यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में मानकर \(p^2=2q^2\) मिलता है, तो (p) के सम होने का सबसे सटीक कारण क्या है?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form and \(p^2=2q^2\) is obtained, what is the most precise reason that (p) is even?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#prime-divisibility
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? Hint Small clue
A \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
B (q) हमेशा सम होता है / (q) is always even
C हर वर्ग संख्या सम होती है / Every square number is even
D (p) और (q) बराबर हैं / (p) and (q) are equal
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। / Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए। / In such proofs, state the prime-factor rule clearly.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया। यहाँ (a) और (b) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
When \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), why are (a) and (b) taken coprime?
#real-numbers
#irrationality
#root3
#coprime
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? Hint Small clue
A क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
B क्योंकि (a) और (b) हमेशा अभाज्य होते हैं / Because (a) and (b) are always prime
C क्योंकि (a=b) होना जरूरी है / Because (a=b) is necessary
D क्योंकि (b=0) होना चाहिए / Because (b=0) is required
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Correct Answer
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है / Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Later, getting a common factor contradicts this condition.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) और (x,y) सहअभाज्य हैं, तो \(x^2=5y^2\) से कौन-सा निष्कर्ष तुरंत निकलता है?
If \(\sqrt{5}=\frac{x}{y}\) and (x,y) are coprime, which conclusion follows immediately from \(x^2=5y^2\)?
#real-numbers
#irrationality
#root5
#proof-step
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? Hint Small clue
A \(5\mid x\)
B \(5\mid y\) तुरंत / \(5\mid y\) immediately
C (x=y)
D (y=5)
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Correct Answer
A. \(5\mid x\)
Step 1
Concept
\(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। / \(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ। / Conclude about (x) first, then move to (y).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p=2r) रखने के बाद कौन-सा समीकरण सही बनता है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after putting (p=2r), which equation is correct?
#real-numbers
#root2
#substitution
#algebra
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A \(q^2=2r^2\)
B \(q^2=r^2\)
C \(p^2=q^2\)
D \(q=2r^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=2r^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। / Put (p=2r) in \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। / Then \(4r^2=2q^2\), so \(q^2=2r^2\).
Step 3
Exam Tip
इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है। / This step completes the proof that (q) is even.
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किस कथन से \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में वास्तविक विरोधाभास बनता है?
Which statement creates the actual contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#contradiction
#coprime
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A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
B (a) और (b) दोनों धनात्मक हैं / (a) and (b) are both positive
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (3) है / The square of \(\sqrt{3}\) is (3)
D (3) एक विषम संख्या है / (3) is an odd number
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। / In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। / The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते। / Coprimality and a common factor cannot occur together.
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यदि \(5\mid x^2\) है, तो \(5\mid x\) क्यों माना जाता है?
If \(5\mid x^2\), why is \(5\mid x\) concluded?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#divisibility
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A क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि हर संख्या (5) से विभाज्य है / Because every number is divisible by (5)
D क्योंकि \(x^2=x\) होता है / Because \(x^2=x\)
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है / Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। / If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। / Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है। / This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (p) और (q) दोनों सम सिद्ध हो जाएँ, तो कौन-सा अंतिम निष्कर्ष उचित है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are proved even, which final conclusion is appropriate?
#real-numbers
#root2
#final-conclusion
#contradiction
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+10 Time+ 10 sec extra
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A आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
B \(\sqrt{2}\) पूर्णांक है / \(\sqrt{2}\) is an integer
C (p) और (q) सहअभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime
D \(\frac{p}{q}\) शून्य है / \(\frac{p}{q}\) is zero
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Correct Answer
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है / The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। / But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने पर आगे कौन-सा सही निष्कर्ष मिलेगा?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after putting (a=3k), which correct conclusion follows?
