rational irrational se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
23 questions tagged with rational irrational.
If \(x=\frac{17}{10}\) and \(y=\sqrt{3}\), which is to the left on the number line?
A. (x)
(x=1.7) और \(\sqrt{3}\approx1.732\), इसलिए (x<y)। बाएँ बिंदु की संख्या छोटी होती है। / (x=1.7) and \(\sqrt{3}\approx1.732\), so (x<y). The point to the left has the smaller value.
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A. अपरिमेयIrrational
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
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Which option correctly describes the nature of \\((\frac{2}{5}+\sqrt{17})\\)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
\((\frac{2}{5})\) परिमेय है क्योंकि यह दो पूर्णांकों का अनुपात है। परन्तु \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है क्योंकि 17 पूर्ण वर्ग नहीं है। यदि मान लें कि योग परिमेय है, तो \(\sqrt{17}=(\frac{2}{5}+\sqrt{17})-\frac{2}{5}\) भी परिमेय होना चाहिए — जो विरोधाभास है। अतः योग अपरिमेय है। विकल्प B (परिमेय) नजदीकी गलत विकल्प है; परिमेय तब ही सम्भव है जब दोनों पद परिमेय हों। विकल्प C और D (पूर्णांक तथा सांत दशमलव) भी परिमेय होने की श्रेणी में आते हैं, इसलिए वे भी असम्भव हैं क्योंकि उपसर्ग में अपरिमेय भाग मौजूद है। परीक्षा-सुझाव: किसी योग में यदि किसी पद में \(\sqrt{n}\) (जहाँ n पूर्ण वर्ग नहीं) आता है, तो पूरे योग को अक्सर अपरिमेय मानें — परिमेय होने के लिए उस अपरिमेय भाग का किसी तरह शून्य होना आवश्यक है। / \((\frac{2}{5})\) is rational (a ratio of integers) while \(\sqrt{17}\) is irrational because 17 is not a perfect square. If the sum were rational, then \(\sqrt{17}=(\frac{2}{5}+\sqrt{17})-\frac{2}{5}\) would be rational too, which is impossible. Hence the sum is irrational. The closest distractor is "Rational": this would require the irrational part to cancel out, which does not happen here. Options "Integer" and "Terminating decimal" are special cases of rational numbers and are therefore also impossible. Exam tip: isolate the irrational term — subtract any rational parts; if an irrational like \(\sqrt{m}\) with m not a perfect square remains, the whole expression is irrational.
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Which option gives the correct nature of \(\sqrt{361}\) and \(\sqrt{362}\)?
A. \(\sqrt{361}\) परिमेय है और \(\sqrt{362}\) अपरिमेय है\(\sqrt{361}\) is rational and \(\sqrt{362}\) is irrational
\(\sqrt{361}=19\) है लेकिन (362) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{361}=19\), but (362) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
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Which option correctly describes the nature of \(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
\(\sqrt{11}\) एक अपरिमेय संख्या है और \(\frac{1}{3}\) परिमेय है। यदि मान लें कि उनका योग परिमेय हो तो \(\sqrt{11}=\big(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\big)-\frac{1}{3}\) परिमेय बनेगा (परिमेय − परिमेय = परिमेय), जो असंभव है क्योंकि \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। इसलिए उनका योग अपरिमेय है। निकटतम भ्रामक विकल्प परिमेय है — वह गलत है क्योंकि किसी भी अपरिमेय संख्या में किसी परिमेय संख्या को जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। परीक्षाई सुझाव: किसी योग में यदि एक पद अपरिमेय है और अन्य परिमेय, तो पूरा योग автоматически अपरिमेय माना जा सकता है; तर्क के लिए विरोधाभास की विधि लिखें। / \(\sqrt{11}\) is irrational while \(\frac{1}{3}\) is rational. Assume for contradiction that \(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\) is rational; then \(\sqrt{11}=\big(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\big)-\frac{1}{3}\) would be a difference of two rationals and hence rational, contradicting that \(\sqrt{11}\) is irrational. Thus the sum is irrational. The closest distractor, “rational,” fails because a rational plus an irrational cannot be rational. Exam tip: when one term is irrational, directly use contradiction (subtract the rational term) to show the sum is irrational.
