A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In \(p^2=2q^2\), the key factor is (2).
Step 2
Why this answer is correct
Finding both (p) and (q) divisible by (2) identifies the proof of \(\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
This gives contradiction to the coprime condition. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में मुख्य गुणनखंड (2) है। चरण 2: (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलना \(\sqrt{2}\) के प्रमाण की पहचान है। चरण 3: इससे सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास आता है।
A. यदि (a) विषम होता, तो \(a^2\) भी विषम होता/If (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is always odd.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(a^2\) is even, so (a) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Therefore (a) must be even. चरण 1: विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। चरण 2: यहां \(a^2\) सम मिला है, इसलिए (a) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (a) सम होना चाहिए।
A. क्योंकि अभी (p) और (q) दोनों सम दिखाकर विरोधाभास लिखना बाकी है/Because it still remains to show both (p) and (q) even and write contradiction
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) is only a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
From it, both (p) and (q) must be shown even.
Step 3
Exam Tip
The proof is not complete without writing the coprime contradiction. चरण 1: \(p^2=2q^2\) केवल मध्य चरण है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों सम दिखाने होते हैं। चरण 3: सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता।
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(q\neq 0\) must be written. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है।
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है/Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
Thus (p) must be even. चरण 1: यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। चरण 2: लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। चरण 3: इस तरह (p) सम होना तय है।
A. सरलतम रूप की मान्यता टूटती है/The lowest form assumption breaks
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks and gives a contradiction. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों सम मिलने पर (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है और विरोधाभास मिलता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास/Assume rational, square, find both even, contradiction
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
After squaring, both (p) and (q) are found even.
Step 3
Exam Tip
Both being even contradicts the coprime condition. चरण 1: पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: वर्ग करने के बाद (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। चरण 3: दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है।
An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Mentioning the type of (k) makes the proof clear. चरण 1: सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। चरण 3: (k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में/As a ratio of two integers
Step 1
Concept
A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Start the proof from the definition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। चरण 3: परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें।
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है/Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers have no common factor except (1). चरण 1: सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता।
If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 2: इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है।
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
In exams, write the opposite assumption clearly. चरण 1: विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। चरण 2: यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। चरण 3: परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें।
Finding a common factor contradicts the lowest-form condition. चरण 1: सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। चरण 2: दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। चरण 3: साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, समता से विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get contradiction through evenness
Step 1
Concept
First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use \(a^2=2b^2\) to get evenness results.
Step 3
Exam Tip
Finally, the coprime condition gives a contradiction. चरण 1: पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर वर्ग करके \(a^2=2b^2\) से समता के निष्कर्ष लेते हैं। चरण 3: अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है।
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
Step 1
Concept
The proof begins by assuming rationality.
Step 2
Why this answer is correct
So first we write \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
Conclusions about (p) and (q) being even come later. चरण 1: प्रमाण की शुरुआत परिमेय मानकर होती है। चरण 2: इसलिए पहले \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। चरण 3: बाद के चरणों में (p) और (q) के सम होने का निष्कर्ष आता है।
(2) is not a perfect square, so \(\sqrt{2}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
First identify perfect and non-perfect squares. चरण 1: (4), (9) और (25) पूर्ण वर्ग हैं। चरण 2: (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय सिद्ध किया जाता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग और अपूर्ण वर्ग की पहचान पहले करें।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
Assuming rationality gives a common factor in (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts the condition that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the original assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: परिमेय मानने से (p) और (q) में साझा गुणनखंड मिला। चरण 2: यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है।
After rationalising, simplify the answer completely. चरण 1: ऊपर और नीचे \(\sqrt{2}\) से गुणा करें। चरण 2: \(\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)। चरण 3: परिमेयकरण के बाद उत्तर को पूरी तरह सरल करें।
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(3\sqrt{2}+6\sqrt{2}+9\sqrt{2}=18\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Simplify all radicals completely first. चरण 1: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), और \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\)। चरण 2: योग \(3\sqrt{2}+6\sqrt{2}+9\sqrt{2}=18\sqrt{2}\)। चरण 3: कई वर्गमूलों को पहले पूरी तरह सरल करें।
Before adding, convert radicals into like form. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। चरण 2: \(x=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। चरण 3: जोड़ने से पहले वर्गमूलों को समान रूप में बदलें।
In approximation questions, directly use the given value. चरण 1: दिए गए मान को (3) से गुणा करें। चरण 2: \(3\sqrt{2}\approx3\times1.414=4.242\)। चरण 3: अनुमान में दिए गए मान का सीधा उपयोग करें।
\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(10\sqrt{2}-6\sqrt{2}=4\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
Before subtracting radicals, write both terms in simplified form. चरण 1: \(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\) और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। चरण 2: \(10\sqrt{2}-6\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)। चरण 3: वर्गमूल घटाने में पहले दोनों पदों को सरल रूप में लिखें।
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The sum is \(2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=14\sqrt{2}\).
Step 3
Exam Tip
With many radicals, simplify all of them first. चरण 1: \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। चरण 2: योग \(2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=14\sqrt{2}\)। चरण 3: कई वर्गमूल हों तो पहले सबको सरल रूप में लिखें।
Remembering approximate values of common roots helps in comparison. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का मान लगभग (1.414) है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में (1.41) सबसे निकट है। चरण 3: सामान्य वर्गमूलों के लगभग मान याद रखने से तुलना आसान होती है।
Adding a rational number does not remove the irrational part.
Step 3
Exam Tip
The sum of a rational and an irrational number is generally irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (5) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय भाग समाप्त नहीं होता। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय का योग सामान्यतः अपरिमेय होता है।
The decimal value of \(\sqrt{2}\) is about (1.414).
Step 2
Why this answer is correct
Among the given options, (1.41) is the closest.
Step 3
Exam Tip
Remembering approximate values of common square roots helps in estimation. चरण 1: \(\sqrt{2}\) का दशमलव मान लगभग (1.414) होता है। चरण 2: दिए गए विकल्पों में (1.41) सबसे निकट है। चरण 3: कुछ सामान्य वर्गमूलों के लगभग मान याद रखने से अनुमान आसान होता है।
Adding a rational number does not make it rational.
Step 3
Exam Tip
Adding a simple rational number to an irrational number generally keeps it irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और (3) परिमेय है। चरण 2: परिमेय संख्या जोड़ने से अपरिमेय संख्या परिमेय नहीं बन जाती। चरण 3: अपरिमेय में कोई साधारण परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम आम तौर पर अपरिमेय रहता है।
