factorisation se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
327 questions tagged with factorisation.
If (p(x)=x-3-1), which of the following is a linear factor?
A. (x-1)
(x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)) है। इसलिए (x-1) रैखिक गुणनखंड है। / (x-3-1=(x-1)\(x^2+x+1\)). Therefore (x-1) is a linear factor.
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If (p(x)=x-3-3x-2-4x+12), what is the complete factor form?
A. ((x-3)(x-2)(x+2))
समूहीकरण से (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)) मिलता है। इसलिए गुणनखंड ((x-3)(x-2)(x+2)) हैं। / By grouping, (x-2(x-3)-4(x-3)=(x-3)\(x^2-4\)). Thus the factors are ((x-3)(x-2)(x+2)).
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If (p(x)=x-2+2x-24), which is a factor of (p(x))?
A. (x-4)
(x-2+2x-24=(x-4)(x+6)) है। इसलिए (x-4) एक गुणनखंड है। / (x-2+2x-24=(x-4)(x+6)). Therefore (x-4) is a factor.
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If (p(x)=x-3-9x), how many distinct real zeroes does it have?
A. (3)
(x-3-9x=x(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (-3,0,3) हैं। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक (3) हैं। / (x-3-9x=x(x-3)(x+3)), so the zeroes are (-3,0,3). Hence there are (3) distinct real zeroes.
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If (p(x)=x-2-3x-28), what is the distance between its zeroes?
A. (11)
(p(x)=(x-7)(x+4)), इसलिए शून्यक (7) और (-4) हैं। दूरी (|7-(-4)|=11) है। / (p(x)=(x-7)(x+4)), so the zeroes are (7) and (-4). The distance is (|7-(-4)|=11).
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If (p(x)=x-3-4x-2-7x+10) and (x-1) is a factor, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2-3x-10\)
(p(x)) को (x-1) से भाग देने पर \(x^2-3x-10\) मिलता है। गुणा करके जाँचें कि ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x))। / Dividing (p(x)) by (x-1) gives \(x^2-3x-10\). Verify by multiplying ((x-1)\(x^2-3x-10\)=p(x)).
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If (p(x)=x-4-1), how many real zeroes are there besides (x=1) and (x=-1)?
A. (0)
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है। \(x^2+1\) के वास्तविक शून्यक नहीं हैं, इसलिए अतिरिक्त वास्तविक शून्यक (0) हैं। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)). Since \(x^2+1\) has no real zeroes, there are (0) extra real zeroes.
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If (p(x)=x-3+x-2-10x+8) and (x=1) is a zero, what is the remaining quadratic factor?
A. \(x^2+2x-8\)
(x=1) शून्यक होने से (x-1) गुणनखंड है। भाग देने पर \(x^2+2x-8\) मिलता है। / Since (x=1) is a zero, (x-1) is a factor. Division gives \(x^2+2x-8\).
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If (p(x)=x-3-6x-2+11x-6), what are the zeroes of (p(x))?
A. (1,2,3)
(x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)) है। गुणनखंडों से शून्यक सीधे मिलते हैं। / (x-3-6x-2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)). Zeroes are read directly from the factors.
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If (p(x)=x-2-9), what are the zeroes of (p(x))?
A. (3,-3)
(x-2-9=(x-3)(x+3)), इसलिए शून्यक (3) और (-3) हैं। वर्गों के अंतर को तुरंत पहचानें। / (x-2-9=(x-3)(x+3)), so the zeroes are (3) and (-3). Identify difference of squares quickly.
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Which statement about the zeroes of \(x^2-6x+9\) is correct?
B. दोनों शून्यक बराबर हैंBoth zeroes are equal
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए दोनों शून्यक (3) हैं। वर्ग रूप को पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so both zeroes are (3). Recognizing square form is a fast exam method.
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If \(x+1 \neq 0\), what is the simplified form of \(\dfrac{x^2+3x+2}{x+1}\)?
