Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a-1=\sqrt{6}\)। क्योंकि 6 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, \(\sqrt{6}\) को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; अतः यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि परिमेय संख्या वह होती है जिसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके — यहाँ संभव नहीं। विकल्प (C) और (D) इसलिए गलत हैं क्योंकि \(\sqrt{6}\) न तो कोई पूर्णांक है न ही शून्य। परीक्षा सुझाव: पहले अभिव्यक्ति को सरल करें और जाँचें कि वर्गमूल किसी पूर्ण वर्ग का है या नहीं; यदि नहीं है तो वह अपरिमेय होगा। / \(a-1=\sqrt{6}\). Since 6 is not a perfect square, \(\sqrt{6}\) cannot be written as a ratio \(p/q\) of integers, so it is irrational. Option B (rational) is incorrect because \(\sqrt{6}\) is not expressible as a fraction of integers; options C (integer) and D (zero) are incorrect because \(\sqrt{6}\) is neither an integer nor zero. Exam tip: simplify the expression first and check whether the square root is of a perfect square — if not, it is irrational.
सही उत्तर \(\sqrt{2}\) है। कारण: \(\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)। विकल्प C \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) वास्तव में \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) के बराबर है, जो उल्टा (reciprocal) होने के कारण गलत है। विकल्प B और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा टिप: जड़ों को सरल करने के लिए सदस्य और हर दोनों को \(\sqrt{2}\) से गुणा करके हर से जड़ हटाएँ — अक्सर सीधे गुणन/घटक-दमन से जल्दी उत्तर मिल जाता है। / The correct answer is \(\sqrt{2}\). Reason: \(\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). Option C, \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), equals \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) and is the reciprocal form, so it is incorrect; options B (1) and D (2) are also not equal to the given expression. Exam tip: multiply numerator and denominator by the square root in the denominator to remove the root and simplify quickly.
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। गैर शून्य परिमेय से भाग देने पर अपरिमेयता रहती है। / \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) is irrational and lies between (0) and (1). Dividing by a non zero rational keeps irrationality.
\(\sqrt{13}\) सही उत्तर है क्योंकि \(9<13<16\) होने से \(3<\sqrt{13}<4\)। साथ ही 13 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्प गलत क्योंकि: \(\dfrac{22}{7}\) और \(\dfrac{7}{2}\) दोनों स्पष्ट रूप से पूर्णांक का अनुपात हैं (यानी परिमेय), और \(\sqrt{16}=4\) है जो 3 और 4 के बीच नहीं आता। परीक्षा टिप: किसी \(\sqrt{n}\) के लिए जाँचें कि क्या \(n\) दो पूर्ण वर्गों के बीच है (उदाहरण: \(9\) और \(16\)) और यह कि \(n\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / \(\sqrt{13}\) is correct because \(9<13<16\) implies \(3<\sqrt{13}<4\), and 13 is not a perfect square so \(\sqrt{13}\) is irrational. The other choices fail: \(22/7\) and \(7/2\) are ratios of integers (hence rational), and \(\sqrt{16}=4\) is not between 3 and 4. Exam tip: For \(\sqrt{n}\) check whether n lies between two consecutive perfect squares to locate it, and test rationality by seeing if the number can be written as a fraction of integers or is a square root of a non-square integer.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) है जो अपरिमेय है। हर में जड़ हो तो पहले सरल करें। / \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), which is irrational. When a root is in the denominator simplify first.
वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं होती वह अपरिमेय कहलाती है। इसे दशमलव से भी पहचाना जा सकता है। / A real number that is not rational is called irrational. It can also be identified through its decimal form.
\(\frac{7}{5}=1.4\) है और इसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय है। दूसरी विकल्पों में \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) और \(\pi/2\) अपरिमेय संख्याएँ हैं (ये अनंत, गैर‑आवर्ती दशमलव प्रदर्शित करती हैं और इन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता)। परीक्षा सुझाव: किसी संख्या को परिमेय साबित करने के लिए उसे दो पूर्णांकों का अनुपात दिखाएँ; घनमूल यदि परिपूर्ण वर्ग नहीं है तो वह आमतौर पर अपरिमेय होता है। / \(\frac{7}{5}=1.4\) lies between 1 and 2 and is expressible as a ratio of integers, so it is rational. The other choices \(\sqrt{2},\,\sqrt{3}\) and \(\pi/2\) are irrational (they have non‑terminating, non‑repeating decimal expansions and cannot be written as a ratio of integers). Exam tip: to check rationality, try to express the number as a fraction of two integers; non‑perfect square roots and multiples of \(\pi\) are typically irrational.
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। जड़ वाला भाग इसे अपरिमेय बनाता है। / \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) is irrational and its value lies between (0) and (1). The root part makes it irrational.
कारण: \((\sqrt{2})^2=2\) और \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है (क्लासिक प्रमाण से ज्ञात)। विकल्प B, अर्थात् \(-\sqrt{2}\), भी\;\(x^2=2\)\;को संतुष्ट करता है पर वह ऋणात्मक है — प्रश्न में धनात्मक संख्या माँगी गई है। विकल्प C का वर्ग \(2^2=4\) होता है और विकल्प D का वर्ग \((3/2)^2=9/4\) होता है; इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल कहते समय सामान्यतः “प्रिंसिपल (धनात्मक) वर्गमूल” समझें — यही \(\sqrt{2}\) है। / Reason: \((\sqrt{2})^2=2\) and \(\sqrt{2}\) is irrational (standard proof). Option B, \(-\sqrt{2}\), also satisfies \(x^2=2\) but is negative — the question asks for a positive number. Option C gives \(2^2=4\) and option D gives \((3/2)^2=9/4\); hence both are incorrect. Exam tip: by convention \(\sqrt{\cdot}\) denotes the principal (positive) square root, so choose \(\sqrt{2}\).
\(\sqrt{11}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव असांत अनावर्ती होगा। परिमेय संख्याएँ सांत या असांत आवर्ती होती हैं। / \(\sqrt{11}\) is irrational, so its decimal is non-terminating non-recurring. Rational numbers are either terminating or non-terminating recurring.
C. असांत अनावर्ती अपरिमेय/Non-terminating non-recurring irrational
Step 1
Concept
यह दशमलव समाप्त नहीं होता। / This decimal does not terminate.
Step 2
Why this answer is correct
अंकों में कोई स्थिर आवर्ती खंड नहीं दिखता, क्योंकि प्राकृतिक संख्याएँ क्रम से जुड़ती जा रही हैं। इसलिए इसे असांत अनावर्ती माना जाएगा। / No fixed repeating block appears because natural numbers are being joined in order. So it is treated as non-terminating non-recurring.
Step 3
Exam Tip
लंबी संख्या-श्रृंखला में आवर्ती खंड की जाँच जरूरी है। / In a long digit pattern, check for a fixed repeating block.
असमाप्त अनावर्ती दशमलव में अंत नहीं होता और निश्चित दोहराव भी नहीं होता। / A non-terminating non-recurring decimal neither ends nor has a fixed repeating pattern.
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में नहीं लिखा जा सकता। / Such a number cannot be written as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती और अनावर्ती में अंतर परीक्षा में ध्यान से पहचानें। / In exams, carefully distinguish recurring from non-recurring decimals.
