Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=12\sqrt{2}\) है। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर निकालें। / \(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=12\sqrt{2}\). Take out the greatest perfect square.
\(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=11\sqrt{3}\) है। जड़ में पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / \(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=11\sqrt{3}\). Look for a perfect square factor inside the root.
\(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\) है इसलिए योग \(4\sqrt{7}\) है। पहले जड़ सरल करें फिर समान पद जोड़ें। / \(\sqrt{63}=3\sqrt{7}\), so the sum is \(4\sqrt{7}\). Simplify roots first and then add like terms.
यह अंतर वर्ग सूत्र है और मान (15-6=9) मिलता है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / This is the difference of squares formula and the value is (15-6=9). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है। अंतर \(5\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Their difference is \(5\sqrt{2}\).
\(\sqrt{243}=9\sqrt{3}\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। परिणाम \(11\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{243}=9\sqrt{3}\), \(\sqrt{147}=7\sqrt{3}\), and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). The result is \(11\sqrt{3}\).
\(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\). The product of two irrational numbers can be rational.
क्योंकि (100<115<121) इसलिए \(\sqrt{115}\) (10) और (11) के बीच है। (115) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (100<115<121), \(\sqrt{115}\) lies between (10) and (11). (115) is not a perfect square.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनंत है और इसमें कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं है। इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। / The decimal is infinite and has no fixed repeating block. So it is an irrational number.
संयुग्मी गुणन से (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में \(a^2-b^2\) लगाएँ। / Conjugate multiplication gives (pq=72-\(\sqrt{11}\)2=49-11=38). Use \(a^2-b^2\) in such questions.
\(x^2+2x=23+2\sqrt{23}\) है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / \(x^2+2x=23+2\sqrt{23}\). The sum of a rational and an irrational number is irrational.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) इसलिए कोष्ठक \(3\sqrt{3}\) बनता है। उसका वर्ग (27) है। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), so the bracket becomes \(3\sqrt{3}\). Its square is (27).
क्योंकि (81<85<100) इसलिए \(\sqrt{85}\) (9) और (10) के बीच है। (85) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (81<85<100), \(\sqrt{85}\) lies between (9) and (10). (85) is not a perfect square.
\(\frac{25}{4}=6.25\) है जो (6) और (7) के बीच है। भिन्न रूप परिमेयता बताता है। / \(\frac{25}{4}=6.25\), which lies between (6) and (7). Fraction form shows rationality.
धनात्मक संख्याओं में अंदर की संख्या बड़ी हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (145>130) है। / For positive numbers a larger number inside the square root gives a larger root. Here (145>130).
\(\sqrt{0.36}=0.6\) और \(\sqrt{0.49}=0.7\) है। योग (1.3) है जो परिमेय है। / \(\sqrt{0.36}=0.6\) and \(\sqrt{0.49}=0.7\). The sum is (1.3), which is rational.
\(\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\sqrt{49}=7\) है। जड़ों के भाग में अंदर का भागफल सरल करें। / \(\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\sqrt{49}=7\). In division of roots simplify the quotient inside.
\(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\) है। हर में जड़ हो तो परिमेयकरण करें। / \(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\). Rationalise when a root is in the denominator.
A. यदि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है तो \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है/If (a) is not a perfect square then \(\sqrt{a}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्णांक की वर्गमूल परिमेय तभी होती है जब संख्या पूर्ण वर्ग हो। इसलिए पूर्ण वर्ग न हो तो जड़ अपरिमेय होगी। / The square root of a positive integer is rational only when the number is a perfect square. So a non perfect square gives an irrational root.
वितरण करने पर \(5\sqrt{2}-2\) मिलता है। परिमेय और अपरिमेय पदों को अलग रखें। / Distributing gives \(5\sqrt{2}-2\). Keep rational and irrational terms separate.
\(3\sqrt{6}\times2\sqrt{6}=6\times6=36\) है। समान जड़ का गुणन परिमेय परिणाम दे सकता है। / \(3\sqrt{6}\times2\sqrt{6}=6\times6=36\). Multiplying same roots can give a rational result.
समान जड़ वाले पदों के गुणांक (6-2+1=5) बनते हैं। इसलिए उत्तर \(5\sqrt{3}\) है। / The coefficients of like radical terms are (6-2+1=5). So the answer is \(5\sqrt{3}\).
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\) है। परिणाम \(7\sqrt{3}\) नहीं बल्कि \(5+6-4=7\sqrt{3}\) होगा। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\). The result is \(7\sqrt{3}\), so check option values carefully.
