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द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
यदि दो मूल α और β हों तो उनका गुणनफल αβ = 35 है और एक मूल α = 5 है, अतः दूसरा मूल β = \(\dfrac{35}{5}=7\). विकल्प A गलत है क्योंकि यदि दूसरा मूल 5 होता तो गुणनफल \(5\times5=25\) होता। विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि वे दिए हुए गुणनफल से विभाजन पर सही परिणाम नहीं देते। परीक्षा सुझाव: किसी द्विघात समीकरण में गुणनफल का उपयोग करते समय दूसरे मूल के लिए गुणनफल को दिए हुए मूल से भाग करें। / If the roots are α and β, their product is αβ = 35 and one root α = 5, so the other root is β = \(\dfrac{35}{5}=7\). Option A is wrong because if the other root were 5 the product would be \(5\times5=25\). Options C and D are incorrect because they do not equal the result of dividing the product by the given root. Exam tip: For quadratic roots use relations αβ = c/a — to find one root divide the product by the known root.
मूल का अर्थ है कि दिए गए x का मान समीकरण को संतुष्ट करता है। x = 2 को समीकरण में रखकर: \(3(2)^2 - 8(2) + n = 0\) ⇒ \(12 - 16 + n = 0\) ⇒ \(n = 4\)। विकल्प C (\(-4\)) गलत है क्योंकि उससे \(12 - 16 - 4 = -8 \neq 0\) होगा। परीक्षा-टिप: किसी दिए गए मूल के लिए सीधे स्थानापन्न करें और बीजगणितीय जोड़-घटाव ध्यान से करें। / A root must satisfy the equation. Substitute x = 2 into \(3x^2 - 8x + n = 0\): \(3(2)^2 - 8(2) + n = 0\) ⇒ \(12 - 16 + n = 0\) ⇒ \(n = 4\). Option C (\(-4\)) is wrong because it gives \(12 - 16 - 4 = -8 \neq 0\). Exam tip: always substitute the root directly and perform arithmetic carefully to avoid sign errors.
मूलों का योग उनके मानों को जोड़कर मिलता है: \(2 + (-5) = -3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। आम भ्रम: कुछ विद्यार्थी मात्राओं को जोड़कर \(2 + 5 = 7\) कर लेते हैं और संकेत को गलत लगा कर \(-7\) चुन लेते हैं — यह गलत है। परीक्षा-सुझाव: यदि समीकरण रूप \(ax^2+bx+c=0\) दिया हो तो मूलों का योग \(-b/a\) से शीघ्र जाँच कर लें। / Add the two roots directly: \(2 + (-5) = -3\), so the correct answer is \(-3\). A common mistake is to add absolute values to get \(7\) and then apply a wrong sign, producing \(-7\), which is incorrect. Exam tip: for a quadratic \(ax^2+bx+c=0\) you can quickly check the sum of roots using \(-b/a\).
समान्य गुणनखंड निकालें: \(2x^2-10x=2x(x-5)\). शून्य गुणनफल नियम के अनुसार किसी भी गुणनखंड को शून्य रखकर हल करें: \(2x=0\) से \(x=0\) और \(x-5=0\) से \(x=5\)। इसलिए मूल \(0\) और \(5\) हैं। विकल्प B (2 और 5) गलत है — वहाँ \(x=2\) कोई समाधान नहीं है; विकल्प C का संकेत चिह्न उल्टा है और विकल्प D में दूसरा मूल गलत (10) है। परीक्षा टिप: सबसे पहले सामान्य गुणनखंड (common factor) निकालें और फिर प्रत्येक गुणनखंड को \(0\) के बराबर रखकर हल करें। / Factor out the common term: \(2x^2-10x=2x(x-5)\). By the zero-product property set each factor to zero: \(2x=0\) gives \(x=0\), and \(x-5=0\) gives \(x=5\). Hence the roots are 0 and 5. Option B (2 and 5) is incorrect because \(x=2\) does not satisfy the equation; option C has the wrong sign for one root and option D's second root 10 is incorrect. Exam tip: always factor out the greatest common factor first, then apply the zero-product rule and check signs.
