Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) हल करने पर (n=10) मिलता है। (n) के लिए द्विघात बन सकता है, सही धनात्मक मान चुनें। / Solving (\frac{n}{2}[18+6(n-1)]=525) gives (n=10). For (n), a quadratic may appear, so choose the positive value.
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
(x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), इसलिए शून्यक (3) और (4) हैं। (x)-अक्ष पर बिंदु ((3,0)) और ((4,0)) होंगे। / (x-2-7x+12=(x-3)(x-4)), so the zeroes are (3) and (4). The (x)-axis points are ((3,0)) and ((4,0)).
योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\) है। पहले सामान्य गुणनखंड निकालना चाहें तो भी योग वही रहेगा। / The sum is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-20}{5}=4\). Even if a common factor is removed first, the sum remains the same.
योग \(\frac{7}{2}\) और गुणनफल \(\frac{5}{2}\) है। उनका अंतर \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\) है। / The sum is \(\frac{7}{2}\) and the product is \(\frac{5}{2}\). Their difference is \(\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1\).
(4x-2-4x+1=(2x-1)2), इसलिए शून्यक \(\frac{1}{2}\) दो बार है। पूर्ण वर्ग रूप तुरंत समान शून्यक देता है। / (4x-2-4x+1=(2x-1)2), so the zero \(\frac{1}{2}\) occurs twice. Perfect square form gives equal zeroes directly.
शून्यकों के व्युत्क्रमों का योग \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) होता है। यहाँ \(\alpha+\beta=4\) और \(\alpha\beta=1\), इसलिए उत्तर (4) है। / The sum of reciprocals is \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here \(\alpha+\beta=4\) and \(\alpha\beta=1\), so the answer is (4).
\(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=20\) हैं। (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42)। / \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=20\). (\(\alpha+2\)\(\beta+2\)=\alpha\beta+2\(\alpha+\beta\)+4=20+18+4=42).
शून्यकों का गुणनफल (2\cdot(-3)=-6) है और यह \(\frac{c}{a}\) के बराबर होता है। गुणनफल में संकेत पर विशेष ध्यान दें। / The product of zeroes is (2\cdot(-3)=-6), and it equals \(\frac{c}{a}\). Pay special attention to the sign in products.
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\) हैं। इसलिए (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9})। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=\frac{7}{3}\). Hence (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=\frac{100}{9}-\frac{14}{3}=\frac{58}{9}).
(p(-3)=9-3k-18=0), इसलिए (-3k=9) और (k=-3)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-3)=9-3k-18=0), so (-3k=9) and (k=-3). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is positive for every real (x). Hence it has no real zeroes.
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1)। इस पहचान से शून्यक निकाले बिना उत्तर मिल जाता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=25-24=1). This identity avoids finding the zeroes separately.
\(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) और \(\alpha\beta=2\) हैं। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\)। / \(\alpha+\beta=\frac{9}{2}\) and \(\alpha\beta=2\). Hence \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{9}{4}\).
गुणनफल \(\frac{4}{k}\) है, इसलिए \(\frac{4}{k}=2\) और (k=2)। गुणनफल में स्थिर पद को प्रमुख गुणांक से भाग देते हैं। / The product is \(\frac{4}{k}\), so \(\frac{4}{k}=2\) and (k=2). Product equals constant term divided by leading coefficient.
शून्यकों का योग (2(k+1)) है, इसलिए (2(k+1)=10) और (k=4)। सूत्र लगाते समय ऋण चिह्न संभालें। / The sum of zeroes is (2(k+1)), so (2(k+1)=10) and (k=4). Handle the negative sign carefully in the formula.
A. समान वास्तविक शून्यक \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)/Equal real zeroes \(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
(4x-2-12x+9=(2x-3)2), इसलिए समान शून्यक \(\frac{3}{2}\) हैं। पूर्ण वर्ग रूप समान शून्यक बताता है। / (4x-2-12x+9=(2x-3)2), so the equal zeroes are \(\frac{3}{2}\). A perfect square form indicates equal zeroes.
