Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(385=5\cdot7\cdot11\) कटने के बाद हर में केवल \(2^3\) बचता है। परीक्षा में हमेशा सरलतम रूप के हर को देखें। / After cancelling \(385=5\cdot7\cdot11\), only \(2^3\) remains in the denominator. In exams always check the denominator in lowest form.
हर में (11) है इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा। परिमेय संख्या होने के कारण यह आवर्ती होगा। / The denominator contains (11) so the decimal will not terminate. Since it is rational it will be recurring.
\(154=2\cdot7\cdot11\), इसलिए कटने के बाद हर में केवल \(5^2\) बचता है। परीक्षा में निर्णय हमेशा सरलतम रूप के हर से करें। / \(154=2\cdot7\cdot11\), so after cancellation only \(5^2\) remains in the denominator. In exams decide from the denominator in lowest form.
\(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी अनावर्ती होगा। परीक्षा में अपरिमेय और आवर्ती दशमलव में अंतर रखें। / \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. In exams distinguish irrational decimals from recurring decimals.
सरलीकरण के बाद हर में (7) बचता है, इसलिए दशमलव अनवसानी आवर्ती होगा। परीक्षा में केवल मूल हर देखकर निर्णय न लें। / After simplification, (7) remains in the denominator, so the decimal is non-terminating recurring. In exams do not decide only from the original denominator.
हर में (7) है, इसलिए दशमलव समाप्त नहीं होगा और परिमेय होने से आवर्ती होगा। परीक्षा में हर को सरलतम रूप में देखकर निर्णय लें। / The denominator contains (7), so the decimal will not terminate and being rational it will recur. In exams decide after checking the denominator in lowest form.
B. यह अनवसानी आवर्ती दशमलव है/It is non-terminating recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
हर में (13) है और भिन्न सरल करने पर भी केवल (2) और (5) नहीं बचते। परीक्षा में हर के अभाज्य गुणनखंड जरूर जांचें। / The denominator contains (13), and after simplification the denominator is not made only of (2) and (5). In exams always check prime factors of the denominator.
दिया गया दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच के शून्य की संख्या लगातार बदलती है — 1, 01, 001, 0001, ...; अर्थात् 1 के स्थान त्रिभुज संख्याएँ हैं (1, 3, 6, 10, ...)। किसी परिमेय संख्या की दशमलव(expansion) अंततः एक निश्चित आवर्ती समूह में दोहरानी चाहिए। यहाँ आवर्तन (periodicity) मौजूद नहीं है, इसलिए यह संख्या अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प परिमेय संख्या गलत है क्योंकि कोई स्थिर पुनरावर्ती ब्लॉक नहीं बनता; सांत दशमलव भी गलत है क्योंकि दशमलव अनंत है; पूर्णांक गलत है क्योंकि संख्या 0 और 1 के बीच है। परीक्षा-संकेत: यदि दशमलव विस्तार अनंत है तो जांचें कि क्या किसी निश्चित लघु ब्लॉक की आवृत्ति बार-बार हो रही है — नहीं होने पर संख्या अपरिमेय होती है। / The decimal expansion is infinite and the gaps of zeros between successive 1s increase: patterns of 1 appear at positions 1, 3, 6, 10, ... (triangular numbers). A rational number must have a decimal expansion that eventually becomes periodic (a fixed repeating block). Since no such periodic block exists here, the number is irrational. The closest distractor, rational number, is incorrect because there is no eventual repetition; terminating decimal is wrong because the expansion does not end; integer is impossible because the value lies between 0 and 1. Exam tip: to test for irrationality, look for eventual periodicity — if none exists and the expansion is infinite, the number is irrational.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
दशमलव भाग \(0.01011011101111\ldots\) में 1 के समूह की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है (एक, फिर दो, फिर तीन, फिर चार 1s, आदि) और कोई स्थायी आवर्ती ब्लॉक कभी दोहराकर अंत में दिखाई नहीं देता। इसलिए यह दशमलव अनंत है और किसी नियत आवर्ती चक्र में नहीं आता — यही वजह है कि यह संख्या अपरिमेय है। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव भाग समाप्त नहीं होता; विकल्प C गलत है क्योंकि आवर्ती दशमलव के लिए कुछ निश्चित ब्लॉक अंततः बार-बार दिखना चाहिए जो यहाँ नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि संख्या का भिन्न भाग शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को गुणक रूप में लिखने से पहले देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती या समाप्त हो रहा है; यदि नहीं, तो वह अपरिमेय है। / The fractional part \(0.01011011101111\ldots\) shows groups of 1s whose lengths keep increasing (one 1, then two 1s, then three 1s, and so on). There is no fixed block that repeats indefinitely, so the decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Hence the number is irrational. Option B is wrong because the decimal does not terminate; C is wrong because a repeating decimal must eventually show a fixed repeating block; D is wrong because the number has a nonzero fractional part. Exam tip: Rational numbers have decimal expansions that either terminate or become eventually periodic — checking for eventual periodicity is a quick test in exams.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या की पहचान है। आवर्ती भाग न दिखे तो सावधानी से जाँचें। / A non terminating and non repeating decimal identifies an irrational number. Check carefully if no repeating block appears.