#real-numbers
#root3
#substitution
#common-factor
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A \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
B \(b^2=k^2\), इसलिए (b=k) / \(b^2=k^2\), so (b=k)
C (b=3a), इसलिए (b) (3) से विभाज्य है / (b=3a), so (b) is divisible by (3)
D (a=b), इसलिए दोनों बराबर हैं / (a=b), so both are equal
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Correct Answer
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\) / \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। / From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। / Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है। / This shows (3) in both numerator and denominator.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (x=5m) रखने के बाद (y) पर निष्कर्ष निकालने के लिए किस बात की जरूरत होती है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, after putting (x=5m), what is needed to conclude about (y)?
#real-numbers
#root5
#prime-rule
#proof
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
B (y=0) मान लेना / Assuming (y=0)
C (x=y) लिखना / Writing (x=y)
D (5) को सम मानना / Treating (5) as even
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Correct Answer
A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
Step 1
Concept
(x=5m) रखने पर \(y^2=5m^2\) मिलता है। / Putting (x=5m) gives \(y^2=5m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(5\mid y^2\) और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) मिलता है। / Hence \(5\mid y^2\), and by the prime-factor rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम साझा गुणनखंड देता है। / This gives the final common factor.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत तर्क दिखाता है?
Which option shows an incorrect argument in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#parity
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A \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
B \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / \(p^2=2q^2\) implies \(p^2\) is even
C (p) सम है तो (p=2r) / If (p) is even, then (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) से (q) सम है / \(q^2=2r^2\) implies (q) is even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है / \(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। / If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। / Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें। / In error-based questions, check small rules carefully.
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\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिला। इससे (p) के बारे में सही निष्कर्ष कौन-सा है?
After assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring, \(p^2=3q^2\) is obtained. What is the correct conclusion about (p)?
#real-numbers
#root3
#divisibility
#proof-step
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A (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
B (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
C (p) शून्य है / (p) is zero
D (p) (q) के बराबर है / (p) equals (q)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। / Since (3) is prime, \(3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है। / Here divisibility by (3), not evenness, is the main point.
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यदि \(\sqrt{5}\) परिमेय है, तो उसे सही रूप में कैसे लिखा जाना चाहिए?
If \(\sqrt{5}\) is rational, how should it be correctly written?
#real-numbers
#root5
#rational-form
#definition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं / \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
B \(\sqrt{5}=\frac{a}{0}\)
C \(\sqrt{5}=a+b\)
D \(\sqrt{5}=5a\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं / \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। / A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। / The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए। / Write this complete form at the start of the proof.
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कौन-सा सामान्य कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों पर लागू होता है?
Which general statement applies to the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#general-proof
#prime-roots
#irrationality
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? Hint Small clue
A अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
B हर प्रमाण में केवल (2) साझा गुणनखंड होता है / In every proof only (2) is the common factor
C हर प्रमाण में दशमलव विस्तार देखा जाता है / In every proof the decimal expansion is checked
D हर प्रमाण में वर्गमूल पूर्णांक सिद्ध होता है / In every proof the square root is proved an integer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है / For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
(2,3,5) अभाज्य हैं। / (2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) मानने पर अंत में \(r\mid p\) और \(r\mid q\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) finally gives \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही साझा ढाँचा तीनों प्रमाणों को जोड़ता है। / This common structure connects all three proofs.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेने के बाद (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। यह किस बात को गलत ठहराता है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form, both (p) and (q) turn out even. What does this disprove?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#contradiction
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? Hint Small clue
A \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
B \(\sqrt{2}\) का धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (2) का अभाज्य होना / (2) being prime
D \(q\neq0\) होना / \(q\neq0\)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना / The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / So the lowest-form condition fails.
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यदि \(p^2=5q^2\) और (p=5t), तो (q) के बारे में अंतिम निष्कर्ष कौन-सा सही है?
If \(p^2=5q^2\) and (p=5t), which final conclusion about (q) is correct?
#real-numbers
#root5
#substitution
#final-step
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? Hint Small clue
A \(5\mid q\)
B (q=1)
C (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
D (q) अवश्य अभाज्य है / (q) must be prime
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(5\mid q\)
Step 1
Concept
(p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। / Putting (p=5t) gives \(25t^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। / Hence \(q^2=5t^2\), so \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है। / This makes (5) common to both (p) and (q).