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Which option gives the correct nature of \(\sqrt{289}\) and \(\sqrt{290}\)?
A. \(\sqrt{289}\) परिमेय है और \(\sqrt{290}\) अपरिमेय है\(\sqrt{289}\) is rational and \(\sqrt{290}\) is irrational
\(\sqrt{289}=17\) है लेकिन (290) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{289}=17\), but (290) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
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Which option correctly describes the nature of \(4+\sqrt{13}\)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
(4) परिमेय है और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / (4) is rational and \(\sqrt{13}\) is irrational. The sum of a rational and an irrational number is irrational.
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Which option correctly describes the nature of \(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
\(\frac{1}{2}\) परिमेय है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। यदि मान लें कि उनका योग परिमेय होता है, तो \(\sqrt{2}=(\frac{1}{2}+\sqrt{2})-\frac{1}{2}\) परिमेयों का अंतर होना चाहिए, जो विरोधाभास है क्योंकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित विकल्प "परिमेय" गलत है क्योंकि किसी परिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या घटाने पर हमेशा अपरिमेय मिलता है; "पूर्णांक" और "समाप्त दशमलव" विशेष प्रकार के परिमेय होते हैं, इसलिए वे भी गलत हैं. परीक्षा टिप: किसी परिमेय और अपरिमेय के योग के बारे में याद रखें — परिमेय + अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है (यदि योग परिमेय माना जाए तो विरोधाभास बनता है)। / \(\frac{1}{2}\) is rational and \(\sqrt{2}\) is irrational. If their sum were rational, then \(\sqrt{2}=(\frac{1}{2}+\sqrt{2})-\frac{1}{2}\) would be a difference of rationals and thus rational, contradicting that \(\sqrt{2}\) is irrational. Hence \(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\) is irrational. The closest distractor "rational" is incorrect for the reason above; "integer" and "terminating decimal" are specific types of rationals so they are also incorrect. Exam tip: memorize that rational + irrational = irrational (contradiction proof is quick and useful in exams).
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Which option gives the correct nature of \(\sqrt{225}\) and \(\sqrt{226}\)?
A. \(\sqrt{225}\) परिमेय है और \(\sqrt{226}\) अपरिमेय है\(\sqrt{225}\) is rational and \(\sqrt{226}\) is irrational
\(\sqrt{225}=15\) है लेकिन (226) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{225}=15\), but (226) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
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Which statement is correct for \(3+\sqrt{7}\)?
A. यह अपरिमेय हैIt is irrational
परिमेय (3) में अपरिमेय \(\sqrt{7}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग न होने वाली जड़ को पहचानें। / Adding irrational \(\sqrt{7}\) to rational (3) gives an irrational result. In exams identify roots of non perfect squares.
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Which option gives the correct nature of \(\sqrt{256}\) and \(\sqrt{257}\)?
A. \(\sqrt{256}\) परिमेय है और \(\sqrt{257}\) अपरिमेय है\(\sqrt{256}\) is rational and \(\sqrt{257}\) is irrational
\(\sqrt{256}=16\) है लेकिन (257) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{256}=16\), but (257) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
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Which of the following statements about \(3-\sqrt{11}\) is correct?
A. यह अपरिमेय संख्या हैIt is an irrational number
\(\sqrt{11}\) तब अपरिमेय है जब 11 पूर्ण वर्ग नहीं होता — इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। यदि आप एक परिमेय संख्या (3) में से एक अपरिमेय संख्या घटाते हैं तो परिणाम सामान्यतः अपरिमेय ही रहता है। व्याख्या के लिए मान लें कि \(3-\sqrt{11}\) परिमेय होता; तब \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) परिमेय होगा — जो विरोधाभास है। संख्यात्मक रूप से \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\) है, जो न तो शून्य है न ही पूर्णांक। परीक्षा टिप: किसी संख्या में रूढ़िगत रूप से देखें कि क्या घातमूल किसी परिमेय भाग से पूरी तरह कट जाता है; यदि नहीं, तो परिणाम अपरिमेय होगा। / Since 11 is not a perfect square, \(\sqrt{11}\) is irrational. The difference of a rational number (3) and an irrational number is irrational: if \(3-\sqrt{11}\) were rational then \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) would be rational, a contradiction. Numerically \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\), so it is neither zero nor an integer. Exam tip: check whether the radical term cancels exactly; if it doesn't, the expression remains irrational.