यह द्विघात समीकरण पूर्ण वर्ग है क्योंकि \(x^2+12x+36=(x+6)^2\)। इसलिए दोनों मूल समान हैं और प्रत्येक मूल \(-6\) है। इसे गुणनखंडों से या बहुपद के गुणांक द्वारा जाँच सकते हैं: विमर्शक (discriminant) \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), जिससे द्वितीयक मूल (double root) निकलता है। विकल्प A (6,6) आम साइन की गलती है — यहाँ ऋणात्मक ही सही है क्योंकि गुणनखंड \(x+6\) है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी द्विघात के लिए पहले पूरी तरह गुणनफल की जाँच करें और साथ में विमर्शक \(b^2-4ac\) का मान देख लें; यदि शून्य हो तो दोगुना मूल होगा। / The quadratic is a perfect square: \(x^2+12x+36=(x+6)^2\). Hence both roots are equal and each root is \(-6\). You can also use the discriminant: \(b^2-4ac=12^2-4\cdot1\cdot36=144-144=0\), which confirms a repeated (double) root. Option A (6,6) is a sign error — the correct factor is \(x+6\), not \(x-6\). Exam tip: try factoring first; if unclear compute the discriminant — zero indicates a repeated root.
किसी क्वाड्राटिक समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(b=11\) हैं, इसलिए योग \(-\frac{11}{1}=-11\) होगा। विकल्प A (11) गलत है क्योंकि संकेत को उलटा लेना होता है; विकल्प C और D स्थिर पद \(c=30\) से जुड़े मान हैं और मूलों के योग नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: a और b तुरंत पहचान कर सीधे \(-\frac{b}{a}\) लागू करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the sum of the roots equals \(-\frac{b}{a}\). Here \(a=1\) and \(b=11\), so the sum is \(-\frac{11}{1}=-11\). Option A (11) is incorrect because the sign must be negated; options C and D correspond to the constant term 30 (or its negative) and are not the sum. Exam tip: quickly identify a and b and apply \(-\frac{b}{a}\).
समीकरण \(7x^2=0\) को 7 से भाग देने पर \(x^2=0\) मिलता है। यह बराबर \(x^2=(x-0)^2\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(x=0\) दोहरा (मल्टीप्लिसिटी 2) मूल है। डिस्क्रिमिनेन्ट के द्वारा भी: सामान्य रूप \(ax^2+bx+c\) में यहाँ \(a=7,b=0,c=0\) है और \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\) जो दोहरे मूल को दर्शाता है। विकल्प C निकटतम भ्रमित करने वाला है पर गलत है क्योंकि \(x=7\) पर \(7\cdot7^2=343\neq0\)। परीक्षा टिप: किसी भी द्विघात का दोहरा मूल तात्कालिक रूप से डिस्क्रिमिनेन्ट \(=0\) से जाँचा जा सकता है या समीकरण को गुणनखण्ड में लिखकर परखा जा सकता है। / Dividing \(7x^2=0\) by 7 gives \(x^2=0\). This is \((x-0)^2\), so \(x=0\) is a repeated root (multiplicity 2). Using coefficients \(a=7,b=0,c=0\), the discriminant is \(b^2-4ac=0^2-4\cdot7\cdot0=0\), confirming a double root. The closest distractor C is wrong because substituting \(x=7\) gives \(7\cdot7^2=343\ne0\). Exam tip: check the discriminant or factor out common terms to quickly identify repeated roots.
समीकरण को वर्ग पूर्ण स्वरूप में लिखें: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\)। इसलिए \((x-4)^2=0\) से मूल \(x=4\) आएगा और यह दोहराया हुआ (double) मूल है। वैकल्पिक तरीका: व्युत्पन्न (discriminant) देखें: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0\) — जब \(\Delta=0\) होता है तो द्वि-घातीय समीकरण का एक दोहराया मूल होता है। निकट का विकल्प \(-4\) गलत है क्योंकि उसमें समीकरण शून्य नहीं बनता (\((-4)^2-8(-4)+16=64\)). परीक््षा युक्ति: किसी भी द्वि-घातीय समीकरण में जल्दी जांच के लिए पहले उसे फैक्टर करें या \(\Delta\) की गणना करें — \(\Delta=0\) होने पर मूल दोहराया होगा। / Factor the quadratic: \(x^2-8x+16=(x-4)^2\). Hence \((x-4)^2=0\) gives the repeated root \(x=4\). Alternatively compute the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=0\), and \(\Delta=0\) indicates a double root. The closest distractor \(-4\) is incorrect because substituting \(-4\) does not satisfy the equation (it gives 64). Exam tip: either factor into a perfect square or check the discriminant; if \(\Delta=0\) the root is repeated.