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त तर्क का हिस्सा नहीं है?
Which statement is not part of a sufficient argument for proving \(\sqrt{2}\) irrational?
#real-numbers
#root2
#decimal-error
#proof
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A \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
B \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=2q^2\) मिलता है / We get \(p^2=2q^2\)
D (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
Step 1
Concept
दशमलव का छोटा अनुमान अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता। / A short decimal approximation does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
ठोस प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / A solid proof assumes rationality and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान की जगह तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write logical proof instead of approximation.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन-सी बात (3) के अभाज्य होने पर निर्भर करती है?
Which point in the proof of \(\sqrt{3}\) depends on (3) being prime?
#real-numbers
#root3
#prime-property
#proof-detail
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A \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
B \(\sqrt{3}\) को वर्ग करना / Squaring \(\sqrt{3}\)
C \(q\neq0\) लिखना / Writing \(q\neq0\)
D भिन्न को \(\frac{p}{q}\) लिखना / Writing the fraction as \(\frac{p}{q}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना / Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। / \(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। / This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें। / Mention the word prime in the proof.
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यदि (x) और (y) सहअभाज्य हैं, तो कौन-सी स्थिति असंभव है?
If (x) and (y) are coprime, which situation is impossible?
#real-numbers
#coprime
#root3
#common-factor
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A (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
B (x) विषम और (y) सम हो / (x) is odd and (y) is even
C (x) और (y) अलग-अलग हों / (x) and (y) are different
D (x) धनात्मक और (y) ऋणात्मक हो / (x) is positive and (y) is negative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों / Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। / If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है। / This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने के बाद कौन-सा क्रम सबसे सही है?
After assuming \(\sqrt{5}\) rational, which sequence is most correct?
#real-numbers
#root5
#proof-order
#sequence
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A \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
B \(\sqrt{5}=p+q\), (p=5q), (q=0)
C \(p^2=q^2\), (p=q), \(\sqrt{5}=1\)
D (5=0), इसलिए विरोधाभास / (5=0), so contradiction
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
Step 1
Concept
सही क्रम परिमेय रूप से शुरू होता है। / The correct order begins with the rational form.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) आता है, फिर (5) पहले (p) और फिर (q) को भाग देता है। / Squaring gives \(p^2=5q^2\), then (5) divides first (p) and then (q).
Step 3
Exam Tip
क्रम याद रखने से प्रमाण साफ और पूरा बनता है। / Remembering the order makes the proof clear and complete.
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किस कारण से \(\sqrt{2}\) का प्रमाण केवल यह लिखकर पूरा नहीं होता कि \(p^2\) सम है?
Why is the proof for \(\sqrt{2}\) not complete by only writing that \(p^2\) is even?
#real-numbers
#root2
#incomplete-proof
#contradiction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
B क्योंकि \(p^2\) सम होना गलत है / Because \(p^2\) being even is wrong
C क्योंकि (q) को शून्य बनाना जरूरी है / Because (q) must be made zero
D क्योंकि \(\sqrt{2}\) को दशमलव में लिखना जरूरी है / Because \(\sqrt{2}\) must be written as a decimal
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Correct Answer
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है / Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
\(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। / From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। / For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें। / Do not stop the proof midway; write until the final conflict.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3r) लिखने का सही आधार है?
Which option gives the correct basis for writing (p=3r) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#proof-basis
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
B (p) सम सिद्ध हो चुका है / (p) has been proved even
C (p=q) सिद्ध हो चुका है / (p=q) has been proved
D (q=3) सिद्ध हो चुका है / (q=3) has been proved
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Correct Answer
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है / \(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। / From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। / By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें। / Give the reason before writing such a form.
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यदि कोई छात्र \(\sqrt{5}=\frac{5}{1}\) लिखता है, तो सबसे सही सुधार क्या है?
If a student writes \(\sqrt{5}=\frac{5}{1}\), what is the most correct correction?
