\(\frac{23}{2^2\times5^3}\) के दशमलव प्रसार के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about the decimal expansion of \(\frac{23}{2^2\times5^3}\)?
#decimal-places
#prime-powers
#coprime
A यह (2) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (2) places
B यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (3) places
C यह (5) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (5) places
D यह समाप्त नहीं होगा / It will not terminate
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा / It will terminate after (3) places
Step 1
Concept
हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। / The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (2) और (5) की घात (3) है, इसलिए बड़ी घात (3) है। / The powers are (2) for (2) and (3) for (5), so the larger exponent is (3).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: अंश (23) हर से सहअभाज्य है, इसलिए स्थानों की गिनती सीधे हर से करें। / Exam tip: Since numerator (23) is coprime with the denominator, count places directly from the denominator.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after getting \(3\mid p\) and then \(3\mid q\), which statement would be false?
#real-numbers
#root3
#false-statement
#coprime
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are both divisible by (3)
B (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
C (3) साझा गुणनखंड है / (3) is a common factor
D \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती / \(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। / \(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। / With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime becomes false.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=2m) और (q=2n) एक साथ मिलना क्यों असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, why is it impossible to get both (p=2m) and (q=2n)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#multiple-form
A क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (2) अभाज्य नहीं रहेगा / Because then (2) will not remain prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। / (p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। / (q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं। / Together, they give a common factor against coprimality.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय संख्या की कौन-सी विशेषता उपयोग होती है?
Which property of rational numbers is used in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#rational-number
#coprime
#proof-base
A हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
B हर परिमेय संख्या पूर्णांक होती है / Every rational number is an integer
C हर परिमेय संख्या का हर शून्य होता है / Every rational number has zero denominator
D हर परिमेय संख्या अभाज्य होती है / Every rational number is prime
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Correct Answer
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है / Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है। / This property is used to create the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य होना किस प्रारंभिक शर्त को तोड़ता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), both (a) and (b) being divisible by (5) breaks which initial condition?
#real-numbers
#root5
#coprime
#initial-condition
A दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
B दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
C दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
D \(b\neq0\) है / \(b\neq0\)
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Correct Answer
B. दोनों सहअभाज्य हैं / Both are coprime
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। / This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है। / (5) being common to both breaks this condition.
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यदि \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होते हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को किससे घटाया जा सकता है?
If both (p) and (q) are proved even in the proof for \(\sqrt{2}\), by what can \(\frac{p}{q}\) be reduced?
#real-numbers
#root2
#fraction-reduction
#coprime
A (3) से / by (3)
B (2) से / by (2)
C (5) से / by (5)
D (q) से ही / by (q) itself
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (2) से / by (2)
Step 1
Concept
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Even means divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। / If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। / This contradicts the lowest-form assumption.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। इसका (\gcd(a,b)) पर क्या प्रभाव है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, both (a) and (b) turn out divisible by (5). What is its effect on (\gcd(a,b))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(a,b)=1) ही रहेगा / (\gcd(a,b)=1) will still remain
B (\gcd(a,b)=0) होगा / (\gcd(a,b)=0)
C (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
D (\gcd(a,b)) अवश्य (2) होगा / (\gcd(a,b)) must be (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा / (\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। / Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है। / This breaks the coprimality condition.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) की सहअभाज्यता से सीधे टकराता है?
Which statement directly conflicts with the coprimality of (p) and (q) in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#common-factor
A (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
B \(q\neq0\) है / \(q\neq0\)
C \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
D \(\sqrt{2}>1\) है / \(\sqrt{2}>1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) से (2) साझा गुणनखंड बनता है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) make (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) लिया गया है, तो (a) और (b) के बारे में कौन-सी शर्त प्रमाण के लिए अनिवार्य है?
