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\( -\frac{11}{3}\approx-3.667\) और \( -\sqrt{13}\approx-3.606\), इसलिए \( -\frac{11}{3}\) अधिक छोटा है। संख्या रेखा पर छोटी संख्या अधिक बाईं ओर होती है। / \( -\frac{11}{3}\approx-3.667\) and \( -\sqrt{13}\approx-3.606\), so \( -\frac{11}{3}\) is smaller. On a number line, the smaller number lies farther left.
क्योंकि \(2^2<5<3^2\), इसलिए \(\sqrt{5}\), (2) और (3) के बीच है। पूर्ण वर्गों से अंतराल जल्दी मिल जाता है। / Since \(2^2<5<3^2\), \(\sqrt{5}\) lies between (2) and (3). Perfect squares quickly give the interval.
क्योंकि \(1^2<2<2^2\), इसलिए \(1<\sqrt{2}<2\)। वर्गों की तुलना करके वर्गमूल का स्थान पहचानें। / Since \(1^2<2<2^2\), we get \(1<\sqrt{2}<2\). Compare squares to locate a square root.
क्योंकि (9<15<16), इसलिए \(3<\sqrt{15}<4\) है और \(\sqrt{15}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<15<16), \(3<\sqrt{15}<4\) and \(\sqrt{15}\) is irrational. In exams compare between squares.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले मूलों को सरल करें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\). In exams simplify radicals first.
\(\sqrt{17}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव अनवसानी अनावर्ती होगा। परीक्षा में अपरिमेय और आवर्ती दशमलव में अंतर रखें। / \(\sqrt{17}\) is irrational, so its decimal expansion is non-terminating non-recurring. In exams distinguish irrational decimals from recurring decimals.
क्योंकि (9<13<16), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\) और \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों के बीच तुलना करें। / Since (9<13<16), \(3<\sqrt{13}<4\), and \(\sqrt{13}\) is irrational. In exams compare between squares.
\(\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\), जो अपरिमेय है। परीक्षा में योग को गुणन जैसा न मानें। / \(\sqrt{20}+\sqrt{45}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\), which is irrational. In exams do not treat addition like multiplication.
(p\(1+\sqrt{3}\)=0), इसलिए \(1+\sqrt{3}\) शून्यक है। किसी संख्या को शून्यक सिद्ध करने के लिए बहुपद का मान (0) दिखाएँ। / Since (p\(1+\sqrt{3}\)=0), \(1+\sqrt{3}\) is a zero. To prove a number is a zero, show that the polynomial value is (0).
B. एक गुणांक अपरिमेय है/One coefficient is irrational
Explanation
Simple Explanation
स्थिर पद \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय है, जबकि बाकी गुणांक परिमेय हैं। शून्यक नियम लागू करने से पहले गुणांकों का प्रकार देखें। / The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\)। इसलिए गुणनखंड के दोनों रूप एक जैसे हैं और शून्यक दोहरा है, अर्थात् दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) ही हैं। निकटतम विक्षेप (option C) गलत इसलिए कि बहुपद का भिन्न-भिन्न शून्यक नहीं है; विकल्प D भी गलत क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात का द्विघातम (discriminant) \(b^2-4ac\) निकालें — यदि शून्य आए तो पुनरावर्ती शून्यक मिलेगा। / The quadratic factors as \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\). Hence the root \(\sqrt{5}\) has multiplicity two and both zeroes equal \(\sqrt{5}\). The closest distractor (option C) is wrong because the polynomial does not have two distinct roots; option D is wrong because the discriminant is zero, so a real repeated root exists. Exam tip: compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero, the quadratic has a repeated real root.