#real-numbers
#root5
#misconception
#square-root
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं / \(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{5}\) का मान (1) है / \(\sqrt{5}\) equals (1)
C \(\sqrt{5}\) हमेशा (5) होता है / \(\sqrt{5}\) is always (5)
D हर वर्गमूल को उसी संख्या के बराबर मानते हैं / Every square root is equal to the same number
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Correct Answer
A. \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं / \(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\frac{5}{1}=5\) होता है। / \(\frac{5}{1}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) वह संख्या है जिसका वर्ग (5) हो, इसलिए वह (5) नहीं है। / \(\sqrt{5}\) is the number whose square is (5), so it is not (5).
Step 3
Exam Tip
संख्या और उसके वर्गमूल में फर्क समझना जरूरी है। / Distinguish a number from its square root.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में परिमेय मान्यता किस रूप में ली जाती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), in what form is the rational assumption taken?
#real-numbers
#general-method
#rational-form
#irrationality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
B \(\sqrt{r}=p+q\), जहाँ (p,q) कोई भी संख्या हैं / \(\sqrt{r}=p+q\), where (p,q) are any numbers
C \(\sqrt{r}=\frac{p}{0}\)
D \(\sqrt{r}=r\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं / \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता हमेशा अनुपात के रूप में ली जाती है। / The rational assumption is always taken as a ratio.
Step 2
Why this answer is correct
(p,q) को सहअभाज्य और \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / It is necessary to write (p,q) coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
यही मानक रूप तीनों प्रमाणों में काम आता है। / This standard form works in all three proofs.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता में \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) किस कारण (3) से विभाज्य है?
In the irrationality proof of \(\sqrt{3}\), why is \(p^2\) divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)?
#real-numbers
#root3
#equation
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
B क्योंकि (q) हमेशा (3) है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) हमेशा (q) है / Because (p) is always (q)
D क्योंकि (3) सम है / Because (3) is even
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Correct Answer
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है / Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। / In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। / Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की। / Understand divisibility of the square first, then of the original number.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण के अंत में सही विरोधाभास बताता है?
Which statement gives the correct contradiction at the end of the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction
#coprime
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
B (p) और (q) दोनों विषम हैं / (p) and (q) are both odd
C (p) और (q) दोनों धनात्मक हैं / (p) and (q) are both positive
D (p) और (q) दोनों पूर्णांक हैं / (p) and (q) are both integers
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं / (p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। / Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational.
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यदि (n) विषम है, तो \(n^2\) विषम होता है। यह तथ्य किस प्रमाण में सीधे प्रयोग होता है?
If (n) is odd, then \(n^2\) is odd. In which proof is this fact used directly?
#real-numbers
#root2
#parity
#odd-square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{5}\) को पूर्णांक सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{5}\) an integer
C \(\sqrt{3}\) को सम सिद्ध करने में / In proving \(\sqrt{3}\) even
D (5) को परिमेय सिद्ध करने में / In proving (5) rational
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में / In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) विषम होता तो \(p^2\) विषम होता, इसलिए (p) सम है। / If (p) were odd, \(p^2\) would be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम का यह नियम \(\sqrt{2}\) में बहुत उपयोगी है। / This parity rule is very useful for \(\sqrt{2}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(q\neq0\) की शर्त क्यों आवश्यक है?
Why is the condition \(q\neq0\) necessary in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#denominator
#rational-form
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B क्योंकि (q) हमेशा (3) होता है / Because (q) is always (3)
C क्योंकि (p) शून्य होना चाहिए / Because (p) must be zero
D क्योंकि \(\sqrt{3}\) शून्य है / Because \(\sqrt{3}\) is zero
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। / A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। / So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Complete conditions make the proof stronger.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के लिए केवल अधूरा संकेत है, पूर्ण प्रमाण नहीं?
Which option is only an incomplete hint for the irrationality of \(\sqrt{5}\), not a full proof?
#real-numbers
#root5
#decimal
#proof-quality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
B मानें \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) / Assume \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता / The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। / Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। / A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें। / In exams, write a proof, not a guess.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं और फिर \(2\mid p\), \(2\mid q\) सिद्ध होता है, तो यह किस प्रकार का परिणाम है?