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान बहुत महत्वपूर्ण है। / The decimal expansion of a rational number is terminating or repeating. This identification is very important.
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार सांत या आवर्ती होता है। यह पहचान परीक्षा में बहुत काम आती है। / The decimal expansion of rational numbers is terminating or repeating. This identification is very useful in exams.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
इस दशमलव में ’2’ के स्थान क्रमशः 1, 3, 6, 10, ... पर आते हैं — ये त्रिभुज संख्याएँ हैं, अर्थात् स्थानों का सामान्य रूप \\(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\\) है। इन स्थानों के बीच की दूरी बढ़ती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक (period) मौजूद नहीं रह सकता। किसी भी यौगिक दशमलव के लिए यदि वह राशनल होता है तो उसका दशमलव या तो समाप्त होगा या किसी निश्चित आवर्ती ब्लॉक के बाद आवर्ती हो जाएगा। पर यह दशमलव न तो समाप्त है और न ही आवर्ती है, अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा-सुझाव: किसी दशमलव को राशनल साबित करने के लिए देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती है या समाप्त। / The digit '2' appears at positions 1, 3, 6, 10, ... which are triangular numbers with general term \(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\). The gaps between successive '2's increase, so there is no fixed repeating block (period). Any rational number's decimal expansion is either terminating or eventually periodic; this decimal is neither, therefore it is irrational. Exam tip: to test rationality, check whether the decimal eventually repeats or terminates — if not, it is irrational.
विकल्प A में '27' का समूह बार-बार दोहर रहा है (1.27 27 27 ...), इसलिए यह अनंत आवर्ती दशमलव है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय (rational) होते हैं और एक भिन्न के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। विकल्प C (1.27) समाप्त होने वाली दशमलव है, इसलिए आवर्ती नहीं है। विकल्प D, \(\sqrt{2}\), एक अपरिमेय संख्या है जिसका दशमलव अविराम और गैर-आवर्ती होता है। विकल्प B में दिए गए अंक एक स्पष्ट, स्थिर दोहराए जाने वाले ब्लॉक को नहीं दिखाते इसलिए उसे आवर्ती नहीं माना जाता (यहाँ दिया गया अनुक्रम गैर-आवर्ती या अस्पष्ट रूप से समाप्त नहीं दिखता)। परीक्षा सुझाव: किसी दशमलव को आवर्ती मानने के लिए देखें कि क्या एक निश्चित क्रमिक अंक-समूह पूरे शेष भाग में लगातार दोहराया जा रहा है। / Option A has the block '27' repeating indefinitely (1.272727...), so it is a non-terminating repeating decimal. Repeating decimals are rational and can be written as fractions. Option C (1.27) is a terminating decimal, not repeating. Option D, \(\sqrt{2}\), is irrational so its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. Option B does not show a fixed repeating block in the digits shown, so it is not a repeating decimal (the pattern does not settle into a constant repeating block). Exam tip: to identify a repeating decimal, look for a fixed group of digits that repeats indefinitely after some point.
