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21 questions tagged with real-zeroes.
If (p(x)=x-2+2x+c) has no real zero, which condition on (c) is correct?
A. (c>1)
कोई वास्तविक शून्यक नहीं होने के लिए विविक्तकर (4-4c<0) चाहिए। इससे (c>1) मिलता है। / For no real zero, the discriminant must satisfy (4-4c<0). This gives (c>1).
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For (p(x)=x-4-16), what effect does \(x^2+4\) have on real zeroes?
A. यह कोई वास्तविक शून्यक नहीं देताIt gives no real zero
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है। \(x^2+4\) वास्तविक (x) के लिए कभी (0) नहीं होता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)). The factor \(x^2+4\) is never (0) for real (x).
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For (p(x)=3x-2-12x+15), what is the correct conclusion about real zeroes?
A. कोई वास्तविक शून्यक नहींNo real zeroes
(p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), जो सदा धनात्मक है। इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (p(x)=3\(x^2-4x+5\)=3((x-2)2+1)), which is always positive. Hence there are no real zeroes.
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For (p(x)=x-2-2x+2), what is the correct conclusion about real zeroes?
A. कोई वास्तविक शून्यक नहींNo real zeroes
(x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / (x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is positive for every real (x). Hence it has no real zeroes.
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If (p(x)=x-4-1), how many real zeroes are there besides (x=1) and (x=-1)?
A. (0)
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है। \(x^2+1\) के वास्तविक शून्यक नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त वास्तविक शून्यक (0) हैं। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)). Since \(x^2+1\) has no real zeroes, there are (0) extra real zeroes.
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For (p(x)=x-2+1), what is correct about its zeroes in real numbers?
A. कोई वास्तविक शून्यक नहींNo real zeroes
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\), इसलिए \(x^2+1>0\) रहता है। अतः इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Hence it has no real zero.
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If (p(x)=x-2-14x+45) and (q(x)=x-2-14x+43), which statement is correct?
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के अपरिमेय वास्तविक हैंZeroes of (p(x)) are rational and zeroes of (q(x)) are irrational real
(p(x)) के लिए (D=16) पूर्ण वर्ग है और (q(x)) के लिए (D=24) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। इसलिए पहला परिमेय और दूसरा अपरिमेय वास्तविक है। / For (p(x)), (D=16) is a perfect square, and for (q(x)), (D=24) is positive but not a perfect square. Thus the first has rational and the second irrational real zeroes.
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If \(p(x)=x^2-2x-3\), are both of its zeroes real?
A. हाँ, क्योंकि \(D=16\)Yes, because \(D=16\)
यहाँ \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\)। डिस्क्रिमिनेंट \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\)। इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न और वास्तविक शून्यक हैं; उनका मान \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\) से \(x=3\) और \(x=-1\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ \(D=8\) बताना अंकगणितीय त्रुटि है। विकल्प C और D भी गलत हैं: C में कहा गया है कि \(D<0\) जबकि वास्तविकता में \(D>0\), और D का तर्क गलत है क्योंकि अपरिमेय पड़े हुए शून्यक भी वास्तविक हो सकते हैं। परीक्षाई टिप: हमेशा सही ढंग से \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) की गणना करें — इससे शून्यकों की प्रकृति तुरंत ज्ञात हो जाती है। / Here \(a=1,\; b=-2,\; c=-3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac =(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0\). Hence the quadratic has two distinct real zeroes; solving gives \(x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}\), i.e. \(x=3\) and \(x=-1\). Option B is the closest distractor — it states \(D=8\), which is an arithmetic mistake. Options C and D are also incorrect: C claims \(D<0\) (complex roots) which is false here, and D's reasoning is wrong because irrational roots are still real. Exam tip: correctly identify \(a,b,c\) and compute \(D=b^2-4ac\) to determine root nature quickly.
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If (p(x)=x-2-2), which statement about its real zeroes is correct?
B. दोनों अपरिमेय हैंBoth are irrational
शून्यक \(x=\pm\sqrt{2}\) हैं और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गमूल वाले शून्यकों को सरल करके जाँचें। / The zeroes are \(x=\pm\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. In exams, simplify square-root zeroes before deciding the type.