If (p) and (q) are coprime and then \(2\mid p\), \(2\mid q\) are proved, what type of result is this?
#real-numbers
#root2
#contradiction
#coprime
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
B सामान्य परिणाम / Ordinary result
C परिभाषा मात्र / Definition only
D दशमलव विस्तार / Decimal expansion
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Correct Answer
A. विरोधाभासी परिणाम / Contradictory result
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। / \(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है। / Therefore this is a contradictory result.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर \(2q^2=p^2\) लिखा गया। इस समीकरण का सही उपयोग क्या है?
After assuming \(\sqrt{2}\) rational, \(2q^2=p^2\) is written. What is the correct use of this equation?
#real-numbers
#root2
#equation-use
#even-square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
B यह दिखाता है कि (q=0) है / It shows that (q=0)
C यह दिखाता है कि (p=q) है / It shows that (p=q)
D यह दिखाता है कि (p) विषम है / It shows that (p) is odd
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Correct Answer
A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है / It shows that \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(2q^2\) स्पष्ट रूप से सम संख्या है। / \(2q^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
\(p^2=2q^2\) होने से \(p^2\) भी सम होगा। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर सम वर्ग से सम आधार का निष्कर्ष लिया जाता है। / Then an even square gives an even base.
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों की तुलना में कौन-सा अंतर सही है?
Which difference is correct when comparing the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root3
#root5
#comparison
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (2) और \(\sqrt{5}\) में (3) मिलता है / The common factor is (2) for \(\sqrt{3}\) and (3) for \(\sqrt{5}\)
C दोनों में दशमलव विस्तार ही प्रमाण है / In both, decimal expansion is the proof
D दोनों में हर शून्य लिया जाता है / In both, denominator is taken zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है / The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। / For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है। / The structure is the same; only the prime factor changes.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण को सबसे अधिक कमजोर बना देगा?
Which statement would weaken the proof of \(\sqrt{2}\) the most?
#real-numbers
#root2
#lowest-form
#proof-logic
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
B \(p^2=2q^2\) लिखना / Writing \(p^2=2q^2\)
C (p=2r) लिखना / Writing (p=2r)
D \(q^2=2r^2\) लिखना / Writing \(q^2=2r^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना / Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। / The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। / If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है। / Therefore lowest form is essential at the start.
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यदि \(3\mid p\), तो (p) को किस रूप में लिखना उचित है?
If \(3\mid p\), in which form is it proper to write (p)?
#real-numbers
#divisibility
#root3
#multiple-form
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
B (p=k+3), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=k+3), where (k) is an integer
C \(p=\frac{3}{k}\)
D \(p=3+k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है / (p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। / \(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। / So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है। / Converting divisibility into a multiple form helps in the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) के (5) से विभाज्य होने के बाद अगला सही कदम क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after proving from \(p^2=5q^2\) that (p) is divisible by (5), what is the next correct step?
#real-numbers
#root5
#next-step
#proof-writing
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
B तुरंत (p=q) लिखना / Immediately write (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) लिखना / Write \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) रखना / Put (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना / Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। / From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें। / Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction.
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किस कथन से पता चलता है कि \(\sqrt{2}\) पूर्णांक नहीं हो सकता?
Which statement shows that \(\sqrt{2}\) cannot be an integer?
#real-numbers
#root2
#integer-square
#concept
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? Hint Small clue
A ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो / There is no integer whose square is (2)
B (2) ऋणात्मक है / (2) is negative
C \(\sqrt{2}=2\) है / \(\sqrt{2}=2\)
D हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Every square root is an integer
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Correct Answer
A. ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो / There is no integer whose square is (2)
Step 1
Concept
पूर्णांकों के वर्ग (0,1,4,9) जैसे होते हैं। / Squares of integers are like (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
कोई पूर्णांक ऐसा नहीं जिसका वर्ग (2) हो। / No integer has square (2).