दिया गया दशमलव विस्तार अनंत है और इसमें 1 के बीच के शून्य की संख्या लगातार बदलती है — 1, 01, 001, 0001, ...; अर्थात् 1 के स्थान त्रिभुज संख्याएँ हैं (1, 3, 6, 10, ...)। किसी परिमेय संख्या की दशमलव(expansion) अंततः एक निश्चित आवर्ती समूह में दोहरानी चाहिए। यहाँ आवर्तन (periodicity) मौजूद नहीं है, इसलिए यह संख्या अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प परिमेय संख्या गलत है क्योंकि कोई स्थिर पुनरावर्ती ब्लॉक नहीं बनता; सांत दशमलव भी गलत है क्योंकि दशमलव अनंत है; पूर्णांक गलत है क्योंकि संख्या 0 और 1 के बीच है। परीक्षा-संकेत: यदि दशमलव विस्तार अनंत है तो जांचें कि क्या किसी निश्चित लघु ब्लॉक की आवृत्ति बार-बार हो रही है — नहीं होने पर संख्या अपरिमेय होती है। / The decimal expansion is infinite and the gaps of zeros between successive 1s increase: patterns of 1 appear at positions 1, 3, 6, 10, ... (triangular numbers). A rational number must have a decimal expansion that eventually becomes periodic (a fixed repeating block). Since no such periodic block exists here, the number is irrational. The closest distractor, rational number, is incorrect because there is no eventual repetition; terminating decimal is wrong because the expansion does not end; integer is impossible because the value lies between 0 and 1. Exam tip: to test for irrationality, look for eventual periodicity — if none exists and the expansion is infinite, the number is irrational.
यदि यह परिमेय होता तो उसका वर्ग \(3+\sqrt{5}\) परिमेय होता, जो नहीं है। इसलिए यह वास्तविक अपरिमेय है। / If it were rational, its square \(3+\sqrt{5}\) would be rational, which it is not. Hence it is real irrational.
पहला गुणनफल (25-6=19) है और \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। / The first product is (25-6=19) and \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\) is irrational. A rational plus an irrational is irrational.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
यदि कोई संख्या व्यापक रूप से अपरिमेय हो तो उसकी दशमलव विस्तार अथवा अनंत और गैर-आवर्ती होगा। इस दशमलव में शून्य की स्थितिें 1, 3, 6, 10, ... पर आ रही हैं — अर्थात् त्रिभुज संख्याएँ \\(T_n=\frac{n(n+1)}{2}\\)। शून्यों के बीच के दो के ब्लॉकों की लंबाई लगातार 1,2,3,4,... की तरह बढ़ती है, इसलिए कोई स्थायी आवर्ती ब्लॉक कभी पैदा नहीं होगा। किसी भी युग्मीय आवर्ती रूप के बिना यह विस्तार अनंत और गैर-आवर्ती है, अतः संख्या अपरिमेय है। परीक्षा-सूट: यदि दशमलव विस्तार में आवर्तक ब्लॉक कभी स्थिर नहीं होता (जैसे शून्य-स्थानों के बीच की दूरी बढ़ती है), तो संख्या निश्चित रूप से अपरिमेय है। / A rational number has a decimal expansion that is eventually periodic (repeating). In 9.0202202220... the zeros occur at positions 1, 3, 6, 10, ... which are the triangular numbers \\(T_n=\frac{n(n+1)}{2}\\). The blocks of consecutive 2's between zeros have lengths 1, 2, 3, 4, ... which grow without bound, so no fixed repeating block exists. Hence the decimal is non-terminating and non-repeating, and the number is irrational. Exam tip: check whether gaps between recognizable markers (here zeros) stabilize; if they keep changing indefinitely, the decimal cannot be periodic and the number is irrational.
क्योंकि (100<115<121) इसलिए \(\sqrt{115}\) (10) और (11) के बीच है। (115) पूर्ण वर्ग नहीं है। / Since (100<115<121), \(\sqrt{115}\) lies between (10) and (11). (115) is not a perfect square.
परिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें भिन्न p/q (जहाँ p और q पूर्णांक और q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होने वाला (terminating) होता है या अनंत आवर्ती (non‑terminating repeating) होता है। उदाहरण: 0.333... = 1/3 और 0.2727... = 27/99 = 3/11। इसलिए अनंत और आवर्ती दशमलव परिमेय है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार अनंत पर अंतःस्थापित नहीं होते — वे non‑repeating होते (जैसे √2 = 1.41421... non‑repeating)। C (अवास्तविक) भी गलत है; अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा वास्तविक संख्या होती है। D (केवल पूर्णांक) गलत है क्योंकि अधिकांश आवर्ती दशमलव पूर्णांक नहीं होते, वे भिन्न होते हैं। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें — यदि आप इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं तो वह परिमेय है। / Rational numbers can be expressed as a fraction p/q (integers p and q, q ≠ 0). The decimal expansion of any rational number is either terminating or non‑terminating repeating. Examples: 0.333... = 1/3 and 0.2727... = 27/99 = 3/11. Thus a non‑terminating repeating decimal is rational. Why other options are wrong: B (irrational) is incorrect because irrational numbers have non‑terminating, non‑repeating decimals (e.g. √2). C (non‑real) is incorrect since such decimals represent real numbers. D (integer only) is incorrect because repeating decimals are generally fractions, not necessarily integers. Exam tip: Convert the repeating decimal into a fraction using algebra (e.g., set x = 0.2727..., multiply to shift decimal, subtract) to verify rationality quickly.
20 कोई पूर्ण घन (perfect cube) नहीं है। सामान्य तर्क: यदि किसी पूर्ण संख्या n का घनमूल परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) (सरल भिन्न) होता है तो \(p^3=nq^3\) के कारण q=1 होगा, अतः घनमूल पूर्णांक होना चाहिए। इसलिए यदि n पूर्ण घन नहीं है तो उसका घनमूल परिमेय नहीं हो सकता — अर्थात् अपरिमेय होगा। इसलिए \(\sqrt[3]{20}\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमक विकल्प 4 गलत है क्योंकि \(4^3=64\) और 33=27, अतः \(\sqrt[3]{20}\) लगभग 2.714 है, कोई पूर्णांक नहीं। परीक्षा सलाह: किसी संख्या का घनमूल जाँचना हो तो आस-पास के पूर्ण घनों (1, 8, 27, 64, ...) से तुलना करें। / 20 is not a perfect cube. More formally, if the cube root of an integer n were rational and equal to \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, then \(p^3=nq^3\) forces q=1, so the cube root would be an integer. Hence a non–perfect cube has an irrational cube root. Therefore \(\sqrt[3]{20}\) is irrational. The nearby distractor 4 is wrong because \(4^3=64\) (and \(3^3=27\)), so \(\sqrt[3]{20}\approx2.714\) and is not an integer. Exam tip: To test cube roots quickly, check whether the number is one of the perfect cubes 1, 8, 27, 64, ...
\(\sqrt{85}\) का मान लगभग 9.219... है, जो 9 और 10 के बीच आता है। 85 किसी पूर्ण वर्ग का अंक नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। निकटतम विकर्षक \(\frac{19}{2}=9.5\) भले ही 9 और 10 के बीच है पर धनात्मक पूर्णांक का अनुपात होने के कारण यह परिमेय है। \(\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{81}=9\) सीमाओं पर हैं (बीच में नहीं)। परीक्षा-सुझाव: किसी पूर्ण वर्गों \(n^2\) और \((n+1)^2\) के बीच आने वाला कोई भी गैर-पूर्ण-वर्ग का अंक लें और उसका वर्गमूल लें — वह \(n\) और \(n+1\) के बीच एक अपरिमेय होगा। / \(\sqrt{85}\) ≈ 9.219…, which lies strictly between 9 and 10. Since 85 is not a perfect square, \(\sqrt{85}\) is irrational. The closest distractor \(\frac{19}{2}=9.5\) is between 9 and 10 but is rational (ratio of integers). \(\sqrt{100}=10\) and \(\sqrt{81}=9\) are endpoints, not numbers strictly between 9 and 10. Exam tip: to find an irrational between n and n+1, pick a non-square integer between n-2 and (n+1)2 and take its square root — it will be irrational and lie between n and n+1.
