\(x^2+\frac{1}{x}+4\) contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Be careful when the variable is in the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x^2+\frac{1}{x}+4\). \(x^2+\frac{1}{x}+4\) contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Be careful when the variable is in the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(x^2+\frac{1}{x}+4\) में \(x^{-1}\) है, जो बहुपद में मान्य नहीं है। हर में चर हो तो सावधान रहें।
In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x+\frac{1}{x}=2\). In \(x+\frac{1}{x}=2\), the variable is in the denominator, so it is not directly in standard quadratic form. A quadratic polynomial form has no negative power.
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}=2\) में चर हर में है, इसलिए यह सीधे द्विघात मानक रूप में नहीं है। द्विघात बहुपद रूप में ऋणात्मक घात नहीं होती।
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (37). \(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\). For a purely recurring decimal, first use a denominator of (9)'s and then reduce fully.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{216}=\frac{216}{999}=\frac{8}{37}\) है। पूर्ण आवर्ती दशमलव में पहले (9) वाला हर बनाएं और फिर पूरा सरल करें।
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (37). \(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\). First form the denominator with (9)'s according to the repeating digits and then reduce.
Step 3
Exam Tip
\(0.\overline{108}=\frac{108}{999}=\frac{4}{37}\) है। आवर्ती अंकों की संख्या के अनुसार पहले (9) वाला हर बनाएं फिर सरल करें।
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (22). \(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\). Always reduce the final fraction in mixed recurring decimals.
Step 3
Exam Tip
\(0.3\overline{18}=0.3181818\ldots=\frac{315}{990}=\frac{7}{22}\)। मिश्रित आवर्ती दशमलव में अंतिम उत्तर हमेशा सरल करें।
\(0.00\overline{45}\) has two non-repeating zeros and two repeating digits.
Step 2
Why this answer is correct
Its fraction form is \(\frac{45}{9900}\), which reduces to \(\frac{1}{220}\).
Step 3
Exam Tip
The first denominator formed from a recurring decimal may not be the final denominator. चरण 1: \(0.00\overline{45}\) में दो अनावर्ती शून्य और दो आवर्ती अंक हैं। चरण 2: भिन्न रूप \(\frac{45}{9900}\) है, जिसे (45) से सरल करने पर \(\frac{1}{220}\) मिलता है। चरण 3: आवर्ती दशमलव में बनने वाला पहला हर अंतिम हर नहीं हो सकता।
The full factor \(3^3\) cancels from the denominator, leaving \(2^3\cdot 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Decide the decimal type from the denominator left after cancellation. चरण 1: \(27=3^3\) है। चरण 2: हर का \(3^3\) पूरा कट जाएगा, इसलिए हर \(2^3\cdot 5^2\) बचेगा। चरण 3: कटौती के बाद बचे हर से ही दशमलव का प्रकार तय करें।
For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
Factorise all options in such questions. चरण 1: ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। चरण 2: \(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें।
\(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
For exact places, match the larger exponent. चरण 1: \(6250=2\cdot 5^5\) है। चरण 2: \(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। चरण 3: ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए।
For exactly (3) places, the larger exponent of (2) or (5) in the reduced denominator must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(125=5^3\) satisfy this. \(25=5^2\) gives only (2) places.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between exactly and at most. चरण 1: ठीक (3) स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (3) होनी चाहिए। चरण 2: \(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(125=5^3\) यह शर्त पूरी करते हैं। \(25=5^2\) केवल (2) स्थान देगा। चरण 3: ठीक और अधिकतम शब्दों का अंतर समझें।
This equals \(\frac{1}{300}\). So the reduced denominator is (300).
Step 3
Exam Tip
Two zeros before the recurring digit introduce the effect of (100) in the denominator. चरण 1: \(0.00\overline{3}=0.003333\ldots\) है। चरण 2: यह \(\frac{1}{300}\) के बराबर है। इसलिए सरलतम हर (300) है। चरण 3: आवर्ती अंक से पहले दो शून्य हों तो हर में (100) का प्रभाव आता है।
\(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), so the reduced denominator is (11).
Step 3
Exam Tip
If a zero is part of the repeating block, count it as a digit. चरण 1: \(0.\overline{09}=\frac{09}{99}=\frac{9}{99}\) है। चरण 2: \(\frac{9}{99}=\frac{1}{11}\), इसलिए सरलतम हर (11) है। चरण 3: आवर्ती भाग में शून्य हो तो भी उसे अंकों में गिनें।
A. हर में केवल (2) का गुणनखंड होगा/The denominator will have only factor (2)
Step 1
Concept
\(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(6.375=\frac{6375}{1000}=\frac{51}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
A. (q) में (2) और (5) के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड होगा/(q) will have a prime factor other than (2) and (5)
Step 1
Concept
A non-terminating recurring decimal occurs when the reduced denominator has a prime factor other than (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Such a denominator cannot be made into a power of (10).