A. (,x+2,)
क्योंकि (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), इसलिए सरल रूप (x+2) है। परीक्षा में trinomial factorisation को ध्यान से करें। / Because (x-2+3x+2=(x+1)(x+2)), the simplified form is (x+2). In exams, factorise trinomials carefully.
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If \(x^2+9 \neq 0\), what is the simplified form of \(\dfrac{x^4-81}{x^2+9}\)?
A. \(,x^2-9,\)
(x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)), इसलिए सरल रूप \(x^2-9\) है। परीक्षा में \(x^4\) को (\(x^2\)2) मानकर factor करें। / (x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)), so the simplified form is \(x^2-9\). In exams, treat \(x^4\) as (\(x^2\)2) while factoring.
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If \(x+y \neq 0\), what is the simplified form of \(\dfrac{x^2-y^2}{x+y}\)?
A. (,x-y,)
क्योंकि (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), इसलिए ((x+y)) कटकर (x-y) बचता है। परीक्षा में difference of squares तुरंत पहचानें। / Because (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), ((x+y)) cancels and (x-y) remains. In exams, identify difference of squares quickly.
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If \(x^2 \neq 4\), what is the simplified form of \(\dfrac{x^4-16}{x^2-4}\)?
A. \(,x^2+4,\)
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), इसलिए सरल रूप \(x^2+4\) है। परीक्षा में \(x^4\) को (\(x^2\)2) समझकर factor करें। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), so the simplified form is \(x^2+4\). In exams, treat \(x^4\) as (\(x^2\)2) for factorisation.
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If \(x \neq y\), what is the simplified form of \(\dfrac{x^2-y^2}{x-y}\)?
A. (,x+y,)
क्योंकि (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), इसलिए सरल रूप (x+y) है। परीक्षा में difference of squares पहचानना बहुत उपयोगी है। / Because (x-2-y-2=(x-y)(x+y)), the simplified form is (x+y). In exams, identifying difference of squares is very useful.
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The product of two consecutive positive even numbers is 224. Which numbers are they?
C. 14 और 1614 and 16
पहली संख्या को x मानने पर क्रमागत सम संख्याएँ x और x+2 होंगी। इसलिए x(x+2)=224, अर्थात x²+2x−224=0। इसका गुणनखंडन करने पर (x−14)(x+16)=0 मिलता है, इसलिए x=14 या x=−16। धनात्मक संख्या होने के कारण x=14 लिया जाएगा और दूसरी संख्या 16 होगी। अतः सही उत्तर 14 और 16 है। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत सम संख्याओं के बीच का अंतर 2 रखें, 1 नहीं। / Let the first number be x. The consecutive even numbers are then x and x+2. Thus, x(x+2)=224, or x²+2x−224=0. Factoring gives (x−14)(x+16)=0, so x=14 or x=−16. Since the numbers must be positive, x=14 and the next number is 16. Therefore, the correct answer is 14 and 16. Exam tip: consecutive even numbers differ by 2, not by 1.
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A rectangular park has a perimeter of 50 m and an area of 150 m². What are its length and breadth?
C. 10 मीटर और 15 मीटर10 m and 15 m
मान लें कि लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x और y हैं। परिमाप से 2(x+y)=50, इसलिए x+y=25, और क्षेत्रफल से xy=150। अतः y=25-x रखने पर \(x(25-x)=150\), अर्थात \(x^2-25x+150=0\)। इसका गुणनखंड \((x-10)(x-15)=0\) है, इसलिए आयाम 10 मीटर और 15 मीटर हैं। विकल्प B में योग 25 तो है, लेकिन गुणनफल 144 है, इसलिए वह क्षेत्रफल की शर्त पूरी नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: आयत के प्रश्नों में परिमाप से लंबाई-चौड़ाई का योग और क्षेत्रफल से उनका गुणनफल निकालें। / Let the length and breadth be x and y. From the perimeter, 2(x+y)=50, so x+y=25; from the area, xy=150. Substituting y=25-x gives \(x(25-x)=150\), or \(x^2-25x+150=0\). Factoring, \((x-10)(x-15)=0\), so the dimensions are 10 m and 15 m. Option B has the correct sum of 25 but its product is 144, not 150, so it does not satisfy the area condition. Exam tip: In rectangle problems, use the perimeter to find the sum of the dimensions and the area to find their product.
