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परिमेय गुणांकों में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यक तुरंत पहचानें। / With rational coefficients \(a+\sqrt{b}\) is accompanied by \(a-\sqrt{b}\). In exams identify conjugate zeroes quickly.
\(x^2=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\) है। परीक्षा में ((a+b)2) में (2ab) न छोड़ें। / \(x^2=7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}\). In exams do not miss (2ab) in ((a+b)2).
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
हर में (11) है इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। परिमेय संख्या होने के कारण यह आवर्ती होगा। / The denominator contains (11) so the decimal will not terminate. Since it is rational it will be recurring.
A. \(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) होगा जो असंभव है/\(\sqrt{3}=-\frac{p}{q}\) would be true which is impossible
Explanation
Simple Explanation
\(-\frac{p}{q}\) परिमेय है इसलिए इससे \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में विरोधाभास विधि पहचानें। / \(-\frac{p}{q}\) is rational so it would make \(\sqrt{3}\) rational which is false. In exams recognize the contradiction method.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{13}+2\) है और हर (13-4=9) बनता है। इसलिए मान (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
(\(4-\sqrt{15}\)\(4+\sqrt{15}\)=1) है। इसलिए व्युत्क्रम \(4+\sqrt{15}\) होगा। / (\(4-\sqrt{15}\)\(4+\sqrt{15}\)=1). Therefore the reciprocal is \(4+\sqrt{15}\).
योग (12) और गुणनफल (36-5=31) है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़े का योग और गुणनफल अलग निकालें। / The sum is (12) and the product is (36-5=31). In exams find the sum and product of conjugate pairs separately.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) है जो परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन को प्रतिउदाहरण के रूप में याद रखें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=4-3=1) which is rational. In exams remember conjugate multiplication as a counterexample.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
A. \(4+\sqrt{3}\) और \(4-\sqrt{3}\)/\(4+\sqrt{3}\) and \(4-\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात सूत्र से \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में विविक्तकर को सरल करें। / Using the quadratic formula \(x=\frac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}=4\pm\sqrt{3}\). In exams simplify the discriminant.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। इसलिए मान \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Hence the value is \(6\sqrt{3}\).
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\). In exams simplify radicals first.
A. \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) के लिए \(5-\sqrt{2}\)/For \(\frac{1}{5+\sqrt{2}}\) use \(5-\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{2}\) का संयुग्मी \(5-\sqrt{2}\) है। परीक्षा में बीच का चिन्ह बदलना ही संयुग्मी बनाने की मुख्य बात है। / The conjugate of \(5+\sqrt{2}\) is \(5-\sqrt{2}\). In exams changing the middle sign is the key idea of a conjugate.
\(\alpha+\beta=14\) और \(\alpha\beta=43\) है इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110)। परीक्षा में पहचान (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) लगाएं। / \(\alpha+\beta=14\) and \(\alpha\beta=43\) so (\alpha-2+\beta-2=(14)2-2(43)=110). In exams use (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) नहीं बल्कि हर (4-7=-3) से मान \(\frac{2-\sqrt{7}}{3}\) है इसलिए सीधा विकल्प नहीं बनेगा। सही सरलीकरण जांचे बिना उत्तर न चुनें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}\) equals \(\frac{2-\sqrt{7}}{-3}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\). So \(x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}-2}{3}=\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\).
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) है इसलिए कुल \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\) मिलता है। परीक्षा में व्युत्क्रम को पहले परिमेयकृत करें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) so the total is \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\). In exams rationalize the reciprocal first.
गुणनफल \(k^2-5=20\) से \(k^2=25\) और धनात्मक (k=5) है। परीक्षा में गुणनफल से अज्ञात निकालें। / From the product \(k^2-5=20\) we get \(k^2=25\) and positive (k=5). In exams find the unknown from the product.
\(\sqrt{9+16}=5\) है जबकि \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\) है। परीक्षा में मूल के अंदर के योग को अलग-अलग न तोड़ें। / \(\sqrt{9+16}=5\) while \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). In exams do not split addition inside a radical.
क्योंकि (9<15<16), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\) है और \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<15<16), \(3<\sqrt{15}<4\) and \(\sqrt{15}\) is irrational. In exams compare between squares.
धनात्मक पूर्णांक का परिमेय वर्गमूल तभी पूर्णांक होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The rational square root of a positive integer is an integer only when it is a perfect square. In exams identifying perfect squares is important.
\(x^2=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\) है। परीक्षा में ((a-b)2) का मध्य पद न भूलें। / \(x^2=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). In exams do not forget the middle term of ((a-b)2).
(\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन में वर्ग सही करें। / (\alpha\beta=25-\(2\sqrt{6}\)2=25-24=1). In exams square terms correctly in conjugate multiplication.
(\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), इसलिए प्रतिलोम \(2-\sqrt{3}\) है। परीक्षा में गुणनफल (1) जांचें। / (\(2+\sqrt{3}\)\(2-\sqrt{3}\)=1), so the inverse is \(2-\sqrt{3}\). In exams check that the product is (1).
विविक्तकर (196-180=16) है और \(\sqrt{16}=4\) परिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक परिमेय हैं। / The discriminant is (196-180=16) and \(\sqrt{16}=4\) is rational. Hence the zeroes are real rational.
विविक्तकर (196-160=36) है इसलिए शून्यक परिमेय होंगे यह कथन गलत नहीं बल्कि सही है। यहां सही प्रकार वास्तविक परिमेय होना चाहिए। / The discriminant is (196-160=36) so the zeroes are rational. The correct type should be real rational.