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Which option is formed by adding a rational number to an irrational number?
A. \(\frac{3}{5}+\sqrt{10}\)
विकल्प A में \(\frac{3}{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है, अतः यह प्रत्यक्ष रूप से परिमेय + अपरिमेय का योग है। ऐसे योग सामान्यतः अपरिमेय होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों पद (\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) अपरिमेय हैं — यह परिमेय+अपरिमेय का मामला नहीं है। विकल्प C और D दोनों में केवल परिमेय संख्याएँ हैं (भिन्न या पूर्णांकीय), इसलिए वे परिमेय जोड़ हैं। परीक्षा-टिप: किसी विकल्प में परिमेय और अपरिमेय को अलग करके पहचाने — परिमेय + अपरिमेय सामान्यतः अपरिमेय देता है; दो परिमेय का योग हमेशा परिमेय होता है। / In option A, \(\frac{3}{5}\) is rational and \(\sqrt{10}\) is irrational, so A is explicitly a sum of a rational and an irrational number. Such a sum is generally irrational, so A is correct. In option B both terms (\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)) are irrational — this is not a rational+irrational case. Options C and D are sums of rational numbers only, so they are not examples of rational plus irrational. Exam tip: identify each term's type first — rational+irrational is usually irrational; sum of two rationals is always rational, while sum of two irrationals can be either but is not the case asked here.
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If (a) is rational and (b) is irrational then what type of number is (a-b)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
परिमेय और अपरिमेय का अंतर अपरिमेय होता है। यह गुण गैर मिश्रित संख्याओं को पहचानने में मदद करता है। / The difference of a rational and an irrational number is irrational. This property helps identify mixed expressions.
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Which option shows a sum of a rational and an irrational number that is irrational?
A. \(9+\sqrt{17}\)
\(9\) एक परिमेय संख्या है और \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। सामान्यतः परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय ही रहता है क्योंकि अपरिमेय भाग को परिमेय भाग से पूरी तरह नहीं हटाया जा सकता; इसलिए \(9+\sqrt{17}\) अपरिमेय है। निकट का भ्रामक विकल्प \(\sqrt{2}+(3-\sqrt{2})\) है — इसमें अपरिमेय भाग आपस में कट जाता है और कुल योग \(3\) परिमेय बन जाता है। परीक्षात्मक टिप: किसी भी विकल्प को सरल कर के देखें कि क्या अपरिमेय भाग कट रहा है या नहीं। / 9 is rational and \(\sqrt{17}\) is irrational. In general the sum of a rational and an irrational number is irrational because the irrational part cannot be expressed or cancelled by a rational number; hence \(9+\sqrt{17}\) is irrational. A common distractor is \(\sqrt{2}+(3-\sqrt{2})\) where the irrational parts cancel and the sum equals 3, which is rational. Exam tip: always simplify the expression first and check whether any irrational parts cancel out.
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What type of number is \(6+\sqrt{11}\)?
A. अपरिमेय संख्याIrrational number
परिमेय संख्या (6) में अपरिमेय \(\sqrt{11}\) जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। जड़ को पूर्ण वर्ग समझने की गलती न करें। / Adding irrational \(\sqrt{11}\) to rational (6) gives an irrational number. Do not mistake the root for a perfect square.
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Which statement about real numbers is correct?
A. इनमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल हैंThey include both rational and irrational numbers
वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का बड़ा समुच्चय हैं। संख्या रेखा पर इन्हें दर्शाया जा सकता है। / Real numbers form the large set of rational and irrational numbers. They can be represented on the number line.
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Which of the following represents the sum of a rational number and an irrational number?