समीकरण को गुणा किए गए रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-5x = x(x-5)\). यदि किसी गुणनखंड का गुणनफल शून्य है तो कम से कम एक गुणनखंड शून्य होगा। इसलिए \(x=0\) अथवा \(x-5=0\) से \(x=5\)। अतः मूल 0 और 5 हैं। निकटतम विचलक विकल्प D (0 और -5) इसलिए गलत है क्योंकि वहाँ दूसरा मूल का संकेत गलत लिया गया है — सही गुणनखंड \(x-5\) से +5 मिलता है, -5 नहीं। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात को हमेशा गुणनखंडों में तोड़कर प्रत्येक कारक को शून्य मानकर जाँच करें और संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x = x(x-5)\). If a product is zero, at least one factor is zero, so \(x=0\) or \(x-5=0\) giving \(x=5\). Thus the roots are 0 and 5. The closest distractor is D (0 and -5) — it has 0 correct but the sign of the other root is wrong because the factor is \(x-5\), not \(x+5\). Exam tip: Always factor and set each factor to zero; carefully check signs when solving for roots.
सामान्य रूप में क्वाड्रैटिक \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(c=-3\) है, इसलिए गुणनफल \(\frac{-3}{4}= -\frac{3}{4}\) होगा। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प A (\(\frac{3}{4}\)) केवल साइन की गलती है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे गलत हस्तांतरण/संधि का परिणाम हैं। परीक्षा-टिप: मूलों का गुणनफल याद रखने के लिए हमेशा \(c/a\) और योग के लिए \(-b/a\) याद रखें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(\frac{c}{a}\). Here \(a=4\) and \(c=-3\), so the product is \(\frac{-3}{4}= -\frac{3}{4}\). The closest distractor A (\(\frac{3}{4}\)) is a sign error; options C and D are incorrect because they come from using the wrong coefficient. Exam tip: remember product = \(c/a\) and sum = \(-b/a\) to avoid sign mistakes.
मूल की जाँच के लिए \(x=1\) को समीकरण में रखें: \(1^2-3\cdot1+2=1-3+2=0\)। प्राप्त मान शून्य है, इसलिए \(x=1\) समीकरण का मूल है। निकटतम विचलन (विकल्प C) गलत है क्योंकि \(x=2\) भी समीकरण को शून्य बनाता है, पर विकल्प C कहता है "केवल \(x=2\) पर", जो असत्य है। परीक्षा सुझाव: किसी भी संभावित मूल की पुष्टि के लिए सीधे समीकरण में प्रतिस्थापन करें। / Test by substitution: put \(x=1\) into the left side: \(1^2-3\cdot1+2=1-3+2=0\). Since the expression equals zero, \(x=1\) is a root. The closest distractor (Option C) is wrong because \(x=2\) is also a root, so it is not "only at \(x=2\)". Exam tip: verify a claimed root by direct substitution into the quadratic.
\(x^2=16\) पर दोनों तरफ का वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\) आता है, इसलिए दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मूल लें। विकल्प B गलत है क्योंकि उसने ऋणात्मक मूल \(-4\) को छोड़ा; विकल्प C और D मानदोष हैं क्योंकि \(\sqrt{16}=4\) है न कि 8, और 0 तथा 16 इस समीकरण के किसी भी मूल के रूप में संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-सूचना: किसी भी समीकरण में दोनों तरफ वर्गमूल लेते समय हमेशा \(\pm\) को ध्यान में रखें। / Taking square root of both sides of \(x^2=16\) gives \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\). So both +4 and -4 are roots. Option B is wrong because it omits the negative root (-4); C and D are incorrect since \(\sqrt{16}=4\), not 8, and 0 and 16 do not satisfy the equation. Exam tip: whenever you take square roots in equations, include the \(\pm\) sign to capture both roots.