पहला दशमलव अनंत और अनावर्ती है इसलिए अपरिमेय है। सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / The first decimal is non terminating and non repeating so it is irrational. Terminating or repeating decimals are rational.
\(\frac{1}{6}=0.1666...\) है जो आवर्ती है। परिमेय संख्या का दशमलव सांत या आवर्ती होता है। / \(\frac{1}{6}=0.1666...\), which is repeating. A rational number has a terminating or repeating decimal.
A. अनंत और अनावर्ती/Non terminating and non repeating
Explanation
Simple Explanation
यह दशमलव अंतहीन है और इसमें कोई निश्चित दोहरने वाला ब्लॉक नहीं है: 4 के बीच के शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जा रही है (एक बार 1 शून्य, फिर 2, फिर 3, ...), इसलिए कोई समयोपरांत आवर्ती परिघ मौजूद नहीं है। अतः यह अनंत और अनावर्ती दशमलव है (एक अपरिमेय संख्या)। विकल्प C गलत है क्योंकि आवर्ती दशमलव में कुछ निश्चित समूह हमेशा दोहराना चाहिए — यहाँ ऐसा नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: किसी दशमलव को जाँचने के लिए देखें कि क्या किसी निश्चित लंबाई का अंक‑ब्लॉक समयोपरांत बार-बार आता है; यदि नहीं और अंकों की गिनती अनंत है तो यह अनावर्ती होगा। / The decimal never terminates and has no fixed repeating block: the number of zeros between successive 4s increases (1, 2, 3, ...), so there is no periodic pattern. Therefore it is non-terminating and non-repeating (an irrational-type decimal). Option C is incorrect because a repeating decimal must have a fixed repeating cycle, which this expansion lacks. Exam tip: a decimal is rational only if it terminates or eventually repeats; check for a constant periodic block to decide.
(0.2020020002...) में कोई स्थायी दोहराव नहीं है। अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। / (0.2020020002...) has no fixed repetition. A non terminating and non repeating decimal is irrational.
किसी भी आवर्ती दशमलव को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए वह परिमेय होता है। उदाहरण: यदि \(x=0.\overline{3}\) तो \(10x-x=3\) से \(x=3/9=1/3\) मिलता है। आम भ्रम यह है कि "अनंत" देखकर संख्या अपरिमेय मान ली जाएँ—परंतु अपरिमेय संख्याओं की दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती (non-repeating) होता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि दशमलव विस्तार केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित संदर्भ देता है; विकल्प D (केवल पूर्णांक) भी गलत है क्योंकि पूर्णांक का दशमलव विस्तार समाप्त होता (जैसे 5 = 5.000...) या विशेष रूप से पूर्णांक होता। परीक्षा-सूत्र: अगर दशमलव में एक निश्चित पैटर्न आवर्ती है तो तुरंत परिमेय समझें — आप उसे बीजगणितीय तरीके से भिन्न में बदलकर जाँच सकते हैं। / Any repeating (periodic) decimal represents a ratio of two integers, so it is rational. For example, if \(x=0.\overline{3}\) then \(10x-x=3\) which gives \(x=3/9=1/3\). A common mistake is to call every non-terminating decimal irrational; however irrationals are non-terminating and non-repeating. Option C (non-real) is incorrect because decimal expansions describe real numbers; option D (integer only) is wrong because integers have terminating decimal forms (e.g. 5 = 5.000...). Exam tip: spot the repeating block—if present, convert by the usual algebraic shift-and-subtract method to get a fraction.