A. \(4+\sqrt{7}\)
परिमेय संख्या वह है जिसे भिन्न या पूर्ण संख्या के रूप में लिखा जा सकता है; अपरिमेय संख्या को दशमलव रूप में अनन्त और गैर-आवर्ती दशमलव के रूप में लिखा जाता है। \(4\) परिमेय है और \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है, इसलिए उनका योग \(4+\sqrt{7}\) अपरिमेय होगा — यह एक परिमेय और एक अपरिमेय का योग है। विकल्प B दोनों पद अपरिमेय हैं (दो अपरिमेयों का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है और यह हमारे प्रश्न के अनुरूप नहीं है)। विकल्प C और D दोनों में पद परिमेय हैं, अतः उनका योग परिमेय होगा। परीक्षा-सुझाव: किसी जोड़ में यदि कम से कम एक पद अपरिमेय और दूसरा स्पष्ट रूप से परिमेय हो तो पूरा योग अपरिमेय माना जा सकता है। / A rational number can be written as a fraction or integer; an irrational number has a non-terminating, non-repeating decimal expansion. Here \(4\) is rational and \(\sqrt{7}\) is irrational, so \(4+\sqrt{7}\) is the sum of a rational and an irrational number (and is itself irrational). Option B is the sum of two irrationals (not a rational plus an irrational). Options C and D are sums of rationals, so their sums are rational. Exam tip: check each term — if one term is irrational and the other clearly rational, the sum is irrational.
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Which decimal cannot be rational?
A. \(2.01001000100001\ldots\)
परिमेय संख्या का दशमलव या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। / A rational number has either a terminating decimal or a non-terminating recurring decimal.
\(2.01001000100001\ldots\) में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं है। इसलिए यह परिमेय नहीं हो सकता। / \(2.01001000100001\ldots\) has no fixed repeating block. So it cannot be rational.
लंबा दशमलव देखकर नहीं, पुनरावृत्ति देखकर निर्णय लें। / Decide by checking repetition, not merely by seeing a long decimal.
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If (r) is rational and (s) is irrational then when is (r+s=s) possible?
A. जब (r=0)When (r=0)
(r+s=s) से दोनों ओर (s) घटाने पर (r=0) मिलता है। / From (r+s=s), subtract (s) from both sides to get (r=0).
(0) परिमेय है इसलिए स्थिति संभव है। / (0) is rational, so the condition is possible.
सरल समीकरण बनाकर संख्या के प्रकार की जांच करें। / Form a simple equation before judging number types.
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Which of the following expressions is not rational?
C. \(\sqrt{6}+\sqrt{24}\)
पहले प्रत्येक विकल्प को सरल करें। / Simplify each option first.
\(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), जो अपरिमेय है। / \(\sqrt{6}+\sqrt{24}=\sqrt{6}+2\sqrt{6}=3\sqrt{6}\), which is irrational.
गुणन में मूल कट सकते हैं, पर योग में हमेशा ऐसा नहीं होता। / Radicals may cancel in multiplication, but not always in addition.
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B. (x) अवश्य परिमेय है(x) must be rational
यदि \(\frac{1}{x}\) परिमेय है और शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम भी परिमेय होगा। / If \(\frac{1}{x}\) is rational and non-zero, then its reciprocal is also rational.
इसलिए (x) परिमेय होगा, अपरिमेय नहीं। / Therefore (x) is rational, not irrational.
व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में शून्य की शर्त जरूर देखें। / In reciprocal questions, always check the non-zero condition.
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Which option correctly states the difference between rational and irrational numbers?
C. परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जा सकती है, जहाँ \(q\neq0\)Rational numbers can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(q\neq0\)
परिमेय संख्या वह है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ (p,q) पूर्णांक और \(q\neq0\) हों। / A rational number can be written as \(\frac{p}{q}\), where (p,q) are integers and \(q\neq0\).
अपरिमेय संख्या ऐसे रूप में नहीं लिखी जा सकती। / An irrational number cannot be written in that form.
परिभाषा के प्रश्न में \(q\neq0\) अवश्य देखें। / In definition questions, always check the condition \(q\neq0\).
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