B. यह (3) स्थानों पर समाप्त होगा/It will terminate after (3) places
Step 1
Concept
The denominator has only (2) and (5), so the decimal terminates.
Step 2
Why this answer is correct
The powers are (2) for (2) and (3) for (5), so the larger exponent is (3).
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Since numerator (23) is coprime with the denominator, count places directly from the denominator. चरण 1: हर में केवल (2) और (5) हैं, इसलिए दशमलव समाप्त होगा। चरण 2: (2) की घात (2) और (5) की घात (3) है, इसलिए बड़ी घात (3) है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: अंश (23) हर से सहअभाज्य है, इसलिए स्थानों की गिनती सीधे हर से करें।
B. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime
Step 1
Concept
\(3\mid p\) and \(3\mid q\) make (3) a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
With a common factor, the two numbers cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime becomes false. चरण 1: \(3\mid p\) और \(3\mid q\) से (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: साझा गुणनखंड होने पर दोनों संख्याएँ सहअभाज्य नहीं रह सकतीं। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. क्योंकि तब (2) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (2) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=2m) means \(2\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=2n) means \(2\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, they give a common factor against coprimality. चरण 1: (p=2m) का अर्थ \(2\mid p\) है। चरण 2: (q=2n) का अर्थ \(2\mid q\) है। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता के विरुद्ध साझा गुणनखंड देती हैं।
A. हर परिमेय संख्या को दो सहअभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जा सकता है/Every rational number can be written as a ratio of two coprime integers
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, (p) and (q) are coprime.
Step 3
Exam Tip
This property is used to create the contradiction. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: उसे सरलतम रूप में लेने पर (p) और (q) सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: यही गुण विरोधाभास बनाने में काम आता है।
At the beginning, \(\frac{a}{b}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
This means (a) and (b) are coprime.
Step 3
Exam Tip
(5) being common to both breaks this condition. चरण 1: शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: इसका अर्थ है कि (a) और (b) सहअभाज्य हैं। चरण 3: दोनों में (5) साझा होना इसी शर्त को तोड़ता है।
If both numerator and denominator are divisible by (2), the fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि अंश और हर दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो भिन्न (2) से घट सकती है। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है।
C. (\gcd(a,b)) कम से कम (5) होगा/(\gcd(a,b)) will be at least (5)
Step 1
Concept
Both numbers are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore their greatest common divisor cannot remain (1); it will be at least (5).
Step 3
Exam Tip
This breaks the coprimality condition. चरण 1: दोनों संख्याएँ (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता, वह कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्यता की शर्त को तोड़ता है।
C. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) make (2) a common factor.
Step 3
Exam Tip
This is the final contradiction. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) से (2) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यही अंतिम विरोधाभास है।
C. (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) होने चाहिए/(a,b) must be coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In the proof, the fraction is taken in lowest form, so (a,b) are coprime and \(b\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This condition later creates the contradiction with a common factor. चरण 1: परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। चरण 2: प्रमाण में भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है, इसलिए (a,b) सहअभाज्य और \(b\neq0\) होते हैं। चरण 3: यही शर्त बाद में साझा गुणनखंड से विरोधाभास बनाती है।
A. सरलतम भिन्न की सहअभाज्यता से विरोधाभास दिखाना/To show a contradiction with coprimality of the lowest-form fraction
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}\) rational, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof gives \(3\mid p\) and \(3\mid q\), so (3) is a common factor of both.
Step 3
Exam Tip
A lowest-form fraction cannot have a common factor, so \(\sqrt{3}\) is proved irrational. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण से \(3\mid p\) और \(3\mid q\) मिलता है, यानी दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 3: सरलतम भिन्न में साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
A. (x) और (y) सहअभाज्य हैं/(x) and (y) are coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (5) shows that (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Coprime numbers cannot have such a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the statement that they are coprime is proved false. चरण 1: दोनों का (5) से विभाज्य होना बताता है कि (5) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य होने का कथन गलत सिद्ध होता है।
A. जब (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाते हैं/When both (p) and (q) are proved even
Step 1
Concept
Coprimality means there is no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
When both (p) and (q) are proved even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
At this point, coprimality gives the decisive contradiction. चरण 1: सहअभाज्यता का अर्थ है साझा गुणनखंड न होना। चरण 2: (p) और (q) दोनों सम सिद्ध होने पर (2) साझा गुणनखंड मिल जाता है। चरण 3: इसी समय सहअभाज्यता निर्णायक विरोधाभास देती है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
(a=3m) and (b=3n) show that both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Thus (3) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This conflicts with the starting condition of coprimality. चरण 1: (a=3m) और (b=3n) से दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 2: इससे (3) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शुरुआत वाली शर्त से टकराता है।
If both (p) and (q) are even, \(\frac{p}{q}\) can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: सम होने का अर्थ (2) से विभाज्य होना है। चरण 2: यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो \(\frac{p}{q}\) को (2) से घटाया जा सकता है। चरण 3: यही सरलतम रूप के विरुद्ध है।
A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)
Step 1
Concept
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) mean both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
This conflict is the decisive point of the proof. चरण 1: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) का अर्थ है दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। चरण 3: यही टकराव प्रमाण का निर्णायक बिंदु है।
Therefore their greatest common divisor is at least (5).
Step 3
Exam Tip
This goes against the condition of being coprime. चरण 1: (x) और (y) दोनों (5) से विभाज्य हैं। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम से कम (5) होगा। चरण 3: यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime means there is no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (3) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होगा। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(5\mid p\) and \(5\mid q\) make (5) a common factor.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: \(5\mid p\) और \(5\mid q\) से (5) साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction
Step 1
Concept
The contradiction depends on (a) and (b) being coprime in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
Without this condition, finding (3) common to both will not be a real contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form must be stated at the beginning. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर आधारित है कि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि यह शर्त न हो, तो दोनों में (3) साझा मिलना नई बात नहीं रहेगी। चरण 3: इसलिए प्रमाण की शुरुआत में सरलतम रूप लिखना आवश्यक है।
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, these break coprimality. चरण 1: (p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। चरण 2: (q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं।
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे/Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against the starting condition. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है।
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is a contradictory result. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। चरण 3: इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों/Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprimality and a common factor cannot occur together. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। चरण 3: सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते।
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है/Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, getting a common factor contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। चरण 2: उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं/From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
So coprimality is not proved; a contradiction is obtained. चरण 1: \(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। चरण 2: बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है।
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। चरण 2: दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