A. अनंत और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को किसी दो पूर्णांकों के भाग के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए उसका दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है और न ही किसी निश्चित पैटर्न में आवर्ती होता है। उदाहरण के लिए √2 = 1.41421356… और π = 3.14159265… — दोनों अनंत और अनावर्ती हैं। विकल्प C (अनंत और आवर्ती) वे दशमलव दिखाते हैं जो राशनल संख्याओं के लिए होते हैं, जैसे 1/3 = 0.333…; इसलिए C गलत है। परीक्षा युक्ति: किसी संख्या को अपरिमेय साबित करने के लिए उसके दशमलव में समाप्ति या आवृति न होने का निरीक्षण करें — यदि समाप्त या आवर्ती हो तो संख्या परिमेय होती है। / An irrational number cannot be expressed as a ratio of two integers, so its decimal expansion neither terminates nor becomes periodic. Examples: √2 = 1.41421356… and π = 3.14159265… are non-terminating and non-repeating. Option C (non-terminating and repeating) describes typical rational decimals such as 1/3 = 0.333…, so C is incorrect. Exam tip: Check the decimal expansion — if it terminates or eventually repeats the number is rational; if it is non-terminating and non-repeating, it is irrational.
0.333... एक आवर्ती (repeating) दशमलव है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। सिद्ध करने के लिए मान लें कि x = 0.333...; तब 10x = 3.333... और दोनों को घटाने पर 9x = 3 आता है, अतः x = 3/9 = \(\frac{1}{3}\). इसलिए 0.333... को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है और यह परिमेय है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है न ही आवर्ती होता है। विकल्प C और D भी गलत हैं: 0.333... एक वास्तविक संख्या है और किसी वास्तविक संख्या के लिए या तो वह परिमेय होगी या अपरिमेय। परीक्षा-सुझाव: किसी भी आवर्ती या समाप्त होने वाले दशमलव को परिमेय समझें और उसे भिन्न में बदलने के लिए ऊपर वाला गुणा–घटाना तरीका प्रयोग करें। / 0.333... is a repeating decimal, so it is a rational number. To show this, let x = 0.333...; then 10x = 3.333... and subtracting gives 9x = 3, so x = 3/9 = \(\frac{1}{3}\). Thus 0.333... can be written as a fraction and is rational. Option B (irrational) is wrong because irrational decimals are non-terminating and non-repeating. Options C and D are also incorrect: 0.333... is a real number, and every real number is either rational or irrational. Exam tip: Any terminating or repeating decimal is rational—use the multiply-and-subtract method to convert to a fraction quickly.
कुंजीधारणा: \(10^8=2^8\cdot 5^8\) होता है। दिए गए हर में \(2^8\) तो है पर \(5^8\) में से केवल \(5^5\) हैं, यानी हर में \(5^3\) की कमी है। इसलिए हर को \(10^8\) बनाने के लिए हर और अंसर दोनों को \(5^3=125\) से गुणा करना होगा। अतः \(N=11\times125=1375\)।
किसे गलत समझा जा सकता है: 275 = \(11\times25\) है (यह तभी गलत उत्तर बनता है जब केवल \(5^2\) से गुणा कर दें)। 2750 = 2\(\times1375\) है (भ्रामक विकल्प जो एक अतिरिक्त गुणन कर लेने से बनता है)। 6875 = \(11\times625\) है (यह तब बनता अगर \(5^4\) से गुणा कर दिया जाए)।
परीक्षा-सूत्र: हर के और \(10^n\) के अभाज्य घटकों की तुलना करिए; जितनी शक्ति कम है, उसी शक्ति के \(5\) या \(2\) से गुणा करके अंकगणित सरल हो जाता है। / Core idea: \(10^8=2^8\cdot 5^8\). The given denominator has \(2^8\) but only \(5^5\), so it is short by \(5^3\). Multiply numerator and denominator by \(5^3=125\) to obtain denominator \(10^8\). Thus \(N=11\times125=1375\).
Why other options are wrong: 275 equals \(11\times25\) (wrong if you multiply by \(5^2\) instead of \(5^3\)). 2750 is simply twice the correct N (a mistake from an extra factor 2). 6875 equals \(11\times625\) (would result from multiplying by \(5^4\)).
Exam tip: Compare prime-power factors of the denominator with \(10^n\); multiply numerator by the missing power of 2 or 5 to convert to denominator \(10^n\).