यदि हम \(x=0\) पर रखते हैं तो समीकरण बनता है \(a(0)^2+b(0)+c=c=0\)। अतः \(x=0\) मूल तभी होगा जब स्थिर पद \(c\) शून्य हो। यदि \(c=0\) होगा तो समीकरण \(ax^2+bx=0\) बनकर \(x(ax+b)=0\) हो जाता है और \(x=0\) स्पष्टतः एक मूल है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(a=0\) होने पर समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रेखीय हो जाता है और शून्य मूल मिलने की गारंटी नहीं है; विकल्प C तभी शून्य देगा जब साथ में \(c=0\) भी हो; विकल्प D (\(a=b\)) का शून्य होने से कोई संबंध नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी संभावित मूल को त्वरित जाँच के लिए समीकरण में स्थानापन्न (substitute) कर के देखें। / Substitute \(x=0\) into \(ax^2+bx+c=0\): this gives \(c=0\). Therefore \(x=0\) is a root only when the constant term \(c\) is zero. If \(c=0\), the equation reduces to \(ax^2+bx=0\) or \(x(ax+b)=0\), so \(x=0\) is indeed a root. Option B is incorrect because \(a=0\) makes the equation linear (not necessarily giving zero as a root); option C (\(b=0\)) does not ensure zero is a root unless \(c=0\) also; option D (\(a=b\)) is irrelevant to whether zero is a root. Exam tip: always test a suspected root by direct substitution into the equation.
समीकरण को गुणनखंड में लिखें: \(x^2-2x = x(x-2)\). जब गणनखंडों को शून्य के बराबर रखा जाता है तो मूल मिलते हैं: \(x=0\) या \(x=2\). विकल्पों में केवल \(2\) मौजूद है इसलिए सही उत्तर \(2\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) को परखने पर: \(3^2-2\cdot3=9-6=3\neq0\), इसलिए वह मूल नहीं है। परीक्षात्मक टिप: द्विघात को हमेशा फैक्टर कर के हर फैक्टर को \(0\) के बराबर रखें — यह सबसे तेज़ तरीका है। / Factor the quadratic: \(x^2-2x = x(x-2)\). Setting each factor to zero gives the roots \(x=0\) and \(x=2\). Since only \(2\) appears among the options, it is the correct choice. Check a common distractor: for \(x=3\), \(3^2-2\cdot3=9-6=3\neq0\), so 3 is not a root. Exam tip: factorise first and then set each factor equal to zero to find roots quickly.
जोड़ और गुणनफल के सिद्धांत या गुणनखंड द्वारा हल करें। \(x^2-6x+8\) को गुणा करने पर \(x^2-6x+8=(x-4)(x-2)\) आता है; इसलिए मूल 4 के साथ दूसरा गुणनखंड \(x-2\) से आता है और दूसरा मूल 2 है। निकटतम विकर्षक 1 गलत है क्योंकि यदि एक मूल 4 हो तो गुणनफल \(4\times 1=4\) मिलता जो स्थिर पद \(8\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: किसी द्विघात के लिए \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) और \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\) का प्रयोग जल्दी उत्तर देने में मदद करता है। / Use factorisation or sum-and-product of roots. Factorising gives \(x^2-6x+8=(x-4)(x-2)\), so with one root 4 the other root is 2. The close distractor 1 is wrong because \(4\times1=4\), not equal to the constant term 8. Exam tip: For \(ax^2+bx+c=0\), use \(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\) and \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\) to find the other root quickly.
मूल बात: किसी भी दिए गए मूल को समीकरण में प्रत्यक्ष रूप से प्रतिस्थापित करें। \(x=1\) रखने पर \(1 - k + 2 = 0\) या \(3 - k = 0\) से \(k = 3\)। विकल्प B (2) एक सामान्य त्रुटि से आ सकता है — कभी-कभी विद्यार्थी समीकरण को शून्य के बजाय गलत मान से बराबर मान लेते हैं या गुणन/जोड़ में गलती कर लेते हैं। परीक्षा टिप: किसी भी मूल को सीधे समीकरण में रखकर चरणबद्ध रूप से हल करें और संकेतों (signs) पर ध्यान दें। / Core idea: substitute the given root directly into the equation. With \(x=1\) we get \(1 - k + 2 = 0\) or \(3 - k = 0\), hence \(k = 3\). Option B (2) often arises from a careless mistake such as equating the expression to the wrong value or an arithmetic slip when adding terms. Exam tip: always substitute the root and simplify step by step, watching signs carefully.