Step 3
Exam Tip
फिर भी अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय रूप वाला पूरा प्रमाण चाहिए। / Still, to prove irrationality, the full rational-form proof is needed.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\), if both (p) and (q) are divisible by (3), what will be said about the fraction?
#real-numbers
#root3
#fraction
#lowest-form
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? Hint Small clue
A भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
B भिन्न अवश्य शून्य थी / The fraction was necessarily zero
C भिन्न अवश्य पूर्णांक थी / The fraction was necessarily an integer
D भिन्न का हर शून्य था / The denominator of the fraction was zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी / The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। / So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / This directly contradicts the lowest-form assumption.
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यदि \(2\mid q^2\), तो \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (q) पर क्या निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(2\mid q^2\), what conclusion about (q) is taken in the proof for \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#even-square
#final-step
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? Hint Small clue
A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। / \(2\mid q^2\) means \(q^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है। / Therefore (q) is even and the contradiction is completed.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य क्यों असंभव है?
Why is it impossible for both (p) and (q) to be divisible by (5) in the irrationality proof of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#coprime
#impossibility
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A क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (p) और (q) दशमलव हैं / Because (p) and (q) are decimals
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे / Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। / Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है। / So this situation goes against the starting condition.
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किस विकल्प में \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण का सही अंतिम वाक्य है?
Which option gives the correct final sentence for proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#real-numbers
#root2
#final-statement
#proof-writing
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A अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{2}\) परिमेय है / Hence \(\sqrt{2}\) is rational
C अतः (2) अपरिमेय है / Hence (2) is irrational
D अतः (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Hence (p) and (q) are both zero
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Correct Answer
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। / The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। / When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (p=3r), तो \(p^2\) का सही मान कौन-सा है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), if (p=3r), what is the correct value of \(p^2\)?
#real-numbers
#root3
#algebra
#squaring
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A \(9r^2\)
B \(3r^2\)
C (6r)
D \(r^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9r^2\)
Step 1
Concept
(p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। / When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p-2 =(3r)2 =9r-2 )। / Therefore (p-2 =(3r)2 =9r-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा। / Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong.
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। यदि (p=5r), तो कौन-सा सरलीकरण सही है?
Assuming \(\sqrt{5}\) rational gives \(p^2=5q^2\). If (p=5r), which simplification is correct?
#real-numbers
#root5
#algebra
#simplification
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A \(q^2=5r^2\)
B \(q^2=25r^2\)
C \(q^2=r^2\)
D \(q=5r^2\)
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Correct Answer
A. \(q^2=5r^2\)
Step 1
Concept
(p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। / Putting (p=5r) gives \(25r^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। / Dividing both sides by (5) gives \(q^2=5r^2\).
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ। / Reduce factors correctly during simplification.
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कौन-सा कथन पूर्ण वर्ग और अपरिमेय वर्गमूल के संबंध को सही बताता है?
Which statement correctly relates perfect squares and irrational square roots?
#real-numbers
#perfect-square
#prime-root
#irrationality
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A यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है / If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
B हर प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल परिमेय होता है / The square root of every natural number is rational
C हर विषम संख्या का वर्गमूल पूर्णांक होता है / The square root of every odd number is an integer
D हर अभाज्य संख्या का वर्गमूल वही संख्या होता है / The square root of every prime number is the number itself
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Correct Answer
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है / If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। / (2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। / Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है। / Identifying perfect squares is the first task in such questions.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो (p=5m) और (q=5n) एक साथ क्यों नहीं हो सकते?
If (p) and (q) are coprime, why can (p=5m) and (q=5n) not hold together?
#real-numbers
#coprime
#root5
#common-factor
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A क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब (p=q) होगा / Because then (p=q)
D क्योंकि तब (5) सम हो जाएगा / Because then (5) will become even
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Correct Answer
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा / Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। / (p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। / (q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं। / Together, these break coprimality.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा भाग विरोधाभास की विधि को दर्शाता है?
Which part of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) shows proof by contradiction?