यहाँ x = \sqrt{23} है तो \(x^2+2x = 23 + 2\sqrt{23}\)। 23 एक परिमेय संख्या है और \(2\sqrt{23}\) अपरिमेय है; परिमेय और अपरिमेय का योग हमेशा अपरिमेय होता है जब तक अपरिमेय भाग शून्य न हो। अत:, अभिव्यक्ति अपरिमेय संख्या है। निकटतम भ्रामक विकल्प परिमेय संख्या है — यह तब सही होता यदि अपरिमेय भाग शून्य हो सकता था, पर यहाँ \(2\sqrt{23}\neq 0\)। परीक्षात्मक सुझाव: ऐसे प्रश्नों में पहले व्यंजक को सरल करें और देखें कि क्या कोई अपरिमेय भाग शून्य होकर रद्द हो जाता है। / With x = \sqrt{23}, we get \(x^2+2x = 23 + 2\sqrt{23}\). 23 is rational and \(2\sqrt{23}\) is irrational; the sum of a nonzero irrational and a rational number is irrational. Therefore the expression is irrational. The closest distractor, rational, would be correct only if the irrational part canceled to zero, which does not happen here. Exam tip: simplify the expression first and check whether the irrational part can cancel; if not, the result with a nonzero irrational term is irrational.
\(7.\overline{125}\) एक आवर्ती दशमलव है। यदि x = \(7.\overline{125}\), तो 1000x = \(7125.\overline{125}\) और 1000x − x = 999x = 7125 − 7 = 7118, अतः x = 7118/999, जो परिमेय है। विकल्प B एक गैर-आवर्ती (non‑repeating) अनन्त दशमलव का रूप दिखाता है इसलिए वह अपरिमेय हो सकता है; विकल्प C, \(\sqrt{7}\), चूँकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, अपरिमेय है; विकल्प D, \(\pi\), प्रसिद्ध रूप से अपरिमेय (और transcendent) है। परीक्षा-सुझाव: आवर्ती या समाप्त होने वाली दशमलव हमेशा परिमेय होती है; वर्गमूल केवल तब परिमेय होगा जब मूल संख्या पूर्ण वर्ग हो। / \(7.\overline{125}\) is a repeating decimal. Let x = \(7.\overline{125}\). Then 1000x = \(7125.\overline{125}\), so 999x = 7125 − 7 = 7118 and x = 7118/999, a rational number. Option B shows a non‑repeating non‑terminating decimal form, so it's not rational. \(\sqrt{7}\) is irrational because 7 is not a perfect square. \(\pi\) is a well‑known irrational (transcendental) number. Exam tip: look for repeating or terminating decimals (rational) and check whether a square root is of a perfect square (only then rational).
क्योंकि (64<70<81) इसलिए \(\sqrt{70}\) (8) और (9) के बीच है। (70) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए यह अपरिमेय है। / Since (64<70<81), \(\sqrt{70}\) lies between (8) and (9). (70) is not a perfect square so it is irrational.
अनंत और अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या की पहचान है। आवर्ती भाग न दिखे तो सावधानी से जाँचें। / A non terminating and non repeating decimal identifies an irrational number. Check carefully if no repeating block appears.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\sqrt[3]{12}\) कोई परिमेय संख्या होती तो इसे सरल भिन्न \(\dfrac{p}{q}\) (जहाँ p और q परस्पर अभिन्न) के रूप में लिखा जा सकता है; घन करने पर \(p^3=12q^3\) मिलता है। यह अर्थ देता है कि \(p^3\) के अभाज्य घातांकों में 2 और 3 की शक्तियाँ उस रूप में हों जिसे 12 की गुणांकों \(2^2·3^1\) से मेल खा सकें — परन्तु किसी पूर्ण घन के अभाज्य घातांश तीन के गुणज होने चाहिए। चूँकि 12 का अभाज्य घातांश (2:2, 3:1) तीन के गुणज नहीं हैं, विरोधाभास होता है। इसलिए \(\sqrt[3]{12}\) अपरिमेय है। सबसे नज़दीकी विखंडक जैसे 3 या 4 गलत हैं क्योंकि \(3^3=27\) और \(4^3=64\) जो 12 नहीं है; तथा terminating दशमलव केवल परिमेय संख्याएँ होती हैं। परीक्षा-टिप: घनमूल के परिमेय होने की जाँच के लिए पहले देखें कि अंदर का अंक पूर्ण घन है या नहीं; अभाज्य घटकों के घातों पर ध्यान दें। / If \(\sqrt[3]{12}\) were rational it could be written as a reduced fraction \(\dfrac{p}{q}\) with integers p,q; cubing gives \(p^3=12q^3\). That forces the prime exponents in \(p^3\) to match those of 12q-3, so the exponents of primes coming from 12 must be multiples of 3. But 12=22·31 has exponents 2 and 1, which are not multiples of 3, a contradiction. Hence \(\sqrt[3]{12}\) is irrational. Distractors fail: 3 and 4 are wrong because 33=27 and 43=64 (not 12); a terminating decimal would be rational. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect cube; use prime-power exponents to test rationality of integer roots.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