विविक्तकर (196-152=44) है और \(\sqrt{44}\) अपरिमेय है। इसलिए शून्यक वास्तविक अपरिमेय हैं। / The discriminant is (196-152=44) and \(\sqrt{44}\) is irrational. Hence the zeroes are real irrational.
\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(3\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Hence the value is \(3\sqrt{2}\).
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर अंश (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) और हर (2) बनता है। इसलिए मान \(4-\sqrt{15}\) है पर सही सरल विकल्प A है। / Multiplying by the conjugate gives numerator (\(\sqrt{5}-\sqrt{3}\)2=8-2\sqrt{15}) and denominator (2). So the value is \(4-\sqrt{15}\) and the correct simple option is A.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में भिन्न को सरल करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{8-2\sqrt{15}}{2}=4-\sqrt{15}\). In exams simplify the fraction at the end.
साथी शून्यक \(3-\sqrt{8}\) है। योग (6) और गुणनफल (9-8=1) से बहुपद \(x^2-6x+1\) बनता है। / The companion zero is \(3-\sqrt{8}\). Sum (6) and product (9-8=1) form \(x^2-6x+1\).
A. यदि (a<0), तो \(\sqrt{a^2}=|a|\) होता है/If (a<0), then \(\sqrt{a^2}=|a|\)
Explanation
Simple Explanation
मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में ऋणात्मक (a) के लिए सावधान रहें। / The principal square root is non-negative so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams be careful when (a) is negative.
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}) है। परीक्षा में पहचान से लंबी गणना बचती है। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}). In exams identities save long calculations.
B. \(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\)/\(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
\(5+\sqrt{5}\) और \(5-\sqrt{5}\) का योग (10) और गुणनफल (25-5=20) है इसलिए यह भी नहीं है। सही युग्म (5+2) और (5-2) परिमेय होगा इसलिए दिए विकल्पों में कोई नहीं। / The pair \(5+\sqrt{5}\) and \(5-\sqrt{5}\) has sum (10) and product (20) so it also fails. The pair (5+2) and (5-2) would be rational so none of the given options fits.
(7+3=10) और \(7\cdot3=21\) है। परीक्षा में केवल अपरिमेय रूप देखकर उत्तर न चुनें। / (7+3=10) and \(7\cdot3=21\). In exams do not choose only by seeing an irrational form.
A. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है/Every irrational number is a real number
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैं। परीक्षा में संख्या पद्धति का समावेशन याद रखें। / Real numbers include both rational and irrational numbers. In exams remember the inclusion of number systems.
\(231=3\cdot7\cdot11\) कटने के बाद हर में \(2\cdot5^2\) बचता है। इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / After cancelling \(231=3\cdot7\cdot11\), the denominator left is \(2\cdot5^2\). Therefore the decimal terminates.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) है। इसलिए मान \(8\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{8}=6\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). Hence the value is \(8\sqrt{2}\).
\(x^2=3+2\sqrt{2}\) और \(x^3=7+5\sqrt{2}\), इसलिए \(x^3-3x=4+2\sqrt{2}\) होता है। सही मान विकल्पों में नहीं है इसलिए गणना सावधानी से करें। / \(x^2=3+2\sqrt{2}\) and \(x^3=7+5\sqrt{2}\), so \(x^3-3x=4+2\sqrt{2}\). The correct value is not in the options so calculate carefully.
\(x^3=7+5\sqrt{2}\) और \(3x=3+3\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(4+2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में घातों की गणना चरणों में करें। / \(x^3=7+5\sqrt{2}\) and \(3x=3+3\sqrt{2}\), so the difference is \(4+2\sqrt{2}\). In exams calculate powers step by step.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर हर (10-9=1) बनता है। इसलिए मान \(\sqrt{10}+3\) है। / Multiplying by the conjugate of the denominator makes the denominator (10-9=1). Therefore the value is \(\sqrt{10}+3\).
दूसरा शून्यक \(5-\sqrt{21}\) होगा। योग (10) और गुणनफल (25-21=4) से बहुपद \(x^2-10x+4\) बनता है। / The other zero will be \(5-\sqrt{21}\). Sum (10) and product (25-21=4) give the polynomial \(x^2-10x+4\).
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें। / The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में अंत में समान गुणनखंड से भाग जरूर करें। / Multiplying by the conjugate gives \(\frac{30+2\sqrt{221}}{4}=\frac{15+\sqrt{221}}{2}\). In exams divide by the common factor at the end.
\(385=5\cdot7\cdot11\) कटने के बाद हर में केवल \(2^3\) बचता है। परीक्षा में हमेशा सरलतम रूप के हर को देखें। / After cancelling \(385=5\cdot7\cdot11\), only \(2^3\) remains in the denominator. In exams always check the denominator in lowest form.
पहला गुणनफल (14-6=8) है और \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन और मूल सरलीकरण दोनों करें। / The first product is (14-6=8), and \(\sqrt{84}=2\sqrt{21}\). In exams use both conjugate multiplication and radical simplification.
दूसरा शून्यक \(6-\sqrt{19}\) होगा और गुणनफल (36-19=17) है। परीक्षा में स्थिर पद को शून्यकों के गुणनफल से जोड़ें। / The other zero will be \(6-\sqrt{19}\), and the product is (36-19=17). In exams connect the constant term with the product of zeroes.
