Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.
A. \(h=\frac{7}{4}\) या \(h=-\frac{7}{4}\)/\(h=\frac{7}{4}\) or \(h=-\frac{7}{4}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(49-16h^2=0\) चाहिए। इससे \(h^2=\frac{49}{16}\), अतः \(h=\pm\frac{7}{4}\)। / For equal roots \(49-16h^2=0\) is needed. This gives \(h^2=\frac{49}{16}\), hence \(h=\pm\frac{7}{4}\).
द्विघात समीकरण के समान मूल तभी होते हैं जब उसका विविक्तकर \(D=0\) हो। अतः \((m-8)^2=0\), जिससे \(m-8=0\) और \(m=8\) प्राप्त होता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक \(m\) के लिए \((m-8)^2\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is \(D=0\). Therefore, \((m-8)^2=0\), which gives \(m-8=0\) and hence \(m=8\). Option D is incorrect because \((m-8)^2\) is not zero for every real value of \(m\). Exam tip: For equal-root questions, begin by setting the discriminant equal to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-5)\) और \(c=m^2-9m+24\) हैं। इसलिए \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(1-m)=0\), अतः \(m=1\)। परीक्षा-टिप: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) का प्रयोग करें और पूरे विविक्तकर को सरल करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-5)\), and \(c=m^2-9m+24\). Thus, \(D=4(m-5)^2-4(m^2-9m+24)=4(1-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(1-m)=0\), so \(m=1\). Exam tip: For equal-root questions, begin with \(D=0\) and simplify the discriminant carefully.
A. \(\theta=0\) या \(\theta=3\)/\(\theta=0\) or \(\theta=3\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\theta\) और \(c=3\theta\), इसलिए \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\)। अतः \(4\theta(\theta-3)=0\) से \(\theta=0\) या \(\theta=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(\theta=3\) देता है और \(\theta=0\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सीधे \(D=0\) लगाएँ और प्राप्त सभी मान जाँचें। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\theta\), and \(c=3\theta\), so \(D=(-2\theta)^2-4(1)(3\theta)=4\theta(\theta-3)\). Thus, \(4\theta(\theta-3)=0\) gives \(\theta=0\) or \(\theta=3\). Option B is incomplete because it omits \(\theta=0\). Exam tip: For equal roots, set the discriminant directly to zero and check every resulting parameter value.
A. दो वास्तविक और समान \\(D=0\\)/Two real and equal \\(D=0\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), इसलिए \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में समान मूल \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए केवल “अपरिमेय” देखकर विकल्प D चुनना गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=8, b=-4\sqrt{10}, c=5\\), so \\(D=(-4\sqrt{10})^2-4(8)(5)=160-160=0\\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \\(x=\frac{\sqrt{10}}{4}\\), which is irrational; however, option D is still incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: \\(D=0\\) always indicates two equal real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\) और \(c=q\) हैं। अतः \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\)। \(D=0\) रखने पर \(4-7q=0\), इसलिए \(q=\frac{4}{7}\)। विकल्प D में दिया \(q=-3\) मान द्विघात पद का गुणांक शून्य कर देता है, इसलिए वह द्विघात समीकरण नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाएँ और यह भी जाँचें कि \(a\ne0\) हो। / For equal roots, the discriminant must satisfy \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=q+3\), \(b=-2(q-2)\), and \(c=q\). Therefore, \(D=4(q-2)^2-4q(q+3)=4(4-7q)\). Setting \(D=0\) gives \(4-7q=0\), so \(q=\frac{4}{7}\). The value \(q=-3\) in option D makes the coefficient of \(x^2\) zero, so the equation is no longer quadratic. Exam tip: For equal-root questions, set \(D=0\) and also verify that \(a\ne0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-(u+6)\) और \(c=6u\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\)। \((u-6)^2=0\) से \(u=6\) प्राप्त होता है। परीक्षा में समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / Equal roots require the discriminant to be zero. Here, \(a=1\), \(b=-(u+6)\), and \(c=6u\). Thus, \(D=b^2-4ac=(u+6)^2-24u=(u-6)^2\). Setting \(D=0\) gives \(u=6\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\) और \(c=7\), इसलिए \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में समान मूल \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\) है। अतः विकल्प A सही है; विकल्प D में मूलों को असमान बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को हमेशा समान वास्तविक मूलों से जोड़ें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{21}\), and \(c=7\), so \(D=(-2\sqrt{21})^2-4(3)(7)=84-84=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{-b}{2a}=\frac{\sqrt{21}}{3}\). Therefore, option A is correct; option D is wrong because it describes the roots as distinct. Exam tip: Remember that \(D=0\) indicates two equal real roots.