3.010010001... में 1-यों के बीच शून्यों की संख्या हर बार बढ़ती जा रही है (पहले 1 शून्य, फिर 2 शून्य, फिर 3 शून्य, ...)। इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक नहीं बनता — किसी भी निश्चित लंबाई के बाद पैटर्न पुनः होने के लिए आवश्यक शर्तेँ पूरी नहीं होतीं। किसी भी rational संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या किसी निश्चित अल्पकालिक ब्लॉक में आवर्ती होता है; यहाँ न तो समाप्ति है न कोई निश्चित आवृत्ति, अतः संख्या अपरिमेय है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (आवर्ती दशमलव) गलत है क्योंकि उस स्थिति में एक निश्चित सेट अंक (period) अनंत में बार-बार दिखना चाहिए, जो इस पैटर्न में नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनिश्चित-पैटर्न दशमलव के लिए शून्यों/अँकों के बढ़ते क्रम को देखें — अगर कोई निश्चित पुनरावृत्ति नहीं दिखती तो संख्या अपरिमेय हो सकती है। / In 3.010010001... the number of zeros between successive 1s increases each time (1, 2, 3, ...). Thus there is no fixed repeating block — after any chosen block length the pattern does not repeat. A rational number’s decimal expansion is either terminating or eventually periodic (repeating). Since this decimal is neither terminating nor periodic, it is irrational. The closest distractor C (a repeating decimal) is incorrect because a repeating decimal requires a fixed period of digits repeating indefinitely, which this number does not have. Exam tip: check whether a decimal has a fixed repeating block or terminates; if neither holds and the pattern keeps changing (like increasing zero runs), the number is irrational.
\(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) क्योंकि \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\)। हर में जड़ हो तो सरल करें। / \(\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\) because \(3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\). Simplify when a root is in the denominator.
परिमेय संख्या वह होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सके। \(\frac{15}{2}=7.5\) है जो स्पष्ट रूप से 7 और 8 के बीच आता है और यह दो पूर्णांकों का भागफल है, अतः परिमेय है। बाकी विकल्पों में \(\sqrt{53}\) और \(\sqrt{60}\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं इसलिए वे अपरिमेय होते हैं, और \(\pi+4\) भी अपरिमेय है क्योंकि \(\pi\) अपरिमेय है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\sqrt{53}\) है (लगभग 7.2801) पर वह भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिये उसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखने की कोशिश करें; अगर कोई व्यंजक पूर्ण वर्ग या ज्ञात अपरिमेय स्थिरांक (जैसे \(\pi\)) शामिल करता है तो वह सामान्यतः अपरिमेय होता है। / A rational number can be expressed as a ratio of two integers. \(\frac{15}{2}=7.5\) lies between 7 and 8 and is explicitly a ratio of integers, so it is rational. The other choices are irrational: \(\sqrt{53}\) and \(\sqrt{60}\) are square roots of non-perfect squares, and \(\pi+4\) is irrational because \(\pi\) is irrational. The closest distractor is \(\sqrt{53}\) (≈7.2801) but it remains irrational. Exam tip: check if a number can be written as m/n with integers m,n; if not, test for perfect squares or known irrational constants to rule out rationality quickly.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