Step 3
Exam Tip
So always check the prime factors of the denominator. चरण 1: असमाप्त आवर्ती दशमलव तब मिलता है जब सरलतम हर में (2) और (5) के अलावा अभाज्य बचता है। चरण 2: ऐसा हर (10) की घात नहीं बन सकता। चरण 3: इसलिए हर के अभाज्य गुणनखंड जरूर जांचें।
A. हर में केवल (2) के गुणनखंड होंगे/The denominator will have only factors of (2)
Step 1
Concept
\(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\).
Step 2
Why this answer is correct
The reduced denominator is \(8=2^3\).
Step 3
Exam Tip
The reduced denominator of a terminating decimal is made only of (2) and (5). चरण 1: \(4.125=\frac{4125}{1000}=\frac{33}{8}\) है। चरण 2: सरलतम हर \(8=2^3\) है। चरण 3: समाप्त दशमलव का सरलतम हर केवल (2) और (5) से बनता है।
Hence the decimal terminates within (4) places. चरण 1: \(2500=2^2\times5^4\) है। चरण 2: बड़ी घात (4) है। चरण 3: इसलिए दशमलव अधिकतम (4) स्थानों पर समाप्त होगा।
For a terminating decimal, the denominator may have only (2) and (5) as factors.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), so the rule is satisfied.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: Having only (2) in the denominator is also enough. चरण 1: समाप्त दशमलव के लिए हर में केवल (2) और (5) के गुणनखंड हो सकते हैं। चरण 2: \(64=2^6\), इसलिए नियम पूरा होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: हर में केवल (2) होना भी पर्याप्त है।
A. क्योंकि (6) में (3) गुणनखंड है/Because (6) has factor (3)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{6}\) is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
\(6=2\times3\), and factor (3) makes the decimal non-terminating recurring.
Step 3
Exam Tip
Exam tip: An even denominator does not always mean termination. चरण 1: \(\frac{1}{6}\) सबसे सरल रूप में है। चरण 2: \(6=2\times3\), और (3) के कारण दशमलव असमाप्त आवर्ती होता है। चरण 3: परीक्षा सुझाव: सम हर होने से ही दशमलव समाप्त हो, यह जरूरी नहीं।
A. क्योंकि हर शून्य होगा तो \(\frac{p}{q}\) परिभाषित नहीं होगा/Because if the denominator is zero, \(\frac{p}{q}\) is not defined
Step 1
Concept
The rational form \(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
If the denominator is zero, the fraction is not defined.
Step 3
Exam Tip
This condition must be written at the beginning of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\)। चरण 2: हर शून्य होने पर भिन्न परिभाषित नहीं रहती। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह शर्त लिखना जरूरी है।
A. \(y\neq0\) होना भी जरूरी है/It is also necessary that \(y\neq0\)
Step 1
Concept
In a rational number \(\frac{x}{y}\), the denominator cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
So along with (x,y) being coprime integers, \(y\neq0\) must also be written.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{x}{y}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए (x,y) सहअभाज्य पूर्णांक होने के साथ \(y\neq0\) भी लिखना चाहिए। चरण 3: शर्तें पूरी लिखने से प्रमाण मजबूत बनता है।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। चरण 2: इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(q\neq 0\) must be written. चरण 1: परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। चरण 2: भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है।
Do not forget this small condition while writing the rational form. चरण 1: किसी भी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq 0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह छोटी शर्त न भूलें।
So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Write this condition when expressing a rational number. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। चरण 3: परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A rational number is written in the form \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(q\neq 0\) must be written in the proof. चरण 1: परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। चरण 2: किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: इसलिए प्रमाण में \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है।
The conjugate of the denominator is \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The denominator becomes (5-2=3), so the form is \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\).
Step 3
Exam Tip
For a sum of two surds, the conjugate changes the sign between them. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\) है। चरण 2: हर (5-2=3) बनता है, इसलिए रूप \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\) है। चरण 3: दो मूलों के योग में संयुग्मी का चिह्न बदलता है।
Choosing the correct conjugate sign is very important. चरण 1: हर का संयुग्मी \(\sqrt{2}-1\) है। चरण 2: (\frac{2}{\sqrt{2}+1}\times\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\(\sqrt{2}-1\)}{2-1}=2\sqrt{2}-2)। चरण 3: संयुग्मी का सही चिह्न चुनना बहुत जरूरी है।