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\) है। / For \(ax^2+bx+c\), the product of zeroes is \(\frac{c}{a}\). Here \(\frac{-8}{5}=-\frac{8}{5}\).
द्विघात \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहाँ \(-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\) है। / For \(ax^2+bx+c\), the sum of zeroes is \(-\frac{b}{a}\). Here \(-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\).
द्विघात होने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। घात पहचानते समय प्रमुख पद पर ध्यान दें। / For it to be quadratic, the coefficient of \(x^3\) must be (0), while the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Focus on the leading non-zero term.
(p(-2)=4-2k-8=0), इसलिए (-2k=4) और (k=-2)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-2)=4-2k-8=0), so (-2k=4) and (k=-2). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
शर्तों से (2a+b=-1) और (-a+b=5) मिलते हैं, इसलिए (a=-2), (b=3) और (a+b=1)। दो मान दिए हों तो दो समीकरण बनाएं। / The conditions give (2a+b=-1) and (-a+b=5), so (a=-2), (b=3), and (a+b=1). When two values are given, form two equations.
(p(2)=4a+8-12=0), इसलिए (4a=4) और (a=1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=4a+8-12=0), so (4a=4) and (a=1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
सबसे बड़ी घात (2) वाला पद \(2x^2\) है। प्रमुख पद हमेशा सबसे बड़ी घात वाला पूरा पद होता है। / The term with highest power (2) is \(2x^2\). The leading term is always the full term with the greatest power.
B. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=x-2+1) में सबसे बड़ी घात (2) है इसलिए यह द्विघात बहुपद है। घात से वर्गीकरण करें। / In (p(x)=x-2+1), the highest power is (2), so it is a quadratic polynomial. Classify by degree.
विकल्प B, \(4x^3+x-9\), में चर \(x\) की घातें 3 और 1 हैं तथा सभी घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं; इसलिए यह एक बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 3 है, अतः यह घन बहुपद है, द्विघात बहुपद नहीं। विकल्प A की घात 2 है, इसलिए वह द्विघात है। विकल्प C में \(x^{-1}\) और विकल्प D में \(x^{1/2}\) है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: बहुपद की जाँच करते समय चर की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक और उच्चतम घात निर्धारित करें। / Option B, \(4x^3+x-9\), has only non-negative integer powers of the variable \(x\), so it is a polynomial. Its highest power is 3, making it a cubic polynomial rather than a quadratic polynomial. Option A has degree 2 and is therefore quadratic. Option C contains \(x^{-1}\), and option D contains \(x^{1/2}\); hence neither is a polynomial. Exam tip: check that all variable exponents are non-negative integers, then identify the highest exponent as the degree.
सबसे बड़ी घात (2) है इसलिए यह द्विघात बहुपद है। घात (2) वाले बहुपद को द्विघात कहते हैं। / The highest power is (2), so it is a quadratic polynomial. A degree (2) polynomial is quadratic.
यहां (D=(-22)2-4(1)(79)=168), इसलिए \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\) है। परीक्षा में (D) को सही सरल करें। / Here (D=(-22)2-4(1)(79)=168), so \(x=\frac{22\pm2\sqrt{42}}{2}=11\pm\sqrt{42}\). In exams, simplify (D) correctly.
((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), इसलिए \(x^2-22x+105=26\) से \(x^2-22x+79=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं। / ((x-7)(x-15)=x-2-22x+105), so \(x^2-22x+105=26\) gives \(x^2-22x+79=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
(D=4(k+7)2-4k-2=0) से ((k+7)2=k-2), इसलिए (14k+49=0) और \(k=-\frac{7}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+7)2-4k-2=0) gives ((k+7)2=k-2), so (14k+49=0) and \(k=-\frac{7}{2}\). In exams, expand squares carefully.
