\) and \(8575=5^2\times7^3\), so the correct form is \(2^4\times5^2\times7^3\).
Step 3
Exam Tip
Give 8575 its final prime form. चरण 1: \(137200=16\times8575\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(8575=5^2\times7^3\), इसलिए सही रूप \(2^4\times5^2\times7^3\) है। चरण 3: 8575 को अंतिम अभाज्य रूप दें।
\(64=2^6\) and \(11907=3^5\times7^2\), so \(762048=2^6\times3^5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Write 11907 as prime powers. चरण 1: \(762048=64\times11907\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(11907=3^5\times7^2\), इसलिए \(762048=2^6\times3^5\times7^2\)। चरण 3: 11907 को अभाज्य घातों में लिखें।
\(51975=3^3\times5^2\times7\times11\), so \(415800=2^3\times3^3\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 51975 in the final form. चरण 1: \(415800=8\times51975\) लिखें। चरण 2: \(51975=3^3\times5^2\times7\times11\), इसलिए \(415800=2^3\times3^3\times5^2\times7\times11\)। चरण 3: 51975 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(2475=3^2\times5^2\times11\), so \(79200=2^5\times3^2\times5^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Give 2475 its complete prime form. चरण 1: \(79200=32\times2475\) लिखें। चरण 2: \(2475=3^2\times5^2\times11\), इसलिए \(79200=2^5\times3^2\times5^2\times11\)। चरण 3: 2475 को पूरा अभाज्य रूप दें।
\(4=2^2\) and \(43659=3^4\times7^2\times11\), so the correct form is \(2^2\times3^4\times7^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Convert 43659 into prime powers. चरण 1: \(174636=4\times43659\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(43659=3^4\times7^2\times11\), इसलिए सही रूप \(2^2\times3^4\times7^2\times11\) है। चरण 3: 43659 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(128=2^7\) and \(1215=3^5\times5\), so \(155520=2^7\times3^5\times5\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1215 into prime powers. चरण 1: \(155520=128\times1215\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\) और \(1215=3^5\times5\), इसलिए \(155520=2^7\times3^5\times5\)। चरण 3: 1215 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(33075=3^3\times5^2\times7^2\), so \(529200=2^4\times3^3\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 33075 in the final form. चरण 1: \(529200=16\times33075\) लिखें। चरण 2: \(33075=3^3\times5^2\times7^2\), इसलिए \(529200=2^4\times3^3\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 33075 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(256=2^8\) and \(693=3^2\times7\times11\), so the correct form is \(2^8\times3^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Convert 693 into prime form. चरण 1: \(177408=256\times693\) लिखें। चरण 2: \(256=2^8\) और \(693=3^2\times7\times11\), इसलिए सही रूप \(2^8\times3^2\times7\times11\) है। चरण 3: 693 को अभाज्य रूप में बदलें।
\(81=3^4\) and \(3575=5^2\times11\times13\), so \(289575=3^4\times5^2\times11\times13\).
Step 3
Exam Tip
Give 3575 its complete prime form too. चरण 1: \(289575=81\times3575\) लिखें। चरण 2: \(81=3^4\) और \(3575=5^2\times11\times13\), इसलिए \(289575=3^4\times5^2\times11\times13\)। चरण 3: 3575 को भी पूरा अभाज्य रूप दें।
\(32=2^5\) and \(6125=5^3\times7^2\), so \(196000=2^5\times5^3\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep 6125 in the final answer. चरण 1: \(196000=32\times6125\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(6125=5^3\times7^2\), इसलिए \(196000=2^5\times5^3\times7^2\)। चरण 3: 6125 को अंतिम उत्तर में न रखें।
\(8=2^3\) and \(47385=3^6\times5\times13\), so the correct form is \(2^3\times3^6\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
Give 47385 its complete prime form. चरण 1: \(379080=8\times47385\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(47385=3^6\times5\times13\), इसलिए सही रूप \(2^3\times3^6\times5\times13\) है। चरण 3: 47385 को पूरी तरह अभाज्य रूप दें।
\(64=2^6\) and \(9801=3^4\times11^2\), so \(627264=2^6\times3^4\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 9801 into prime powers. चरण 1: \(627264=64\times9801\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(9801=3^4\times11^2\), इसलिए \(627264=2^6\times3^4\times11^2\)। चरण 3: 9801 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(16=2^4\) and \(42525=3^5\times5^2\times7\), so the correct form is \(2^4\times3^5\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 42525 in the final form. चरण 1: \(680400=16\times42525\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(42525=3^5\times5^2\times7\), इसलिए सही रूप \(2^4\times3^5\times5^2\times7\) है। चरण 3: 42525 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार रहने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The aim of prime factorisation is to write the number using prime bases only.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) or (121) remains, it is composite and must be broken further.
