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\(x^2=7+2\sqrt{10}\) इसलिए घटाने पर (7) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में पहले वर्ग विस्तार करें। / Here \(x^2=7+2\sqrt{10}\), so subtracting gives (7). In such questions expand the square first.
दोनों वर्ग जोड़ने पर जड़ वाले पद कट जाते हैं और (32) मिलता है। संयुग्मी संख्याओं में कटने वाले पद पहचानें। / On adding the two squares the radical terms cancel and the result is (32). Identify cancelling terms in conjugates.
सूत्र से अंतर (4ab) होता है जहाँ \(a=\sqrt{11}\) और \(b=\sqrt{5}\) हैं। इसलिए उत्तर \(4\sqrt{55}\) है। / By identity the difference is (4ab), where \(a=\sqrt{11}\) and \(b=\sqrt{5}\). So the answer is \(4\sqrt{55}\).
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(y=6\sqrt{2}\)। वर्ग (72) होगा। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(y=6\sqrt{2}\). Its square is (72).
हर का संयुग्मी \(3-\sqrt{5}\) है और हर (9-5=4) बनता है। परिमेयकरण में संयुग्मी से गुणा करें। / The conjugate of the denominator is \(3-\sqrt{5}\) and the denominator becomes (9-5=4). Multiply by the conjugate to rationalize.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (7-3=4) बनता है। इसलिए (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}) मिलता है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (7-3=4). Hence we get (\frac{2\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)}{4}).
क्योंकि (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए व्युत्क्रम \(2-\sqrt{3}\) है। संयुग्मी को पहचानना तेज तरीका है। / Since (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), the reciprocal is \(2-\sqrt{3}\). Recognizing conjugates is a fast method.
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) होता है। जोड़ने पर \(2\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\). Adding gives \(2\sqrt{3}\).
यह \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=0\) बनता है। पहले सभी जड़ों को समान रूप में बदलें। / It becomes \(4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+5\sqrt{3}=0\). First convert all roots to like radical form.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए \(a=5\sqrt{2}\)। इसका वर्ग (50) परिमेय है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so \(a=5\sqrt{2}\). Its square is (50), a rational number.
अभिव्यक्ति \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\) बनती है। \(2\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / The expression becomes \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). \(2\sqrt{5}\) is irrational.
यदि यह परिमेय होता तो उसका वर्ग \(3+\sqrt{5}\) परिमेय होता, जो नहीं है। इसलिए यह वास्तविक अपरिमेय है। / If it were rational, its square \(3+\sqrt{5}\) would be rational, which it is not. Hence it is real irrational.
(\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2=6+2-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3}) है। (2ab) पद ध्यान से लिखें। / (\(\sqrt{6}-\sqrt{2}\)2=6+2-2\sqrt{12}=8-4\sqrt{3}). Write the (2ab) term carefully.
अंतर वर्ग सूत्र से मान (13-12=1) है। संयुग्मी जोड़े का गुणन अक्सर परिमेय देता है। / By difference of squares the value is (13-12=1). Product of conjugate pairs often gives a rational number.
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-2=3) हो जाता है। इसलिए परिमेय हर वाला रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (5-2=3). So the rationalized form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), इसलिए अंश \(5\sqrt{3}\) है। भाग देने पर (5) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the numerator is \(5\sqrt{3}\). Dividing gives (5).
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और संयुग्मी के साथ गुणन से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। दिए विकल्प में \(x^0=1\) इसलिए पहला रूप सही नहीं दिखता, ध्यान से पढ़ें। / Actually \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) satisfies \(x^4-10x^2+1=0\), not a simple quadratic here. Read powers carefully in such trick questions.
(x) का संयुग्मी \(2-\sqrt{3}\) है और योग (4), गुणनफल (1) है। इसलिए समीकरण \(x^2-4x+1=0\) है। / The conjugate is \(2-\sqrt{3}\), with sum (4) and product (1). Hence the equation is \(x^2-4x+1=0\).
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। इसलिए \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). So \(4\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}=0\).
दो संख्याओं का औसत उनके बीच होता है। इसलिए \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) इनके बीच है। / The average of two numbers lies between them. Hence \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}\) lies between them.
\(\sqrt{50}\approx7.07\) और \(\sqrt{72}\approx8.49\), इसलिए (8) इनके बीच है। (8) परिमेय है। / \(\sqrt{50}\approx7.07\) and \(\sqrt{72}\approx8.49\), so (8) lies between them. (8) is rational.
