If p(x)=x^4-1, how many real zeroes are there besides x=1 and x=-1?यदि p(x)=x^4-1, तो x=1 और x=-1 के अलावा वास्तविक शून्यकों की संख्या कितनी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 00
The governing concept is factorisation and the distinction between real and non-real zeroes. Factor the polynomial as x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1). The first two factors provide the known real zeroes x=1 and x=-1. For every real number x, x^2 is non-negative, so x^2+1 is at least 1 and can never be zero. Its formal solutions are x=i and x=-i, which are non-real and must not be counted. Therefore there are no real zeroes beyond the two given ones, so option A is correct. Options B, C, and D result from failing to factor completely or from counting complex roots as real roots.यहाँ मुख्य अवधारणा गुणनखंडन द्वारा शून्यक निकालना और वास्तविक तथा अवास्तविक मूलों में अंतर करना है। x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1) लिख सकते हैं। पहले दो गुणनखंड ज्ञात वास्तविक शून्यक x=1 और x=-1 देते हैं। किसी भी वास्तविक x के लिए x^2 का मान 0 या धनात्मक होता है, इसलिए x^2+1 का मान कम-से-कम 1 रहेगा और वह कभी शून्य नहीं होगा। इस गुणनखंड के हल x=i और x=-i हैं, जो वास्तविक नहीं हैं और इसलिए गिनती में शामिल नहीं किए जा सकते। अतः दिए गए दोनों के अतिरिक्त वास्तविक शून्यकों की संख्या 0 है। इसलिए विकल्प A सही है; अन्य विकल्प अधूरे गुणनखंडन या सम्मिश्र मूलों की गलत गिनती से मिलते हैं।
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