इस दशमलव में ’2’ के स्थान क्रमशः 1, 3, 6, 10, ... पर आते हैं — ये त्रिभुज संख्याएँ हैं, अर्थात् स्थानों का सामान्य रूप \\(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\\) है। इन स्थानों के बीच की दूरी बढ़ती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती ब्लॉक (period) मौजूद नहीं रह सकता। किसी भी यौगिक दशमलव के लिए यदि वह राशनल होता है तो उसका दशमलव या तो समाप्त होगा या किसी निश्चित आवर्ती ब्लॉक के बाद आवर्ती हो जाएगा। पर यह दशमलव न तो समाप्त है और न ही आवर्ती है, अतः यह अपरिमेय है। परीक्षा-सुझाव: किसी दशमलव को राशनल साबित करने के लिए देखें कि क्या दशमलव अंततः आवर्ती है या समाप्त। / The digit '2' appears at positions 1, 3, 6, 10, ... which are triangular numbers with general term \(T_n=\tfrac{n(n+1)}{2}\). The gaps between successive '2's increase, so there is no fixed repeating block (period). Any rational number's decimal expansion is either terminating or eventually periodic; this decimal is neither, therefore it is irrational. Exam tip: to test rationality, check whether the decimal eventually repeats or terminates — if not, it is irrational.
16 का गुणनखंड रूप 16 = 24 है; किसी संख्या की घनमूल पूर्ण घन तभी होगी जब उसके प्राइम फैक्टर के सभी घात 3 के गुणज हों। चूँकि 4, 3 का गुणज नहीं है, इसलिए \(\sqrt[3]{16}\) पूर्ण घन नहीं है और अतः अपरिमेय है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि 43 = 64 और 83 = 512; विकल्प D गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या दशमलव रूप में न तो समाप्त होती है न आवर्ती रूप से सरल होती है। परीक्षा-सूत्र: किसी भी n का kवां मूल जाँचने के लिए उसके प्राइम फैक्टरों के घातों को देखें — सभी घात k के गुणज हों तो ही पूर्ण k-वाँ घन होगा। / Prime factorization gives 16 = 24. A number is a perfect cube only if every prime exponent is a multiple of 3. Since 4 is not divisible by 3, \(\sqrt[3]{16}\) is not a perfect cube and therefore is irrational. Options B and C are incorrect because 43 = 64 and 83 = 512, not 16. Option D is wrong because an irrational number cannot be expressed as a terminating decimal. Exam tip: to test whether \(\sqrt[k]{N}\) is rational, factor N and check if every prime exponent is divisible by k.
\(\sqrt[3]{64}=4\) है क्योंकि 64 एक पूर्ण घन (\(4^3\)) है। 4 एक पूर्णांक है और सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (इन्हें भाज्य/हर के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे \(4=4/1\))। विकल्प (B) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्याएँ अनिश्चित और अनावर्ती दशमलव होती हैं; परन्तु 4 एक समाप्त दशमलव (या घूर्णन में नहीं) है। विकल्प (D) भी गलत है: "अनावर्ती दशमलव" से अभिप्राय अपरिमेय है, पर 4 एक समाप्त दशमलव है। विकल्प (C) गलत है क्योंकि अवास्तविक संख्याएँ कल्पनिक घटक रखती हैं और यहाँ मान वास्तविक है। परीक्षण युक्ति: घनमूल निकालते समय देखें कि क्या संख्या किसी पूर्ण घन (1, 8, 27, 64, ...) में से है—यदि हाँ, तो परिणामी मान पूर्णांक और परिमेय होगा। / \(\sqrt[3]{64}=4\) because 64 is a perfect cube (\(4^3\)). The result 4 is an integer, and every integer is rational (can be written as a fraction, e.g. \(4=4/1\)). Option B is incorrect since irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals, which does not apply to 4. Option D is incorrect because a non-repeating decimal implies irrationality, whereas 4 is a terminating decimal. Option C is wrong because non-real numbers involve imaginary parts; \(\sqrt[3]{64}\) is a real number. Exam tip: when evaluating nth roots, first check whether the radicand is a perfect power—if it is, the root is an integer (hence rational).