धनात्मक संख्याओं में जड़ के अंदर बड़ी संख्या हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (48<75<108) है। / For positive numbers a larger value inside the root gives a larger square root. Here (48<75<108).
\(\sqrt{0.49}=0.7\) और \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\) है। योग (0.9) है। / \(\sqrt{0.49}=0.7\) and \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\). The sum is (0.9).
\(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\) है। गैर शून्य परिमेय से अपरिमेय को गुणा करने पर संख्या अपरिमेय रहती है। / \(\sqrt{4n}=2\sqrt{n}\). Multiplying an irrational number by a non zero rational keeps it irrational.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए योग \(3\sqrt{2}\) है। गैर शून्य परिमेय गुणक के साथ \(\sqrt{2}\) अपरिमेय रहता है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the sum is \(3\sqrt{2}\). A non zero rational multiple of \(\sqrt{2}\) remains irrational.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। अंश \(4\sqrt{2}\) है और भाग देने पर (4) मिलता है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The numerator is \(4\sqrt{2}\), and division gives (4).
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (1) बनता है। अंश (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}) है। / Multiplying by the conjugate makes the denominator (1). The numerator is (\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)2=5+2\sqrt{6}).
संयुग्मी से गुणा करने पर हर (5-3=2) और अंश \(8+2\sqrt{15}\) बनता है। सरल रूप \(4+\sqrt{15}\) है। / Multiplying by the conjugate gives denominator (5-3=2) and numerator \(8+2\sqrt{15}\). The simplified form is \(4+\sqrt{15}\).
यह \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) है। समान जड़ वाले पद जोड़ें। / It is \(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). Add like radical terms.
दशमलव अनंत है और दोहरने वाला निश्चित समूह नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / The decimal is infinite and has no fixed repeating block. Therefore it is irrational.
कुछ अंकों के बाद (45) दोहरता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / After some digits, (45) repeats, so it is a recurring decimal. A recurring decimal is rational.
A. (m) पूर्ण वर्ग होना चाहिए/(m) must be a perfect square
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो। यह जड़ों की प्रकृति का मुख्य नियम है। / The square root of a positive integer is rational only when it is a perfect square. This is the key rule for roots.
\(\sqrt{289}=17\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{289}=17\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
घन करने पर \(z^3=9\) मिलता है। भले (z) अपरिमेय हो, उसका घन यहाँ परिमेय है। / Cubing gives \(z^3=9\). Even if (z) is irrational, its cube here is rational.
(180) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{180}\) अपरिमेय है। परिमेय से अपरिमेय घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। / (180) is not a perfect square so \(\sqrt{180}\) is irrational. Subtracting an irrational from a rational gives an irrational result.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\) होता है। असमान जड़ \(\sqrt{5}\) अलग रहती है। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\). The unlike root \(\sqrt{5}\) remains separate.
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{5}\) बनता है। उसका वर्ग (5) है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the bracket becomes \(\sqrt{5}\). Its square is (5).
संयुग्मी गुणन में (ab=7-2=5) होता है। अंतर वर्ग सूत्र जल्दी उत्तर देता है। / In conjugate multiplication, (ab=7-2=5). The difference of squares formula gives the answer quickly.
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) है। जड़ों के भाग में अनुपात सरल करें। / \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\). Simplify the ratio inside the roots.
दोनों पक्ष धनात्मक हैं और (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5) है। इसलिए पहला पक्ष बड़ा है। / Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
\(\sqrt{99}\) लगभग (9.95) है और \(\sqrt{100}=10\) है। (9.98) इनके बीच की परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{99}\) is about (9.95) and \(\sqrt{100}=10\). (9.98) is a rational number between them.
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) है। इसलिए \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) है। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\). Thus \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\).
हर का संयुग्मी \(5+\sqrt{6}\) है और हर (25-6=19) बनता है। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The conjugate of the denominator is \(5+\sqrt{6}\), and the denominator becomes (25-6=19). Hence the first option is correct.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{2}\) है। गुणनफल (2) है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the bracket is \(\sqrt{2}\). The product is (2).
ये पद \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\) बनते हैं। कुल \(10\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(10\sqrt{5}\) है, विकल्पों को ध्यान से जाँचें। / The terms become \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\). The total is \(10\sqrt{5}\), so check the options carefully.
(\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}) है। इसलिए \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) सही रूप है। / (\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}). Hence \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) is correct.