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A. शून्यZero
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। कोई मिलन नहीं तो कोई वास्तविक शून्यक नहीं। / For a real zero the graph must meet the (x)-axis. No meeting means no real zero.
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If a parabola opens downward and cuts the (x)-axis at two points, how many real zeroes will it have?
A. दोTwo
खुलने की दिशा शून्यकों की संख्या अकेले तय नहीं करती। दो कटान स्पष्ट रूप से दो वास्तविक शून्यक देते हैं। / The opening direction alone does not decide the number of zeroes. Two intersections clearly give two real zeroes.
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If (p(x)=x-4-1296), what are the real (x)-axis intersections?
A. ((-6,0)) और ((6,0))((-6,0)) and ((6,0))
(x-4-1296=\(x^2-36\)\(x^2+36\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm6\) हैं। टिप: \(x^2+36\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-1296=\(x^2-36\)\(x^2+36\)), and the real zeroes are only \(\pm6\). Tip: \(x^2+36\) gives no real zero.
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If (p(x)=x-4-625), what are the real (x)-axis intersections?
A. ((-5,0)) और ((5,0))((-5,0)) and ((5,0))
(x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm5\) हैं। टिप: \(x^2+25\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)), and the real zeroes are only \(\pm5\). Tip: \(x^2+25\) gives no real zero.
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If (p(x)=x-4-81), what are the real (x)-axis intersections?
A. ((-3,0)) और ((3,0))((-3,0)) and ((3,0))
(x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm3\) हैं। टिप: \(x^2+9\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)), and the real zeroes are only \(\pm3\). Tip: \(x^2+9\) gives no real zero.
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If (p(x)=x-4-16), what are the real (x)-axis intersections?
A. ((-2,0)) और ((2,0))((-2,0)) and ((2,0))
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm2\) हैं। टिप: \(x^2+4\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), and the real zeroes are only \(\pm2\). Tip: \(x^2+4\) gives no real zero.
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If (p(x)=x-4-1), what are the real (x)-axis intersections of the graph?
A. ((-1,0)) और ((1,0))((-1,0)) and ((1,0))
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm1\) हैं। टिप: \(x^2+1\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)), and the real zeroes are only \(\pm1\). Tip: \(x^2+1\) gives no real zero.
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If a quadratic graph has vertex ((3,-4)) and opens upward, what will be the number of real zeroes?
C. दोTwo
शीर्ष (x)-अक्ष के नीचे है और ग्राफ ऊपर खुलता है, इसलिए वह (x)-अक्ष को दो बार काटेगा। टिप: शीर्ष की ऊँचाई और खुलने की दिशा साथ देखें। / The vertex is below the (x)-axis and the graph opens upward, so it cuts the (x)-axis twice. Tip: check vertex height and opening direction together.
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C. दोTwo
दिशा ऊपर या नीचे होने से संख्या नहीं बदलती, कटान दो हैं। टिप: शून्यकों की संख्या (x)-अक्ष कटान से तय करें। / The opening direction does not change the count, there are two intersections. Tip: decide zeroes by (x)-axis intersections.
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If a graph cuts the (x)-axis at three distinct points, how many real zeroes will it have?
A. तीनThree
हर अलग (x)-अक्ष कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। इसलिए तीन अलग कटावों से तीन वास्तविक शून्यक मिलेंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. Therefore three distinct intersections give three real zeroes.
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If a polynomial graph has two intersections with the (x)-axis, how many real zeroes does it have?
A. दोTwo
(x)-अक्ष से प्रत्येक अलग कटाव एक वास्तविक शून्यक देता है। दो कटाव होने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct intersection with the (x)-axis gives one real zero. With two intersections, there are two real zeroes.
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A. (0)
वास्तविक शून्यक तभी दिखते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। यदि ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता, तो वास्तविक शून्यक नहीं होंगे। / Real zeroes appear only where the graph meets the (x)-axis. If it does not meet the (x)-axis, it has no real zero.
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