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A. भारतीय गणित और खगोल परंपरा/Indian mathematics and astronomy tradition
Explanation
Simple Explanation
ब्रह्मगुप्त ने शून्य और गणितीय क्रियाओं पर महत्वपूर्ण कार्य किया। परीक्षा में वैज्ञानिक उपलब्धियों को लेखक सहित याद रखें। / Brahmagupta did important work on zero and mathematical operations. For exams, remember scientific achievements with authors.
सिद्धांत शिरोमणि भास्कराचार्य द्वितीय से जुड़ा गणित और खगोल का ग्रंथ है। परीक्षा में इसे भारतीय वैज्ञानिक परंपरा में रखें। / Siddhanta Shiromani is a text on mathematics and astronomy associated with Bhaskaracharya II. For exams, place it in the Indian scientific tradition.
ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धांत गणित और शून्य के नियमों के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में इसे भारतीय गणित की उपलब्धि मानें। / Brahmagupta's Brahmasphutasiddhanta is famous for mathematics and rules of zero. For exams, treat it as an achievement of Indian mathematics.
दशमलव स्थानमान पद्धति गणित की महत्वपूर्ण उपलब्धि है। परीक्षा में इसे प्राचीन भारतीय गणित से जोड़ें। / The decimal place value system is an important achievement of mathematics. For exams connect it with ancient Indian mathematics.
आर्यभट गणित और खगोल विज्ञान के महान विद्वान थे। परीक्षा में शून्य और खगोल ज्ञान की परंपरा से उनका नाम याद करें। / Aryabhata was a great scholar of mathematics and astronomy. For exams, connect his name with mathematical and astronomical tradition.
समीकरणों को लिखें: \(2x+y=140\) और \(x+2y=130\)। दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर \(2x+4y=260\) मिलता है। इसमें से पहला समीकरण घटाने पर \(3y=120\), अतः \(y=40\)। अब \(2x+y=140\) में \(y=40\) रखने पर \(2x=100\), इसलिए \(x=50\)। विकल्प 40, \(y\) का मान है, \(x\) का नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी मान को दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँच लें। / Write the equations as \(2x+y=140\) and \(x+2y=130\). Multiplying the second equation by 2 gives \(2x+4y=260\). Subtracting the first equation gives \(3y=120\), so \(y=40\). Substituting \(y=40\) into \(2x+y=140\) gives \(2x=100\), hence \(x=50\). Option 40 is the value of \(y\), not \(x\). Exam tip: verify the obtained values in both original equations.
दूसरे समीकरण से \(y=11-2x\) मिलता है। इसे \(4x+5y=31\) में रखने पर \(4x+5(11-2x)=31\), अर्थात \(-6x=-24\)। इसलिए \(x=4\) और \(y=3\) है। विकल्प \(x=5,\ y=1\) दूसरे समीकरण को तो संतुष्ट करता है, पर पहले में \(4(5)+5(1)=25\) आता है, 31 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त मानों को दोनों मूल समीकरणों में रखकर अवश्य जाँचें। / From the second equation, \(y=11-2x\). Substituting this into \(4x+5y=31\) gives \(4x+5(11-2x)=31\), so \(-6x=-24\). Hence, \(x=4\) and \(y=3\). The close distractor \(x=5,\ y=1\) satisfies the second equation, but it gives \(4(5)+5(1)=25\), not 31, in the first equation. Exam tip: always verify the ordered pair in both original equations.
पहले समीकरण से \(x=2y+3\) है। इसे \(3x-4y=17\) में रखने पर \(3(2y+3)-4y=17\) मिलता है। अतः \(6y+9-4y=17\), यानी \(2y=8\), इसलिए \(y=4\)। उदाहरण के लिए, \(y=3\) रखने पर दूसरा समीकरण संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक खोलते समय \(3\) को दोनों पदों से गुणा करें। / From the first equation, \(x=2y+3\). Substituting this into \(3x-4y=17\) gives \(3(2y+3)-4y=17\). Therefore, \(6y+9-4y=17\), so \(2y=8\) and hence \(y=4\). For example, \(y=3\) does not satisfy the second equation. Exam tip: after substitution, multiply \(3\) by both terms inside the bracket.
दूसरे समीकरण से \(y=3x-8\) मिलता है। इसे पहले समीकरण \(x+2y=11\) में रखने पर \(x+2(3x-8)=11\), अर्थात \(7x=27\) और \(x=\frac{27}{7}\)। तब \(y=3\times\frac{27}{7}-8=\frac{25}{7}\)। इसलिए \(x+y=\frac{27}{7}+\frac{25}{7}=\frac{52}{7}\)। विकल्प \(8\) पूर्णांकों वाला अनुमान है, पर दिए गए समीकरणों का वास्तविक हल पूर्णांक नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद भिन्नों को जोड़ते समय हर समान होने पर केवल अंश जोड़ें। / From the second equation, \(y=3x-8\). Substituting this into \(x+2y=11\) gives \(x+2(3x-8)=11\), so \(7x=27\) and \(x=\frac{27}{7}\). Then \(y=3\times\frac{27}{7}-8=\frac{25}{7}\). Hence, \(x+y=\frac{27}{7}+\frac{25}{7}=\frac{52}{7}\). The option \(8\) may result from assuming integer values, but the given equations have fractional solutions. Exam tip: when adding fractions with the same denominator, add only their numerators.