कारण: \(10^8=2^8\cdot5^8\) है। दिये गए हर में \(5^8\) तो है पर \(2\) के घात केवल \(2^4\) हैं। हर को \(2^8\cdot5^8\) बनाने के लिए हर को \(2^4\) से गुणा करना होगा; अतः अंश को भी \(2^4=16\) से गुणा करें। इसलिए \(N=37\times16=592\)। नज़दीकी भ्रम: विकल्प C (1184) उस त्रुटि से आता है जहाँ किसी ने गलत तरह से \(2^5\) (यानी 32) से गुणा कर दिया; विकल्प A (296) आधा है (यानी \(37\times8\)) — यह बारम्बार विभाजन/अधिशेष भूल है; विकल्प D (23125) तब बनेगा जब कोई गलती से \(5^4=625\) से गुणा कर दे (\(37\times625=23125\))। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा \(10^n\) को \(2^n\cdot5^n\) के रूप में लिखकर हर के दो आधारों के घात बराबरी से जांचें। / Reason: \(10^8=2^8\cdot5^8\). The given denominator has \(5^8\) but only \(2^4\). To convert the denominator to \(2^8\cdot5^8\) multiply numerator and denominator by \(2^4=16\). Thus \(N=37\times16=592\). About distractors: C (1184) corresponds to multiplying by 32 (\(2^5\)) mistakenly; A (296) is half of the correct value (\(37\times8\)) and often comes from dividing instead of multiplying; D (23125) would result from incorrectly multiplying by \(5^4=625\) (\(37\times625\)). Exam tip: factorise \(10^n\) as \(2^n\cdot5^n\) and balance the powers of 2 and 5 to find the factor for the numerator quickly.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होने की शर्त यह है कि हर प्रकार्य भाग का हर वह अभाज्य गुणक जो 10 के कारक (2 और 5) के अलावा हो, खतम हो गया हो। यहां 31 का 2 या 5 से गुणनखंड नहीं है, अतः भिन्न पहले से सरलतम रूप में है और हर कोई घटक केवल \(2^a5^b\) ही है। समाप्त दशमलव की संख्या = हर आधार के घात का अधिकतम मान = \(\max(a,b)\)। दी हुई शर्तों के अनुसार यह 10 है और इसलिए क्योंकि \(b>a\), अधिकतम मान \(b\) है। अतः \(b=10\)। निकटवर्ती विकर्षक (जैसे \(a+10\)) गलत है क्योंकि \(a\) का मान हाशिए पर रखा गया है और समाप्ति की लंबाई सीधे अधिकतम घात पर निर्भर करती है, न कि किसी जोड़ पर। परीक्षा सुझाव: पहले भिन्न को साधारण रूप में लिखें और फिर समाप्त दशमलव की लंबाई = \(\max\) of exponents का फ़ॉर्मूला याद रखें। / A rational number in lowest terms has a terminating decimal iff its denominator's prime factors are only 2 and/or 5. Here 31 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\). The number of decimal places for termination equals \(\max(a,b)\). Given that this equals 10 and that \(b>a\), the larger exponent must be \(b\), so \(b=10\). The distractor \(a+10\) is incorrect because the termination length is not a sum involving \(a\) but the maximum of the exponents. Exam tip: always reduce the fraction first and use "termination length = max(exponents of 2 and 5 in denominator" ).
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (9) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों को जोड़ने की जगह बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (9). In exams, use the larger exponent instead of adding exponents.