#real-numbers
#root2
#contradiction-method
#proof
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A पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
B सीधे \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय लिख देना / Directly writing that \(\sqrt{2}\) is irrational
C केवल \(\sqrt{2}\) का मान निकालना / Only finding the value of \(\sqrt{2}\)
D केवल (2) को अभाज्य लिखना / Only writing that (2) is prime
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Correct Answer
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2=3q^2\) से (p) के (3) से विभाज्य होने के बाद (q) तक पहुँचने का सही रास्ता क्या है?
In the proof for \(\sqrt{3}\), after \(p^2=3q^2\) shows (p) divisible by (3), what is the correct path to reach (q)?
#real-numbers
#root3
#proof-path
#substitution
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A (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
B (p=q) रखकर (q=3) पाना / Put (p=q) and get (q=3)
C (q=0) रखकर विरोधाभास पाना / Put (q=0) and get contradiction
D (p=2k) रखकर (q) सम पाना / Put (p=2k) and get (q) even
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Correct Answer
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना / Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। / From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर \(3\mid q\) साबित होता है। / Then \(3\mid q\) is proved.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में अनावश्यक है?
Which option is unnecessary in the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#unnecessary-step
#proof-writing
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A \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=5q^2\) बनाना / Forming \(p^2=5q^2\)
D \(5\mid p\) और \(5\mid q\) दिखाना / Showing \(5\mid p\) and \(5\mid q\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना / Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। / A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। / The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें। / To save time, write only the logical steps.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q^2=2r^2\) मिलने के बाद (q) सम क्यों है?
In the proof for \(\sqrt{2}\), after getting \(q^2=2r^2\), why is (q) even?
#real-numbers
#root2
#final-evenness
#proof-step
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A क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा / Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
B क्योंकि (r) हमेशा शून्य है / Because (r) is always zero
C क्योंकि \(q^2\) हमेशा विषम है / Because \(q^2\) is always odd
D क्योंकि (q=r) है / Because (q=r)
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Correct Answer
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा / Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
\(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। / From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। / So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है। / This is the second evenness conclusion in the proof.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय होती, तो प्रमाण में अंततः कौन-सी असंगति मिलती?
If \(\sqrt{3}\) were rational, what inconsistency would finally appear in the proof?
#real-numbers
#root3
#inconsistency
#lowest-form
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A सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
B सरलतम भिन्न का हर शून्य हो जाता / The denominator of a lowest-form fraction would become zero
C \(\sqrt{3}\) का वर्ग (9) हो जाता / The square of \(\sqrt{3}\) would become (9)
D (3) पूर्ण वर्ग बन जाता / (3) would become a perfect square
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते / The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। / In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। / The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी। / This inconsistency shows that the assumption was false.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन-सा कथन सही नहीं है?
Which statement is not correct in the proof for \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#error-analysis
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
B \(5\mid p^2\) से \(5\mid p\) होगा / From \(5\mid p^2\), \(5\mid p\)
C (p=5k) लिखा जा सकता है / (p=5k) can be written
D अंत में \(5\mid q\) भी मिलेगा / Finally \(5\mid q\) will also be obtained
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Correct Answer
A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा / From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
Step 1
Concept
\(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। / From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। / This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).
Step 3
Exam Tip
चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें। / Do not create an unsupported relation between variables.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों से कौन-सी मुख्य परीक्षा सीख मिलती है?
What main exam lesson is learned from the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#irrationality
#exam-tip
#proof-structure
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? Hint Small clue
A परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए / Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
B केवल दशमलव मान याद रखना चाहिए / Only memorize decimal values
C हर वर्गमूल को पूर्णांक मानना चाहिए / Treat every square root as an integer
D सहअभाज्यता को छोड़ देना चाहिए / Ignore coprimality
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Correct Answer
A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए / Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। / First assume the square root is rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके अभाज्य विभाज्यता से अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाते हैं। / Then square and use prime divisibility to show a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यही क्रम साफ और पूरे अंक वाला उत्तर बनाता है। / In exams, this order makes a clear full-mark answer.
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