If \(\sqrt{5}\) is assumed rational as \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), which condition about (a) and (b) is essential for the proof?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#coprime
A (a=b) होना चाहिए / (a=b) must hold
B (b=0) होना चाहिए / (b=0) must hold
C (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
D (a) और (b) दोनों (5) होने चाहिए / Both (a) and (b) must be (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए / (a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। / In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है। / This condition later creates the contradiction with a common factor.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है, तो प्रमाण में (p) और (q) दोनों पर (3) की विभाज्यता दिखाने का मुख्य उद्देश्य क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\), what is the main purpose of showing divisibility by (3) for both (p) and (q) in the proof?
#real-numbers
#root3
#coprime
#contradiction
#expert
A सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
B यह सिद्ध करना कि (p=q) है / To prove that (p=q)
C यह सिद्ध करना कि \(\sqrt{3}\) पूर्णांक है / To prove that \(\sqrt{3}\) is an integer
D यह दिखाना कि (q=0) है / To show that (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना / To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य होने पर कौन-सा कथन गलत होगा?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) are divisible by (5), which statement would be false?
#real-numbers
#root5
#coprime
#false-statement
A (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
B (x) (5) से विभाज्य है / (x) is divisible by (5)
C (y) (5) से विभाज्य है / (y) is divisible by (5)
D (5) साझा गुणनखंड है / (5) is a common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं / (x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। / Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। / Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है। / Therefore the statement that they are coprime is proved false.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में किस स्थान पर सहअभाज्यता का उपयोग निर्णायक रूप से होता है?
At which point is coprimality used decisively in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#decisive-step
A जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं / When both (p) and (q) are proved even
B जब \(\sqrt{2}\) को वर्ग किया जाता है / When \(\sqrt{2}\) is squared
C जब (2) को धनात्मक माना जाता है / When (2) is taken positive
D जब \(q\neq0\) लिखा जाता है / When \(q\neq0\) is written
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं / When both (p) and (q) are proved even
Step 1
Concept
सहअभाज्यता का अर्थ है साझा गुणनखंड न होना। / Coprimality means there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
(p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है। / When both (p) and (q) are proved even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसी समय सहअभाज्यता निर्णायक विरोधाभास देती है। / At this point, coprimality gives the decisive contradiction.
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यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, पर प्रमाण से (a=3m) और (b=3n) मिलता है, तो क्या निष्कर्ष होगा?
If (a) and (b) are coprime but the proof gives (a=3m) and (b=3n), what conclusion follows?
#real-numbers
#coprime
#root3
#contradiction
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B (a) और (b) सचमुच सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are truly coprime
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (m=n=0) है / (m=n=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। / (a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। / Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है। / This conflicts with the starting condition of coprimality.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम होने पर किस संख्या से भिन्न को और घटाया जा सकता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, by which number can the fraction be further reduced?
#real-numbers
#root2
#fraction-reduction
#coprime
A (2)
B (3)
C (5)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। / Being even means being divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। / If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
यही सरलतम रूप के विरुद्ध है। / This contradicts lowest form.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) के सहअभाज्य होने से सीधा टकराव है?
Which option directly conflicts with (p) and (q) being coprime in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#coprime
#conflict
A \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
B (p) और (q) पूर्णांक हैं / (p) and (q) are integers
C \(q\neq0\)
D \(\sqrt{2}>0\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\) / \(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है। / This conflict is the decisive point of the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, तो (\gcd(x,y)) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof for \(\sqrt{5}\), if both (x) and (y) turn out divisible by (5), what can be said about (\gcd(x,y))?
#real-numbers
#root5
#gcd
#coprime
A (\gcd(x,y)\ge5)
B (\gcd(x,y)=1) अवश्य / (\gcd(x,y)=1) necessarily
C (\gcd(x,y)=0)
D (\gcd(x,y)=2) अवश्य / (\gcd(x,y)=2) necessarily
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (\gcd(x,y)\ge5)
Step 1
Concept
(x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। / Both (x) and (y) are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। / Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। / This goes against the condition of being coprime.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण का सही अंतिम विरोधाभास लिखा है?
Which option states the correct final contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#final-contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों पूर्णांक हैं / (a) and (b) are both integers
C (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
D \(\sqrt{3}\) धनात्मक है / \(\sqrt{3}\) is positive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। / Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(5\mid p\) और \(5\mid q\) मिलना किस बात का संकेत है?