कारण: \(10^6=2^6\cdot 5^6\) है। दिए गए हर में \(2^6\) तो मौजूद है पर \(5^6\) के लिए \(5^4\) की तुलना में \(5^2\) कम है। इसलिए हर को \(10^6\) बनाने के लिए अंश और हर दोनों को \(5^2=25\) से गुणा करें। अतः \(N=7\times 25=175\)। गलत विकल्पों का संक्षेप: 35 तब मिलेगा जब केवल \(5^1\) से गुणा किया जाए (आम गलतियाँ), 700 तब मिलता है जब \(7\times100\) कर दिया जाए, और 875 तब मिलेगा यदि गलती से \(5^3=125\) से गुणा किया जाए। परीक्षा-सूत्र: हर बार हर के अभाज्यघातों (prime powers) की तुलना \(10^n\) के साथ करें ताकि आवश्यक गुणक जल्दी पता चल सके। / Reason: \(10^6=2^6\cdot 5^6\). The given denominator has \(2^6\) but only \(5^4\), so it is short by \(5^2\). Multiply numerator and denominator by \(5^2=25\) to get denominator \(10^6\). Thus \(N=7\times25=175\). Note on distractors: 35 comes from multiplying by \(5^1\) (a common slip), 700 from multiplying by 100, and 875 from multiplying by \(5^3=125\). Exam tip: compare prime-power factors of the denominator with those of \(10^n\) to find the exact factor to multiply quickly.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होगा यदि हर अवयव हर(denominator) में केवल 2 और/या 5 के घात हों। समाप्त होने वाले दशमलव के स्थानों की संख्या उस घातों का अधिकतम मान होती है (यानी max(m,n) यदि हर = 2^m5^n)। यहाँ संख्या 29, 2 या 5 से समवर्ग नहीं है, अतः भिन्न सधारण रूप में भी \(2^a5^b\) ही रहेगी। दिया गया है कि \(a>b\), इसलिए अधिकतम घात \(a\) होगा और उसे 8 के बराबर होना चाहिए ताकि दशमलव ठीक 8 स्थानों पर समाप्त हो। अतः \(a=8\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(7\) गलत है क्योंकि वह केवल 7 दशमलव स्थान देगा; \(a+b\) भी असम्बद्ध है क्योंकि स्थानों की संख्या घातों के योग पर नहीं बल्कि अधिकतम पर निर्भर करती है। परीक्षा-सुझाव: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें और फिर हर के रूप में \(2^m5^n\) के घातों का अधिकतम लें। / A rational number has a terminating decimal exactly when its denominator (in lowest terms) is of the form \(2^m5^n\). The number of decimal places needed equals max(m,n). Here 29 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\) after simplification. Given \(a>b\), the maximum exponent is \(a\); for exactly 8 decimal places we must have \(a=8\). Option 7 is wrong because it would give only 7 decimal digits; \(a+b\) is irrelevant since the decimal length depends on the maximum exponent, not the sum. Exam tip: always reduce the fraction first and then take the larger of the exponents of 2 and 5 to get the number of decimal places.
हर में केवल (2) और (5) हैं इसलिए दशमलव सांत होगा और स्थान बड़ी घात (8) के बराबर होंगे। परीक्षा में घातों का योग नहीं बड़ी घात देखें। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates with the larger exponent (8). In exams, use the larger exponent, not the sum.
\(242=2\cdot 11^2\), इसलिए कटौती के बाद हर \(2^2\cdot 5^4\) बचेगा। बड़ी घात (4) है, इसलिए पहले सरल करें फिर दशमलव स्थान गिनें। / Since \(242=2\cdot 11^2\), the reduced denominator becomes \(2^2\cdot 5^4\). The larger exponent is (4), so reduce first and then count decimal places.
हमारे लक्ष्य हर को \(10^6=2^6\cdot5^6\) बनाना है। दिया गया हर \(2^6\cdot5^2\) है, अतः हर की तुलना में \(5\) का घात चार कम है। इसलिए हर और अंश दोनों को \(5^4=625\) से गुणा करना होगा। अतः \(N=11\cdot5^4=11\cdot625=6875\)। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे 1375 = \(11\cdot125\) (यहाँ केवल \(5^3\) से गुणा हुआ) और 2750 = \(11\cdot250\) (गलत शक्ति/गुणक) से आते हैं। परीक्षा टिप: हर को पहले गुणनजनों \(2\) और \(5\) के रूप में लिखकर दोनों के घात बराबर करें ताकि \(10^k\) मिल सके। / To obtain denominator \(10^6=2^6\cdot5^6\), we must make the power of 5 equal to 6. The given denominator is \(2^6\cdot5^2\), so multiply numerator and denominator by \(5^4=625\). Hence \(N=11\cdot5^4=11\cdot625=6875\). Common mistakes: 1375 equals \(11\cdot125\) (using \(5^3\) instead of \(5^4\)), while 2750 comes from another incorrect multiplier. Exam tip: prime-factorize the denominator and match exponents of 2 and 5 to form \(10^k\).