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The square of a positive number is 28 more than three times the number. What is the number?
C. 7
संख्या को \(x\) मानने पर \(x^2=3x+28\), अर्थात् \(x^2-3x-28=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-7)(x+4)=0\), इसलिए \(x=7\) या \(x=-4\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, इसलिए सही उत्तर 7 है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या वाले प्रश्नों में प्राप्त मूलों में से केवल धनात्मक मूल चुनें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=3x+28\), so \(x^2-3x-28=0\). Factoring gives \((x-7)(x+4)=0\), hence \(x=7\) or \(x=-4\). Since the number is positive, the correct answer is 7. Exam tip: when a word problem specifies a positive number, discard any negative root.
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The product of two consecutive positive odd numbers is 255. Which numbers are they?
C. 15 और 1715 and 17
मान लेते हैं कि पहली विषम संख्या \(x\) है। अगली क्रमागत विषम संख्या \(x+2\) होगी, क्योंकि विषम संख्याओं के बीच का अंतर 2 होता है। इसलिए \(x(x+2)=255\), अर्थात् \(x^2+2x-255=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+17)=0\) है। धनात्मक मान \(x=15\) लेने पर संख्याएँ 15 और 17 मिलती हैं, और \(15\times17=255\)। परीक्षा-युक्ति: क्रमागत विषम संख्याओं के लिए दूसरी संख्या पहली से 2 अधिक लें, 1 अधिक नहीं। / Let the first odd number be \(x\). The next consecutive odd number is \(x+2\), since consecutive odd numbers differ by 2. Thus, \(x(x+2)=255\), giving \(x^2+2x-255=0\). Factoring, \((x-15)(x+17)=0\), so the positive value is \(x=15\). Therefore, the numbers are 15 and 17, and \(15\times17=255\). Exam tip: for consecutive odd numbers, use a difference of 2, not 1.
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A. \(12\text{ cm}\)
छोटी भुजा की लंबाई \(x\) cm मानें। तब बड़ी भुजा \((x+9)\) cm होगी। क्षेत्रफल के आधार पर \(x(x+9)=252\), अर्थात \(x^2+9x-252=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-12)(x+21)=0\) है, इसलिए \(x=12\) या \(x=-21\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः छोटी भुजा \(12\text{ cm}\) है। परीक्षा-युक्ति: आयत की लंबाइयों के लिए प्राप्त ऋणात्मक मूल को हमेशा अस्वीकार करें। / Let the smaller side be \(x\) cm. Then the larger side is \((x+9)\) cm. Using the area, \(x(x+9)=252\), so \(x^2+9x-252=0\). Factoring gives \((x-12)(x+21)=0\), yielding \(x=12\) or \(x=-21\). Since a length cannot be negative, the smaller side is \(12\text{ cm}\). Exam tip: Always reject a negative root when solving for a physical length.
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The square of a positive number is 22 more than nine times the number. What is the number?
B. 11
संख्या को \(x\) मानने पर \(x^2=9x+22\), अतः \(x^2-9x-22=0\)। गुणनखंड करने पर \((x-11)(x+2)=0\), इसलिए \(x=11\) या \(x=-2\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, \(-2\) अस्वीकार होगा और सही उत्तर 11 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले कथन को द्विघात समीकरण में बदलें और अंत में धनात्मकता जैसी दी गई शर्त अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2=9x+22\), so \(x^2-9x-22=0\). Factoring gives \((x-11)(x+2)=0\), hence \(x=11\) or \(x=-2\). Since the number is positive, \(-2\) is rejected, making 11 the correct answer. Exam tip: Translate the wording into an equation first, then apply the condition that the required number must be positive.