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) को \(y=(x-(k-1))^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसके शून्यक समान हैं और विविक्तकर \(D=0\) है। परवलय का शीर्ष \((k-1,0)\) होता है, इसलिए यह प्रत्येक वास्तविक \(k\) के लिए \(x\)-अक्ष को केवल स्पर्श करता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि स्पर्श करना केवल \(k=1\) तक सीमित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो समान मूल होते हैं और परवलय \(x\)-अक्ष को स्पर्श करता है। / The equation \(y=x^2-2(k-1)x+(k-1)^2\) can be rewritten as \(y=(x-(k-1))^2\). Hence its roots are equal and the discriminant is \(D=0\). The vertex is \((k-1,0)\), so for every real value of \(k\), the parabola touches the \(x\)-axis at exactly one point. Option D is incorrect because this tangency is not restricted to \(k=1\). Exam tip: When \(D=0\), a quadratic has equal roots and its parabola touches the \(x\)-axis.
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। इसलिए \(36-9h^2=0\), जिससे \(9h^2=36\), अर्थात् \(h^2=4\)। अतः \(h=\pm2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 36 का वर्गमूल लेने की भूल होती है और 9 से भाग देना छूट जाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा \(D=b^2-4ac=0\) रखें। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Thus, \(36-9h^2=0\), giving \(9h^2=36\) and hence \(h^2=4\). Therefore, \(h=\pm2\), so option A is correct. Option B results from taking the square root of 36 without properly dividing by 9. Exam tip: For equal roots, always set \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त \(D=0\) है। इसलिए \((w+2)^2=0\), जिससे \(w+2=0\) और \(w=-2\) प्राप्त होता है। \(w=2\) रखने पर विविक्तकर \(16\) होगा, इसलिए मूल समान नहीं होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) से समान मूल, \(D>0\) से दो भिन्न वास्तविक मूल और \(D<0\) से कोई वास्तविक मूल नहीं मिलता। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is \(D=0\). Thus, \((w+2)^2=0\), which gives \(w+2=0\) and hence \(w=-2\). The distractor \(w=2\) gives \(D=16\), leading to two distinct real roots, not equal roots. Exam tip: remember that \(D=0\) indicates equal roots, \(D>0\) indicates two distinct real roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
यहाँ (D=4(3k-1)2-8(k+1)2=4\(7k^2-10k-1\)) नहीं, यह विकल्प जाँचने योग्य है। सही समान मूल के लिए सीधे (D=0) हल करें। / Here (D=4(3k-1)2-8(k+1)2). For equal roots, solve (D=0) directly and avoid mental shortcuts.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\)। अतः \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। \(D=0\) रखने पर \(4(2-m)=0\), इसलिए \(m=2\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, \(D=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). Setting \(D=0\) gives \(4(2-m)=0\), so \(m=2\). Exam tip: whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \(D=0\).
समीकरण में \(a=1\), \(b=-2\mu\) और \(c=2\mu\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। अतः \(D=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)=0\), जिससे \(\mu=0\) या \(\mu=2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। केवल \(\mu=2\) या केवल \(\mu=0\) कहना अधूरा है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण के लिए हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-2\mu\), and \(c=2\mu\). A quadratic equation has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Thus, \(D=4\mu^2-8\mu=4\mu(\mu-2)=0\), giving \(\mu=0\) or \(\mu=2\). Hence, option A is correct. Choosing only \(\mu=2\) or only \(\mu=0\) omits one valid value. Exam tip: For equal roots, set the discriminant equal to zero.
A. दो वास्तविक और समान मूल (\(D=0\))/Two real and equal roots (\(D=0\))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a=7, b=-2\(\sqrt{21}\) और c=3 हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{21})^2-4(7)(3)=84-84=0\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(x=\frac{\sqrt{21}}{7}\) है। विकल्प D में 84 को विविक्तकर समझ लिया गया है; 84 केवल \(b^2\) का मान है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here, a=7, b=-2\(\sqrt{21}\), and c=3. Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{21})^2-4(7)(3)=84-84=0\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(x=\frac{\sqrt{21}}{7}\). Option D incorrectly treats 84, which is only the value of \(b^2\), as the discriminant. Exam tip: \(D=0\) always indicates two equal real roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) है। यहाँ \\(a=q+2\\), \\(b=-2(q-1)\\) और \\(c=q\\) हैं। इसलिए \\(D=4(q-1)^2-4q(q+2)=4(1-4q)\\)। \\(D=0\\) रखने पर \\(1-4q=0\\), अतः \\(q=\\frac14\\)। विकल्प \\(q=1\\) पर विविक्तकर शून्य नहीं है, जबकि \\(q=-2\\) में द्विघात पद समाप्त हो जाता है और यह दिए गए प्रतिबंध के कारण भी मान्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल के प्रश्नों में सबसे पहले \\(D=0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), equal roots occur when the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Here, \\(a=q+2\\), \\(b=-2(q-1)\\), and \\(c=q\\). Thus, \\(D=4(q-1)^2-4q(q+2)=4(1-4q)\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(1-4q=0\\), so \\(q=\\frac14\\). At \\(q=1\\), the discriminant is not zero, while \\(q=-2\\) removes the quadratic term and is also excluded by the condition. Exam tip: For equal roots, begin by setting the discriminant equal to zero.