दिया है \(x+y=18\) और \(y=7\)। \(y\) के स्थान पर 7 रखने पर \(x+7=18\) मिलता है। अतः \(x=18-7=11\), इसलिए सही विकल्प D है। \(x=10\) लेने पर योग \(17\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी एक चर का मान दिया हो तो उसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरा चर ज्ञात करें। / Given \(x+y=18\) and \(y=7\), substitute 7 for \(y\): \(x+7=18\). Therefore, \(x=18-7=11\), so option D is correct. If \(x=10\), the sum would be \(17\), not \(18\). Exam tip: When one variable is known, substitute its value into the equation to find the other variable.
दिए गए समीकरण में y=3 रखने पर x+3(3)=15 मिलता है। अतः x+9=15, इसलिए x=6। x=9 लेना एक सामान्य गलती हो सकती है, क्योंकि 3y का मान 9 है, x का नहीं। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद कोष्ठक में गुणा अवश्य करें। / Substitute y=3 into the given equation: x+3(3)=15. Thus, x+9=15, so x=6. Choosing 9 is a common error because 9 is the value of 3y, not of x. Exam tip: Always multiply the substituted value by its coefficient carefully.
दिया है \(x+y=13\) और \(x=9\)। \(x\) के स्थान पर 9 रखने पर \(9+y=13\) मिलता है। दोनों पक्षों से 9 घटाने पर \(y=4\) प्राप्त होता है। \(y=5\) रखने पर योग 14 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए मान को समीकरण में रखने के बाद अज्ञात पद को अकेला करें। / Given \(x+y=13\) and \(x=9\), substitute 9 for \(x\) to get \(9+y=13\). Subtracting 9 from both sides gives \(y=4\). If \(y=5\), the sum would be 14, so it is not correct. Exam tip: after substitution, isolate the unknown term using the inverse operation.
दिया है \(2x+3y=18\)। \(y=4\) रखने पर \(2x+3(4)=18\), अर्थात \(2x+12=18\)। इसलिए \(2x=6\) और \(x=3\)। \(x=6\) तब मिलता यदि \(2x=6\) के बाद 2 से भाग देना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद गुणा और जोड़ पहले करें, फिर चर को अकेला करें। / Given \(2x+3y=18\), substituting \(y=4\) gives \(2x+3(4)=18\), or \(2x+12=18\). Thus, \(2x=6\) and \(x=3\). \(x=6\) would result from forgetting to divide \(2x=6\) by 2. Exam tip: After substitution, simplify multiplication and addition first, then isolate the variable.
दिया है y=x+2 और x=5। x के स्थान पर 5 रखने पर y=5+2=7 प्राप्त होता है। विकल्प 6 तब मिलता यदि 2 के स्थान पर 1 जोड़ा जाता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद जोड़, घटाव आदि गणना ध्यान से करें। / Given y=x+2 and x=5, substitute 5 for x: y=5+2=7. Option 6 would result only if 1 were added instead of 2, so it is incorrect. Exam tip: after substitution, carefully perform the indicated arithmetic operation.
इस समीकरण में संख्याओं का क्रम समान रहता है, लेकिन कोष्ठकों का समूह बदल जाता है। जोड़ में समूह बदलने पर योग पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता; इसे साहचर्य नियम कहते हैं। यह क्रमविनिमेय नियम नहीं है, क्योंकि उसमें पदों का क्रम बदला जाता है, जैसे \(x+y=y+x\)। परीक्षा में याद रखें: साहचर्य नियम में grouping बदलती है, जबकि क्रमविनिमेय नियम में order बदलता है। / In this equation, the order of the terms remains the same, but their grouping changes. The sum remains unchanged when the grouping is changed, which is the associative law. It is not the commutative law, because that law changes the order of the terms, as in \(x+y=y+x\). Exam tip: associative means changing grouping, while commutative means changing order.
\(x^2=16\) पर दोनों तरफ का वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\) आता है, इसलिए दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मूल लें। विकल्प B गलत है क्योंकि उसने ऋणात्मक मूल \(-4\) को छोड़ा; विकल्प C और D मानदोष हैं क्योंकि \(\sqrt{16}=4\) है न कि 8, और 0 तथा 16 इस समीकरण के किसी भी मूल के रूप में संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-सूचना: किसी भी समीकरण में दोनों तरफ वर्गमूल लेते समय हमेशा \(\pm\) को ध्यान में रखें। / Taking square root of both sides of \(x^2=16\) gives \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\). So both +4 and -4 are roots. Option B is wrong because it omits the negative root (-4); C and D are incorrect since \(\sqrt{16}=4\), not 8, and 0 and 16 do not satisfy the equation. Exam tip: whenever you take square roots in equations, include the \(\pm\) sign to capture both roots.
