A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है/Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This property is used to create the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है।
A. परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational but not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है लेकिन पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल का प्रकार अलग-अलग जांचें।
A. किसी परिमेय संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a rational number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is rational, but it is not a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The square root of a non-perfect square need not be rational, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Check a number and its square root separately. चरण 1: (5) परिमेय है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग नहीं है। चरण 2: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल परिमेय होना जरूरी नहीं और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल के प्रकार को अलग-अलग जांचें।
B. परिमेय क्योंकि \(4+\sqrt{9}=7\)/Rational because \(4+\sqrt{9}=7\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{9}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
(4+3=7), a rational number.
Step 3
Exam Tip
Do not call every expression with a square root irrational immediately. चरण 1: \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: (4+3=7) परिमेय संख्या है। चरण 3: वर्गमूल देखकर तुरंत अपरिमेय न मानें।
(\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) is a conjugate product.
Step 2
Why this answer is correct
Its value is (11-1=10), which is rational.
Step 3
Exam Tip
In conjugate forms, irrational terms can cancel. चरण 1: (\(\sqrt{11}+1\)\(\sqrt{11}-1\)) संयुग्मी गुणन है। चरण 2: इसका मान (11-1=10), जो परिमेय है। चरण 3: जहाँ संयुग्मी रूप हो, वहाँ अपरिमेय पद कट सकते हैं।
In \(0.123123123\ldots\), the block (123) repeats.
Step 2
Why this answer is correct
A recurring decimal is rational.
Step 3
Exam Tip
Do not call a decimal irrational just because it is non-terminating; check repetition. चरण 1: \(0.123123123\ldots\) में (123) बार-बार आ रहा है। चरण 2: आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। चरण 3: केवल असांत देखकर अपरिमेय न मानें; आवर्तन जरूर जाँचें।
To find the rational option, look for the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(144) is a perfect square and \(\sqrt{144}=12\).
Step 3
Exam Tip
Recognising perfect squares makes such questions very quick. चरण 1: परिमेय विकल्प के लिए पूर्ण वर्ग का वर्गमूल खोजें। चरण 2: (144) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{144}=12\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने से ऐसे प्रश्न बहुत जल्दी हल होते हैं।
\(\sqrt{121}=11\), and (11) can be written as \(\frac{11}{1}\).
Step 3
Exam Tip
Square roots of perfect squares are rational. चरण 1: (121) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{121}=11\), और (11) को \(\frac{11}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं।
To find the rational option, look for the square root of a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
(100) is a perfect square and \(\sqrt{100}=10\).
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{n}\), if (n) is a perfect square, the value is rational. चरण 1: परिमेय विकल्प खोजने के लिए पूर्ण वर्ग का वर्गमूल देखें। चरण 2: (100) पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{100}=10\)। चरण 3: \(\sqrt{n}\) में यदि (n) पूर्ण वर्ग हो, तो उत्तर परिमेय होगा।
\(\sqrt{81}=9\), and (9) can be written as \(\frac{9}{1}\).
Step 3
Exam Tip
The square root of a perfect square is always rational. चरण 1: (81) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{81}=9\), और (9) को \(\frac{9}{1}\) लिखा जा सकता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय होता है।
First find the square roots of perfect squares separately. चरण 1: \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\)। चरण 2: दोनों को जोड़ने पर (2+3=5) मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पहले अलग-अलग निकालें।
Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps it irrational.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
The non-zero condition is important because multiplication by (0) gives (0). चरण 1: अशून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। चरण 2: जैसे \(2 \times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\), जो अपरिमेय है। चरण 3: यहां अशून्य शर्त जरूरी है, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर परिणाम (0) होगा।
\(\sqrt{16}=4\), and (4) can be written as \(\frac{4}{1}\).
Step 3
Exam Tip
A number that can be written as a fraction is rational. चरण 1: (16) एक पूर्ण वर्ग है। चरण 2: \(\sqrt{16}=4\), और (4) को \(\frac{4}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 3: जो संख्या भिन्न रूप में लिखी जा सके, वह परिमेय होती है।