गुणनफल गुणा के सिद्धांत से सीधे मिलता है: \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=16-7=9\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह संयोग (योग) या किसी गलत प्रमेय का परिणाम है, C तब गलत होगा जब कोई \(4^2+7\) को सीधे उत्पाद समझ लेता है, और D उस गलतफहमी से आता है कि केवल \(\sqrt{7}\) ही शेष रहेगा। परीक्षा युक्ति: दो घनत्व (conjugate) संख्याओं के गुणनफल के लिए हमेशा \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) याद रखें; वैटिया के नियम से भी द्विघात में शून्यकों का गुणनफल = constant term/leading coefficient होता है। / Compute directly using product of conjugates: \((4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=16-7=9\). Option B is incorrect — it resembles a sum, not the product. Option C arises from the incorrect step \(4^2+7\) being treated as the product, and D mistakes the product for just \(\sqrt{7}\)-related term. Exam tip: for conjugate zeros use \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\); alternatively Vieta's formula gives product = constant term / leading coefficient for quadratics.
यदि दो शून्यक \(3+\sqrt{2}\) और \(3-\sqrt{2}\) हों तो उनका योग \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) तथा गुणनफल \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\) होगा। किसी द्विघात का मानक एकल-घटक रूप है \(x^2-(\text{योग})x+(\text{गुणनफल})\) इसलिए मनोनित बहुपद होगा \(x^2-6x+7\)。नजदीकी भ्रामक विकल्प \(x^2-6x+11\) (विकल्प D) में रैखिक गुणक सही है पर स्थिर पद गलत है — यहाँ स्थिर पद 11 है जबकि वास्तविक गुणनफल 7 होना चाहिए। परीक्षात्मक सूचक: सम और गुणनफल तुरंत निकालकर \(x-(\alpha)\)(x-\(\beta\)) का विस्तार कर लें ताकि त्रुटि की संभावना कम रहे। / For zeros \(3+\sqrt{2}\) and \(3-\sqrt{2}\) the sum is \((3+\sqrt{2})+(3-\sqrt{2})=6\) and the product is \((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})=9-2=7\). A monic quadratic with these zeros is \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=x^2-6x+7\). The closest distractor \(x^2-6x+11\) (option D) has the same linear coefficient but the constant term (product) is incorrect. Exam tip: form \((x-(3+\sqrt{2}))(x-(3-\sqrt{2}))\) and expand — this avoids sign mistakes.
शून्यकों की प्रकृति के लिए अनुच्छेद (discriminant) का उपयोग करें: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). शून्यक वास्तविक होने के लिए \(D\ge 0\) अर्थात् \(k\le 9\) और अपरिमेय होने के लिए \(D>0\) तथा \(D\) परफेक्ट स्क्वायर नहीं होना चाहिए।
- \(k=7\) पर \(D=36-28=8\), जो धनात्मक है और परफेक्ट स्क्वायर नहीं है, इसलिए शून्यक वास्तविक और अपरिमेय होंगे (सही उत्तर)।
- \(k=5\) पर \(D=36-20=16\), परफेक्ट स्क्वायर है, अतः शून्यक युक्तात्मक (rational) होंगे।
- \(k=9\) पर \(D=0\), समान (equal) वास्तविक शून्यक होंगे (परिमेय)।
- \(k=10\) पर \(D=36-40=-4\), नकारात्मक होने पर शून्यक सम्मिश्र (complex) होंगे।
परीक्षा-सुझाव: अनुच्छेद निकालकर पहले जाँचें कि \(D>0\) है या नहीं, फिर देखें कि क्या वह परफेक्ट स्क्वायर है। / Use the discriminant: \(D=b^2-4ac=36-4k=4(9-k)\). For real roots we need \(D\ge0\) (i.e. \(k\le9\)). For the roots to be irrational we need \(D>0\) and \(D\) not a perfect square.
- For \(k=7\), \(D=36-28=8\), which is positive and not a perfect square, so the roots are real and irrational (correct).
- For \(k=5\), \(D=16\) which is a perfect square, giving rational roots.
- For \(k=9\), \(D=0\) so the roots are equal and rational.
- For \(k=10\), \(D=-4\) is negative, so the roots are complex (not real).
Exam tip: Always check that \(D>0\) and then test whether \(D\) is a perfect square to decide irrational vs rational roots.