यहाँ (D=4(q-1)2-4q(q+2)=4(1-4q)) है। (D=0) से \(q=\frac{1}{4}\) नहीं, सही गणना जाँचें। / Here (D=4(q-1)2-4q(q+2)=4(1-4q)). Setting (D=0) gives \(q=\frac{1}{4}\), so calculate carefully.
समीकरण में \(a=1\), \(b=-(s+4)\) और \(c=4s\) हैं। समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। अतः \(D=(s+4)^2-16s=s^2-8s+16=(s-4)^2\)। इसलिए \((s-4)^2=0\), जिससे \(s=4\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(s=0\) रखने पर \(D=16\) आता है, इसलिए वह समान मूलों की स्थिति नहीं है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=-(s+4)\), and \(c=4s\). Equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Thus, \(D=(s+4)^2-16s=s^2-8s+16=(s-4)^2\). Therefore, \((s-4)^2=0\), giving \(s=4\). The distractor \(s=0\) is incorrect because it gives \(D=16\), not zero. Exam tip: for equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल \\(\\Delta=0\\)/Two real and equal roots \\(\\Delta=0\\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=5\\), \\(b=-2\\sqrt{30}\\) और \\(c=6\\) हैं। अतः विविक्तकर \\(\\Delta=b^2-4ac=(-2\\sqrt{30})^2-4(5)(6)=120-120=0\\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। विकल्प D में \\(\\Delta>0\\) मानकर मूलों को असमान बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \\(\\Delta=0\\) का अर्थ हमेशा दो समान वास्तविक मूल होता है। / Here, \\(a=5\\), \\(b=-2\\sqrt{30}\\), and \\(c=6\\). Therefore, the discriminant is \\(\\Delta=b^2-4ac=(-2\\sqrt{30})^2-4(5)(6)=120-120=0\\). Hence, the roots are real and equal. Option D is incorrect because \\(\\Delta>0\\) would indicate distinct roots. Exam tip: For a quadratic equation, \\(\\Delta=0\\) always means two equal real roots.
A. दो वास्तविक और समान/Two real and equal, \(\Delta=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-6\sqrt{2}\) और \(c=9\) हैं। अतः विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=(-6\sqrt{2})^2-4(2)(9)=72-72=0\)। जब \(\Delta=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में समान मूल \(x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) है। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प B और D के लिए विभेदक धनात्मक होना चाहिए, जबकि यहाँ यह शून्य है। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(\Delta\) का चिन्ह जाँचें। / Here, \(a=2\), \(b=-6\sqrt{2}\), and \(c=9\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-6\sqrt{2})^2-4(2)(9)=72-72=0\). When \(\Delta=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. In fact, the repeated root is \(x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\). Hence, option A is correct; options B and D require a positive discriminant, whereas the discriminant here is zero. Exam tip: To determine the nature of roots, first check the sign of \(\Delta\).
A. केवल एक बिंदु पर स्पर्श करेगा/It will touch at exactly one point
Explanation
Simple Explanation
दिया गया समीकरण \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\) है। x-अक्ष पर \(y=0\), इसलिए \((x-k)^2=0\), जिससे \(x=k\) का एक दोहराया हुआ मूल मिलता है। अतः परवलय x-अक्ष को केवल एक बिंदु \((k,0)\) पर स्पर्श करता है। दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ सदैव समान मूल और x-अक्ष को स्पर्श करना होता है। / The equation can be written as \(y=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\). On the x-axis, \(y=0\), so \((x-k)^2=0\), giving the repeated root \(x=k\). Therefore, the parabola touches the x-axis at exactly one point, \((k,0)\), for every real value of \(k\). It does not cut the axis at two distinct points because that would require \(D>0\), whereas here \(D=0\). Exam tip: for a quadratic, \(D=0\) indicates equal roots and tangency to the x-axis.