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B. \(15\text{ cm}\)
मान लें कि छोटी भुजा की लंबाई \(x\text{ cm}\) है। तब दूसरी भुजा \((x+5)\text{ cm}\) होगी। पाइथागोरस प्रमेय से \(x^2+(x+5)^2=25^2\), अर्थात \(x^2+5x-300=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-15)(x+20)=0\) है, इसलिए \(x=15\) या \(-20\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः छोटी भुजा \(15\text{ cm}\) है। परीक्षा-युक्ति: अंतिम उत्तर चुनने से पहले दोनों भुजाओं \(15\text{ cm}\) और \(20\text{ cm}\) का वर्ग-जांच अवश्य करें। / Let the shorter leg be \(x\text{ cm}\); then the longer leg is \((x+5)\text{ cm}\). By the Pythagorean theorem, \(x^2+(x+5)^2=25^2\), which simplifies to \(x^2+5x-300=0\). Factoring gives \((x-15)(x+20)=0\), so \(x=15\) or \(-20\). Since a length cannot be negative, the shorter leg is \(15\text{ cm}\). Exam tip: verify the result using \(15^2+20^2=25^2\).
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C. 85
मान लें संख्या \(x\) है। तब \(x^2-40x=3825\), अर्थात् \(x^2-40x-3825=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-85)(x+45)=0\) है, इसलिए \(x=85\) या \(x=-45\)। चूँकि संख्या धनात्मक है, सही उत्तर \(85\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के दोनों हल प्राप्त करने के बाद प्रश्न में दी गई शर्त, जैसे धनात्मक संख्या, अवश्य जाँचें। / Let the number be \(x\). Then \(x^2-40x=3825\), so \(x^2-40x-3825=0\). Factoring gives \((x-85)(x+45)=0\), hence \(x=85\) or \(x=-45\). Since the number is positive, the valid answer is \(85\). Exam tip: After solving a quadratic equation, always apply the condition given in the question, such as positivity, to select the valid root.
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C. 50
धनात्मक संख्या को x मानने पर \((x-14)(x+25)=2700\)। कोष्ठक खोलने और सरल करने पर \(x^2+11x-3050=0\), अर्थात \((x-50)(x+61)=0\)। इसलिए \(x=50\) या \(x=-61\), लेकिन प्रश्न में संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 50 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण से मिले मूलों को प्रश्न की शर्तों, जैसे धनात्मकता, के अनुसार अवश्य जाँचें। / Let the positive number be x. Then \((x-14)(x+25)=2700\). On expanding and simplifying, \(x^2+11x-3050=0\), which factors as \((x-50)(x+61)=0\). Thus, \(x=50\) or \(x=-61\); since the number is specified as positive, the correct answer is 50. Exam tip: Always check the roots of a quadratic against the conditions stated in the word problem, such as positivity.
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C. 44
मूल संख्या को \(x\) मानें। तब \((x-11)(x+20)=2112\), अर्थात \(x^2+9x-2332=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-44)(x+53)=0\) है, इसलिए \(x=44\) या \(x=-53\)। प्रश्न में धनात्मक मूल संख्या माँगी गई है, अतः सही उत्तर 44 है। परीक्षा-युक्ति: ‘कम’ के साथ ऋणात्मक और ‘अधिक’ के साथ धनात्मक चिन्ह लगाएँ, फिर दिए गए धनात्मक प्रतिबंध को लागू करें। / Let the original number be \(x\). Then \((x-11)(x+20)=2112\), which gives \(x^2+9x-2332=0\). Factoring, \((x-44)(x+53)=0\), so \(x=44\) or \(x=-53\). Since the question asks for the positive original number, the answer is 44. Exam tip: use a minus sign for ‘less than’ and a plus sign for ‘more than’, then apply the stated positivity condition.
