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Subjects
Class 10 Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Expert Level 39

समीकरण \(x^2-2(3+\sqrt{5})x+(14+6\sqrt{5})=0\) के मूलों की प्रकृति क्या है?

What is the nature of the roots of the equation \(x^2-2(3+\sqrt{5})x+(14+6\sqrt{5})=0\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. दो वास्तविक और समानTwo real and equal

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.

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समीकरण \(x^2-2(3+\sqrt{5})x+(14+6\sqrt{5})=0\) के मूलों की प्रकृति क्या है? / What is the nature of the roots of the equation \(x^2-2(3+\sqrt{5})x+(14+6\sqrt{5})=0\)?

Correct Answer: A. दो वास्तविक और समान / Two real and equal. Explanation: यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\) और \(c=14+6\sqrt{5}\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), क्योंकि \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। वास्तव में दोहराया हुआ मूल \(3+\sqrt{5}\) है, जो अपरिमेय है; इसलिए विकल्प D में दिया गया ‘असमान’ कथन गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-2(3+\sqrt{5})\), and \(c=14+6\sqrt{5}\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(3+\sqrt{5})^2-4(14+6\sqrt{5})=0\), since \((3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5}\). Hence, the roots are real and equal. In fact, the repeated root is \(3+\sqrt{5}\), which is irrational; therefore, option D is incorrect because it says the roots are distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates two real and equal roots.