If (p) and (q) are coprime, what does obtaining \(5\mid p\) and \(5\mid q\) in the proof for \(\sqrt{5}\) indicate?
#real-numbers
#root5
#coprime
#contradiction
A प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B भिन्न सरलतम रूप में है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{5}\) is an integer
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। / \(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Therefore the rational assumption is proved false.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) में (a) और (b) को सहअभाज्य न लेने से प्रमाण में क्या कमी आ जाएगी?
While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\), what weakness occurs if (a) and (b) in \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) are not taken coprime?
#real-numbers
#root3
#coprime
#proof-logic
A साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
B वर्ग करना संभव नहीं होगा / Squaring will not be possible
C (3) अभाज्य नहीं रहेगा / (3) will no longer be prime
D \(\sqrt{3}\) पूर्णांक बन जाएगी / \(\sqrt{3}\) will become an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा / Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। / Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है। / Therefore lowest form must be stated at the beginning.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=5m) और (q=5n) एक साथ क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are coprime, why can (p=5m) and (q=5n) not hold together?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
A क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (5) सम हो जाएगा / Because then (5) will become even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। / (p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। / (q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं। / Together, these break coprimality.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य क्यों असंभव है?
Why is it impossible for both (p) and (q) to be divisible by (5) in the irrationality proof of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#coprime
#impossibility
A क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है। / So this situation goes against the starting condition.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं और फिर \(2\mid p\), \(2\mid q\) सिद्ध होता है, तो यह किस प्रकार का परिणाम है?
If (p) and (q) are coprime and then \(2\mid p\), \(2\mid q\) are proved, what type of result is this?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#coprime
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिणाम / Ordinary result
C परिभाषा मात्र / Definition only
D दशमलव विस्तार / Decimal expansion
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है। / Therefore this is a contradictory result.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया। यहाँ (a) और (b) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
When \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), why are (a) and (b) taken coprime?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#coprime
A क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
B क्योंकि (a) और (b) हमेशा अभाज्य होते हैं / Because (a) and (b) are always prime
C क्योंकि (a=b) होना जरूरी है / Because (a=b) is necessary
D क्योंकि (b=0) होना चाहिए / Because (b=0) is required
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Later, getting a common factor contradicts this condition.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में गलत निष्कर्ष है?
Which option is a wrong conclusion in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#coprime
#hard
A \(5\mid a^2\) से \(5\mid a\) / From \(5\mid a^2\), \(5\mid a\)
B (a=5k) रखने पर \(5\mid b^2\) / After putting (a=5k), \(5\mid b^2\)
C \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) / From \(5\mid b^2\), \(5\mid b\)
D \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
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Correct Answer
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं / From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। / \(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। / Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है। / So coprimality is not proved; a contradiction is obtained.
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यदि (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If both (p) and (q) are divisible by (3), what can be said about \(\frac{p}{q}\)?
#real-numbers
#coprime
#root3
#lowest-form
#hard
A यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह हमेशा शून्य है / It is always zero
C यह हमेशा पूर्णांक है / It is always an integer
D यह अवश्य ऋणात्मक है / It must be negative
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Correct Answer
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। / So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\).
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यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) में (p,q) सहअभाज्य हैं, तो (p) और (q) दोनों सम निकलना किस बात का संकेत है?
If (p,q) are coprime in \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), what does it indicate when both (p) and (q) turn out even?
#real-numbers
#root2
#coprime
#evenness
#hard
A मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
B भिन्न सबसे सरल है / The fraction is in lowest form
C \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
D (p) और (q) में कोई साझा गुणनखंड नहीं है / (p) and (q) have no common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मान्यता में विरोधाभास है / There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Hence the rational assumption is proved false.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो निम्न में से कौन-सा असंभव है?
If (p) and (q) are coprime, which of the following is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
#hard
A (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
B (p) विषम और (q) सम हो / (p) is odd and (q) is even
C (p) और (q) अलग-अलग हों / (p) and (q) are different
D (p) धनात्मक और (q) धनात्मक हों / (p) and (q) are positive
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों / Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\).
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