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C. 37
मूल संख्या को \(x\) मानने पर \((x+8)(x+15)=2340\) मिलता है। विस्तार करने पर \(x^2+23x-2220=0\), अर्थात \((x-37)(x+60)=0\)। इसलिए \(x=37\) या \(x=-60\) हो सकता है, लेकिन प्रश्न में संख्या धनात्मक है, अतः सही उत्तर 37 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में प्राप्त दोनों मूलों को जाँचकर दी गई शर्त के अनुसार सही मूल चुनें। / Let the original number be \(x\). Then \((x+8)(x+15)=2340\), which gives \(x^2+23x-2220=0\), or \((x-37)(x+60)=0\). Thus, \(x=37\) or \(x=-60\); since the number is specified as positive, the correct answer is 37. Exam tip: Always check both roots and select the one satisfying the condition stated in the question.
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B. 28
कुल प्रश्नों की संख्या से \(x(x+22)=1400\) प्राप्त होता है। अतः \(x^2+22x-1400=0\), जिसे गुणनखंडित करने पर \((x-28)(x+50)=0\) मिलता है। इसलिए \(x=28\) या \(x=-50\); लेकिन दिनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक जीवन की समस्याओं में प्राप्त हलों में से संदर्भ के अनुकूल, अर्थात धनात्मक, मान चुनें। / The total number of questions gives \(x(x+22)=1400\). Thus, \(x^2+22x-1400=0\), which factors as \((x-28)(x+50)=0\). Therefore, \(x=28\) or \(x=-50\); since the number of days cannot be negative, the valid answer is 28. Exam tip: In word problems, reject algebraic roots that are impossible in the given context.
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B. 32 मीटर32 m
वर्ग का क्षेत्रफल \(56^2=3136\) वर्ग मीटर है। अतः समान क्षेत्रफल के कारण \(x(x+66)=3136\), यानी \(x^2+66x-3136=0\)। इसका गुणनखंडन \((x-32)(x+98)=0\) है, इसलिए \(x=32\) या \(x=-98\)। लंबाई और चौड़ाई का मान धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x=32\) मीटर सही है। परीक्षा में क्षेत्रफल-आधारित प्रश्नों में ऋणात्मक मूल को ज्यामितीय अर्थ के आधार पर अवश्य अस्वीकार करें। / The square’s area is \(56^2=3136\) square metres. Equating the two areas gives \(x(x+66)=3136\), or \(x^2+66x-3136=0\). Factoring, \((x-32)(x+98)=0\), so \(x=32\) or \(x=-98\). Since a rectangle’s breadth must be positive, \(x=32\) m is the valid answer. In word problems, always reject roots that do not have a meaningful physical interpretation.
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C. 194 सेमी194 cm
मान लें कि चौड़ाई \(x\) सेमी है। तब लंबाई \(x+27\) सेमी होगी और \(x(x+27)=2170\)। अतः \(x^2+27x-2170=0\), जिसका धनात्मक हल \(x=35\) है। इसलिए चौड़ाई 35 सेमी और लंबाई 62 सेमी है। परिमाप \(2(35+62)=194\) सेमी होगा। परीक्षा-युक्ति: आयत के ऐसे प्रश्नों में पहले क्षेत्रफल से द्विघात समीकरण बनाकर धनात्मक मूल चुनें। / Let the breadth be \(x\) cm. Then the length is \(x+27\) cm, so \(x(x+27)=2170\), or \(x^2+27x-2170=0\). The positive solution is \(x=35\), giving breadth 35 cm and length 62 cm. Hence, the perimeter is \(2(35+62)=194\) cm. Exam tip: In rectangle word problems, form the quadratic equation from the area and retain only the positive dimension.
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