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है। परिणाम \(6\sqrt{3}\) है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). The result is \(6\sqrt{3}\).
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
इस दशमलव में निश्चित आवर्ती समूह नहीं है। इसलिए यह अनंत और अनावर्ती है। / This decimal has no fixed repeating block. So it is non terminating and non repeating.
\(400=20^2\) पूर्ण वर्ग है इसलिए \(\sqrt{400}\) परिमेय है। बाकी विकल्प पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / \(400=20^2\) is a perfect square so \(\sqrt{400}\) is rational. The other options are not perfect squares.
(123) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{123}\) अपरिमेय है। पूर्ण वर्गों की जड़ परिमेय होती है। / (123) is not a perfect square so \(\sqrt{123}\) is irrational. Roots of perfect squares are rational.
A. \(\sqrt{361}\) परिमेय है और \(\sqrt{362}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{361}\) is rational and \(\sqrt{362}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{361}=19\) है लेकिन (362) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए पहली जड़ परिमेय और दूसरी अपरिमेय है। / \(\sqrt{361}=19\), but (362) is not a perfect square. So the first root is rational and the second is irrational.
\(\sqrt[3]{343}=7\) है जो परिमेय है। पूर्ण घन की घनमूल परिमेय होती है। / \(\sqrt[3]{343}=7\), which is rational. The cube root of a perfect cube is rational.
(20) पूर्ण घन नहीं है इसलिए \(\sqrt[3]{20}\) अपरिमेय है। घनमूल में पूर्ण घन पहचानें। / (20) is not a perfect cube so \(\sqrt[3]{20}\) is irrational. Identify perfect cubes in cube roots.
(98) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \(\sqrt{98}\) अपरिमेय है। परिमेय संख्या (4) जोड़ने पर भी परिणाम अपरिमेय रहता है। / (98) is not a perfect square so \(\sqrt{98}\) is irrational. Adding rational (4) still gives an irrational result.
\(\sqrt{225}=15\) परिमेय है इसलिए \(12-\sqrt{225}\) परिमेय होगा। पूर्ण वर्ग की जड़ परिमेय होती है। / \(\sqrt{225}=15\) is rational so \(12-\sqrt{225}\) will be rational. The root of a perfect square is rational.
(\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=4-5=-1) है। संयुग्मी गुणन में अपरिमेय भाग हट जाता है। / (\(2+\sqrt{5}\)\(2-\sqrt{5}\)=4-5=-1). In conjugate multiplication the irrational part cancels.
योग में जड़ वाले पद कटते हैं और गुणनफल (9-8=1) है। संयुग्मी संख्याओं में यह तरीका तेज है। / The radical terms cancel in the sum and the product is (9-8=1). This method is quick for conjugates.
(\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)2=7+3-2\sqrt{21}) है। वर्ग सूत्र में (2ab) पद सावधानी से लगाएँ। / (\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)2=7+3-2\sqrt{21}). Apply the (2ab) term carefully in the square formula.
सांत दशमलव को \(\frac{p}{q}\) रूप में बदला जा सकता है। इसलिए वह परिमेय होता है। / A terminating decimal can be converted into \(\frac{p}{q}\) form. Hence it is rational.
अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। केवल अनंत देखकर उसे अपरिमेय न मानें। / A non terminating repeating decimal is rational. Do not call it irrational only because it is infinite.
\(\sqrt{59}\) अपरिमेय है क्योंकि (59) पूर्ण वर्ग नहीं है। उसका ऋण भी वास्तविक अपरिमेय है। / \(\sqrt{59}\) is irrational because (59) is not a perfect square. Its negative is also a real irrational number.
\(\frac{2}{5}\) परिमेय है और \(\sqrt{17}\) अपरिमेय है। उनका योग अपरिमेय होता है। / \(\frac{2}{5}\) is rational and \(\sqrt{17}\) is irrational. Their sum is irrational.
\(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}=12\sqrt{3}\) है। बड़े पूर्ण वर्ग को बाहर निकालें। / \(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}=12\sqrt{3}\). Take out the large perfect square.
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) है। परिणाम \(13\sqrt{2}\) है। / \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The result is \(13\sqrt{2}\).
(\(2\sqrt{3}+1\)2=12+4\sqrt{3}+1=13+4\sqrt{3}) है। बीच का पद (2ab) जरूर लगाएँ। / (\(2\sqrt{3}+1\)2=12+4\sqrt{3}+1=13+4\sqrt{3}). Always include the middle term (2ab).
\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) है। कुल \(9\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\). The total is \(9\sqrt{3}\).