A. दोनों अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ/Both irrational real numbers
Explanation
Simple Explanation
क्वाड्रेटिक के लिए डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-7, c=5\) इसलिए \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\)। \(D>0\) है परन्तु \(29\) पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक होंगे जो अपरिमेय होंगे (रूट्स \((7\pm\sqrt{29})/2\))। विकल्प B गलत है क्योंकि पूर्ण वर्ग नहीं होने पर शून्यक परिमेय नहीं होते; विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों शून्यक के भागफल में समान irrationals आते हैं, अतः दोनों अपरिमेय ही होंगे। परीक्षा-सुझाव: किसी भी द्वघात समीकरण के शून्यकों के प्रकार के लिए पहले हमेशा डिस्क्रिमिनेंट की जाँच करें और देखें कि वह पूर्ण वर्ग है या नहीं। / For a quadratic, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here \(a=1, b=-7, c=5\), so \(D=(-7)^2-4\cdot1\cdot5=49-20=29\). Since \(D>0\) and \(29\) is not a perfect square, the equation has two distinct real irrational roots: \((7\pm\sqrt{29})/2\). Option B is incorrect because a non-perfect-square discriminant does not yield rational roots; option D is incorrect because both roots contain \(\sqrt{29}\) and are therefore both irrational. Exam tip: compute the discriminant first — if positive and not a perfect square, expect two irrational real roots.
A. एक ही अपरिमेय शून्यक पुनरावृत्त दो बार/One irrational zero repeated twice
Explanation
Simple Explanation
पहला तरीका: पूर्ण वर्ग बनाएं—\(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\)। इसलिए शून्यक \(x=\sqrt{7}\) है और यह दोहराया हुआ (double) है। वैकल्पिक रूप से डिस्क्रिमिनेंट से जाँच करें: \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\)। \(\Delta=0\) होने पर द्विघात का एक वास्तविक सम-दोहराया शून्यक होता है। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि \(\Delta\) शून्य है (दो अलग शून्यक नहीं), C गलत है क्योंकि शून्यक \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, और D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: पहले डिस्क्रिमिनेंट देखें—\(\Delta=0\) होने पर तुरंत पता चल जाता है कि शून्यक दोहराया हुआ है। / Complete the square: \(p(x)=x^2-2\sqrt{7}x+7=(x-\sqrt{7})^2\). Hence the root is \(x=\sqrt{7}\), occurring twice (a double root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac =(-2\sqrt{7})^2-4\cdot1\cdot7=28-28=0\). \(\Delta=0\) implies one real repeated root. Thus B is wrong because \(\Delta\neq>0\) so roots are not distinct; C is wrong because the root is irrational (\(\sqrt{7}\)), and D is wrong because a real root does exist. Exam tip: compute \(\Delta\) first—\(\Delta=0\) immediately indicates a repeated real root; factorization gives the exact value.
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
A. \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) और \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\)/\(\left(\frac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
कटान बिंदु तब मिलते हैं जब \(p(x)=0\)। \(4x^2-25=0\) से \(4x^2=25\) और इसलिए \(x^2=\frac{25}{4}\)। अतः \(x=\pm\frac{5}{2}\) और x-अक्ष पर कटान बिंदु \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) तथा \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\) हैं। वैकल्पिक रूप से \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\) का उपयोग कर भी जड़ें मिलती हैं। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प (B) उस गलती का परिणाम है जिसमें परीक्षा में विभाजन/वर्गमूल में त्रुटि होती है (5 के बजाय \(\frac{5}{2}\) होना चाहिए)। परीक्षा टिप: \(4x^2\) को \((2x)^2\) समझकर सीधे वर्गमूल लें या अन्तर-स्क्वायर फैक्टरिंग करें। / x-intercepts occur where \(p(x)=0\). From \(4x^2-25=0\) we get \(4x^2=25\), so \(x^2=\tfrac{25}{4}\) and hence \(x=\pm\tfrac{5}{2}\). Therefore the intercepts are \(\left(\tfrac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{5}{2},0\right)\). Alternatively factor \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\) to read off the roots. The closest distractor (B) reflects a common slip of using 5 instead of \(\tfrac{5}{2}\). Exam tip: treat \(4x^2\) as \((2x)^2\) or take square roots carefully to avoid fraction errors.