Step 3
Exam Tip
Before writing the final answer, check whether every base is prime. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का उद्देश्य संख्या को केवल अभाज्य आधारों में लिखना है। चरण 2: यदि (45) या (121) जैसा आधार बचा है, तो वह संयुक्त है और आगे टूटेगा। चरण 3: अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की अभाज्यता जांचें।
A. क्योंकि 8 और 27225 संयुक्त रूप हैं/Because 8 and 27225 are composite forms
Step 1
Concept
In final prime factorisation, every base should be prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\) and \(27225=3^2\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the final form is \(2^3\times3^2\times5^2\times11^2\). चरण 1: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27225=3^2\times5^2\times11^2\) है। चरण 3: इसलिए अंतिम रूप \(2^3\times3^2\times5^2\times11^2\) होगा।
\(128=2^7\) and \(2187=3^7\), so \(279936=2^7\times3^7\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave 128 and 2187 in the final form. चरण 1: \(279936=128\times2187\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(128=2^7\) और \(2187=3^7\), इसलिए \(279936=2^7\times3^7\)। चरण 3: 128 और 2187 को अंतिम रूप में न छोड़ें।
\(27225=3^2\times5^2\times11^2\), so \(217800=2^3\times3^2\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 27225 into prime powers. चरण 1: \(217800=8\times27225\) लिखें। चरण 2: \(27225=3^2\times5^2\times11^2\), इसलिए \(217800=2^3\times3^2\times5^2\times11^2\)। चरण 3: 27225 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(19845=3^4\times5\times7^2\), so \(158760=2^3\times3^4\times5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 19845 completely. चरण 1: \(158760=8\times19845\) लिखें। चरण 2: \(19845=3^4\times5\times7^2\), इसलिए \(158760=2^3\times3^4\times5\times7^2\)। चरण 3: 19845 को पूरी तरह तोड़ें।
Calculate \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times25\times121=108900\).
Step 3
Exam Tip
This is a square form, so observe the powers carefully. चरण 1: \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(4\times9\times25\times121=108900\)। चरण 3: यह वर्ग रूप है, इसलिए घातों को ध्यान से देखें।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) हैं। चरण 2: \(64\times27\times25=43200\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
\(2^5\times81\times49\) must be changed into \(2^5\times3^4\times7^2\). चरण 1: अधूरे रूप में संयुक्त आधार बच जाता है। चरण 2: 81 और 49 संयुक्त आधार हैं। चरण 3: \(2^5\times81\times49\) को \(2^5\times3^4\times7^2\) में बदलना होगा।
In the first option, bases 2, 3, 5, and 7 are prime.
Step 3
Exam Tip
8, 135, 49, 27, 245, and 216 are composite, so they are not final forms. चरण 1: अंतिम रूप में हर आधार अभाज्य होना चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में आधार 2, 3, 5 और 7 अभाज्य हैं। चरण 3: 8, 135, 49, 27, 245 और 216 संयुक्त हैं, इसलिए वे अंतिम रूप नहीं हैं।
Solve all three powers separately first. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^4=81\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times49=127008\)। चरण 3: तीनों घातों को पहले अलग-अलग हल करें।
Powers with the same base 13 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 13 in (x) is 1 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
The total power will be (1+3=4). चरण 1: समान आधार 13 की घातें गुणा में जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 13 की घात 1 है और (y) में 13 की घात 3 है। चरण 3: कुल घात (1+3=4) होगी।
In multiplication, powers of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 4 and in (b) is 5.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (4+5=9). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 4 है और (b) में 3 की घात 5 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (4+5=9) होगी।
While counting distinct primes, only bases are counted.