A. \(q=\frac{5}{2}\) या \(q=-\frac{5}{2}\)/\(q=\frac{5}{2}\) or \(q=-\frac{5}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
समान मूलों के लिए \(25-4q^2=0\) होना चाहिए। इससे \(q^2=\frac{25}{4}\), अतः \(q=\pm\frac{5}{2}\)। / For equal roots \(25-4q^2=0\) is needed. This gives \(q^2=\frac{25}{4}\), hence \(q=\pm\frac{5}{2}\).
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की आवश्यक शर्त विविक्तकर D = 0 है। इसलिए (s − 2)2 = 0, जिससे s − 2 = 0 और s = 2 प्राप्त होता है। s = −2 लेने पर विविक्तकर 16 हो जाएगा, जो दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा D = 0 याद रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is D = 0. Hence, (s − 2)2 = 0, which gives s − 2 = 0 and therefore s = 2. If s = −2, the discriminant becomes 16, indicating two distinct real roots. Exam tip: remember that equal roots require D = 0.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की आवश्यक और पर्याप्त शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। विकल्प A में \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\) और \(c=25\) हैं, इसलिए \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\)। अतः इसके दोनों मूल समान हैं। उदाहरण के लिए, विकल्प B में \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), इसलिए उसके वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल पहचानने के लिए पूरी quadratic formula लगाने के बजाय सीधे \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots occur if and only if the discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. In option A, \(a=7\), \(b=-10\sqrt{7}\), and \(c=25\), so \(D=(-10\sqrt{7})^2-4(7)(25)=700-700=0\). Hence, its two roots are equal. For instance, option B has \(D=(-9\sqrt{7})^2-700=-133\), so it does not have real roots. Exam tip: To identify equal roots, check \(D=0\) directly instead of using the full quadratic formula.
A. \(k=1+\sqrt{3}\) या \(k=1-\sqrt{3}\)/\(k=1+\sqrt{3}\) or \(k=1-\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\) और \(c=(k+1)^2\) हैं। अतः \(D=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\)। इसलिए \(k^2-2k-2=0\), जिससे \(k=1\pm\sqrt{3}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में मिलने वाले मान गलत गुणनखंडन से आते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=3\), \(b=-2(2k+1)\), and \(c=(k+1)^2\). Thus, \(D=4(2k+1)^2-12(k+1)^2=4(k^2-2k-2)\). Setting this equal to zero gives \(k^2-2k-2=0\), so \(k=1\pm\sqrt{3}\). The values in option B result from incorrect factorisation. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=1\\), \\(b=2(m-2)\\) और \\(c=m^2-3m+4\\) हैं। अतः \\(D=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\\)। \\(D=0\\) रखने पर \\(m=0\\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=1\\), \\(b=2(m-2)\\), and \\(c=m^2-3m+4\\). Therefore, \\(D=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\\). Setting \\(D=0\\) gives \\(m=0\\). Exam tip: Whenever equal roots are mentioned, immediately use \\(b^2-4ac=0\\).
A. \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)/\(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\lambda\) और \(c=\lambda\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\)। अतः \(D=0\) के लिए \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(\lambda=0\) छूट गया है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\lambda\), and \(c=\lambda\), so \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\). Setting \(D=0\) gives \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\). Hence, option A is correct. Option B is incomplete because it omits \(\lambda=0\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
A. दो वास्तविक और समान मूल/Two real and equal roots \(D=0\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3\), \(b=-2\sqrt{6}\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4(3)(2)=24-24=0\)। जब \(D=0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: \(D<0\) होने पर ही कोई वास्तविक मूल नहीं होता, जबकि \(D=0\) समान मूलों को दर्शाता है। / Here, \(a=3\), \(b=-2\sqrt{6}\), and \(c=2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2\sqrt{6})^2-4(3)(2)=24-24=0\). When \(D=0\), the quadratic equation has two real and equal roots. Hence, option A is correct. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, while \(D=0\) specifically indicates equal real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k\), \(b=-2(k+1)\) और \(c=k+3\) हैं। अतः \(D=4(k+1)^2-4k(k+3)=4(1-k)\)। \(D=0\) रखने पर \(k=1\) प्राप्त होता है, और यह \(k\neq0\) की शर्त को भी संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरणों में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-2(k+1)\), and \(c=k+3\). Therefore, \(D=4(k+1)^2-4k(k+3)=4(1-k)\). Setting \(D=0\) gives \(k=1\), which also satisfies \(k\neq0\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, apply \(D=0\) directly.
