Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.333\ldots=\frac{1}{3}\), so it is rational. Repeating decimals are always rational.
गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\) है, जो परिमेय है। शून्यक अपरिमेय हो सकते हैं पर उनका गुणनफल परिमेय हो सकता है। / The product is \(\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1\), which is rational. Zeroes may be irrational but their product can be rational.
मान लें \(x=0.\overline{09}\). तब \(100x=9.\overline{09}\) होगा। अब घटाएँ: \(100x-x=9.\overline{09}-0.\overline{09}\) यानी \(99x=9\)। अतः \(x=\dfrac{9}{99}=\dfrac{1}{11}\)। यह भिन्न है, इसलिए परिमेय संख्या है। अपरीमेय संख्या गलत है क्योंकि अपरीमेय दशमलव अनुप्रसारित (non-repeating) और अनन्त होते हैं, जबकि यहाँ दशमलव आवर्ती (repeating) है। अवास्तविक संख्या और पूर्णांक दोनों भी गलत हैं: यह संख्या 0 और 1 के बीच का भिन्न है, न कि पूरा अंक या गैर-यथार्थ संख्या। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए ऊपर का तरीका (गुणा करके घटाना) याद रखें। / Let \(x=0.\overline{09}\). Then \(100x=9.\overline{09}\). Subtracting gives \(100x-x=9\Rightarrow 99x=9\), so \(x=9/99=1/11\). Since it equals a fraction of integers, it is rational. "Irrational" is incorrect because irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals; here the decimal repeats. "Non-real" is wrong because every decimal expansion represents a real number, and "Integer" is wrong because the value lies between 0 and 1. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by setting the decimal equal to x, multiplying to align repeats, and subtracting to solve for x.
रेखा ऊपर दिखाती है कि '12' आवर्ती है। आवर्ती दशमलव हमेशा दो संपूर्ण संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है इसलिए परिमेय होता है। उदाहरण के लिए, \(x=0.\overline{12}\) मान लें। तब \(100x=12.\overline{12}\) और अलग करने पर \(100x-x=99x=12\) मिलता है, अतः \(x=12/99=4/33\) जो दो पूर्णांकों का भाग है। विकल्प B गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ भिन्नों के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं; यहाँ अत्यंत रूप से व्यक्त की जा सकती है। विकल्प C गलत है क्योंकि दशमलव मान वास्तविक संख्या का एक प्रकार है। विकल्प D गलत है क्योंकि परिणाम 0 और 1 के बीच है, अतः पूर्णांक नहीं है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी आवर्ती दशमलव को परिमेय साबित करने के लिए उसे भिन्न में बदलने की विधि (गुणाकर घटाना) याद रखें। / The overline shows that '12' repeats. Any repeating decimal can be expressed as a ratio of two integers, so it is rational. For example, let \(x=0.\overline{12}\). Then \(100x=12.\overline{12}\); subtracting gives \(99x=12\), hence \(x=12/99=4/33\), a fraction of integers. Choice B is wrong because irrational numbers cannot be written as a ratio of integers; here we have such a ratio. Choice C is wrong because a decimal number is real. Choice D is wrong because the value lies between 0 and 1, so it is not an integer. Exam tip: convert a repeating decimal to a fraction by multiplying to align repeats and subtracting — this quickly shows rationality.
यह संख्या आवर्ती दशमलव है क्योंकि '18' बार‑बार आता है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं क्योंकि इन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण दिखाते हैं: मान लें \(x=2.\overline{18}\). तब \(100x=218.\overline{18}\) और घटाने पर \(99x=216\), अतः \(x=\dfrac{216}{99}=\dfrac{24}{11}\)। इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या नॉन‑रिपीटिंग अनंत दशमलव होती है; यहाँ दशमलव आवर्ती है। विकल्प C और D भी गलत हैं: यह वास्तविक संख्या है (इसलिए नॉन‑रियल नहीं) और यह पूर्णांक नहीं है। परीक्षा सुझाव: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए आवर्ती ब्लॉक की लंबाई के अनुसार 10 का उपयुक्त घात गुणा कर के घटाना करें। / The decimal is repeating ('18' repeats), so it must be rational because repeating decimals can be written as fractions. For example, let \(x=2.\overline{18}\). Then \(100x=218.\overline{18}\), subtracting gives \(99x=216\), so \(x=\dfrac{216}{99}=\dfrac{24}{11}\). Thus the number is rational. Option B (irrational) is wrong because irrational numbers have non‑repeating, non‑terminating decimals; here the decimal repeats. Options C and D are also incorrect: the number is real (not non‑real) and it is not an integer. Exam tip: convert repeating decimals to fractions by multiplying by an appropriate power of 10 equal to the repeating block length and subtracting.