Step 2
Why this answer is correct
The bases are 2, 3, 7, 11, and 13.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 5. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गिनते समय केवल आधार गिने जाते हैं। चरण 2: आधार 2, 3, 7, 11 और 13 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 5 है।
Keep the number of bases and the total count with repetition separate. चरण 1: दोहराव सहित गिनती में घातों को जोड़ा जाता है। चरण 2: (9+7+4+3+2=25)। चरण 3: आधारों की संख्या और दोहराव सहित कुल संख्या को अलग रखें।
For divisibility, exponents in the divisor must not exceed those in the given number.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^9\), \(3^4\), \(7^3\), and 13 are all available in (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by the first option. चरण 1: विभाज्यता के लिए भाजक की घातें दी गई संख्या की घातों से अधिक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: \(2^9\), \(3^4\), \(7^3\) और 13 सभी (n) में उपलब्ध हैं। चरण 3: इसलिए (n) पहले विकल्प से अवश्य विभाज्य होगा।
Every prime power of a divisor must be available in the number.
Step 2
Why this answer is correct
(n) has power 2 of 11, but \(11^3\) needs power 3.
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) is not divisible by \(11^3\). चरण 1: भाजक की हर अभाज्य घात संख्या में उपलब्ध होनी चाहिए। चरण 2: (n) में 11 की घात 2 है, पर \(11^3\) के लिए घात 3 चाहिए। चरण 3: इसलिए (n), \(11^3\) से विभाज्य नहीं होगा।
For a perfect cube, exponents should be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reducing 10 to 9, 8 to 6, 5 to 3, and 4 to 3 is the smallest way.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the divisor is \(2\times3^2\times5^2\times7\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज चाहिए। चरण 2: 10 को 9, 8 को 6, 5 को 3 और 4 को 3 तक घटाना सबसे छोटा तरीका है। चरण 3: इसलिए भाजक \(2\times3^2\times5^2\times7\) है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 7, 4, and 2 must become 6, 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times13\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times13\) है।
Dividing by \(2\times5\) makes the powers 8 and 6. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 2 की घात 9 और 5 की घात 7 विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\) से भाग देने पर घातें 8 और 6 हो जाएंगी।
In a perfect square, all exponents should be even.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 3 and 7 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(3\times7=21\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
Solving powers first keeps multiplication clear. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^4=81\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times49=127008\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा साफ रहता है।
First take the product of smaller factors as 210, then multiply by 121. चरण 1: \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(2\times3\times5\times7\times121=25410\)। चरण 3: पहले छोटे गुणनखंडों का गुणनफल 210 लें, फिर 121 से गुणा करें।
It is better to find higher powers first. चरण 1: \(2^5=32\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times7=18144\)। चरण 3: बड़ी घातों का मान पहले निकालना ठीक रहता है।
Solve powers first, then multiply by 11. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(16\times81\times11=14256\)। चरण 3: घातों को पहले हल करें, फिर 11 से गुणा करें।
\(900=2^2\times3^2\times5^2\) and \(121=11^2\), so the power of 5 is 2.
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (m=2). चरण 1: \(108900=900\times121\) है। चरण 2: \(900=2^2\times3^2\times5^2\) और \(121=11^2\), इसलिए 5 की घात 2 है। चरण 3: तुलना करने पर (m=2) होगा।
\(11907=3^5\times7^2\), so \(95256=2^3\times3^5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
From the given form, (b=5). चरण 1: \(95256=8\times11907\) लिखें। चरण 2: \(11907=3^5\times7^2\), इसलिए \(95256=2^3\times3^5\times7^2\)। चरण 3: दिए गए रूप से (b=5) है।
\(32=2^5\) and \(3969=3^4\times7^2\), so the power of 2 is 5.
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (a=5). चरण 1: \(127008=32\times3969\) है। चरण 2: \(32=2^5\) और \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए 2 की घात 5 है। चरण 3: तुलना करने पर (a=5) मिलता है।
\(1080=2^3\times3^3\times5\) and \(121=11^2\), so \(130680=2^3\times3^3\times5\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Break 1080 and 121 completely. चरण 1: \(130680=1080\times121\) लिखें। चरण 2: \(1080=2^3\times3^3\times5\) और \(121=11^2\), इसलिए \(130680=2^3\times3^3\times5\times11^2\)। चरण 3: 1080 और 121 को पूरा तोड़ें।
