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parameter-based questions MCQ Questions for Class 10

parameter-based questions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.

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Practice Questions

8 questions tagged with parameter-based questions.

Question 1/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 39

समीकरण \\(4x^2-2(5k-1)x+(k+2)^2=0\\) के समान मूल होने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण सही है?

Which of the following equations must be satisfied for the roots of \\(4x^2-2(5k-1)x+(k+2)^2=0\\) to be equal?

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Correct Answer

A. 24k-2-14k-3=0

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में समान मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होना चाहिए। यहाँ \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\) और \\(c=(k+2)^2\\) हैं। इसलिए \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। अतः \\(D=0\\) से \\(24k^2-14k-3=0\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में विविक्तकर के विस्तार में गणना की त्रुटि है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \\(b^2-4ac=0\\) लिखें। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero: \\(D=b^2-4ac=0\\). Here, \\(a=4\\), \\(b=-2(5k-1)\\), and \\(c=(k+2)^2\\). Thus, \\(D=4(5k-1)^2-16(k+2)^2=4(24k^2-14k-3)\\)। Setting \\(D=0\\) gives \\(24k^2-14k-3=0\\), so option A is correct. Option B results from an expansion error while simplifying the discriminant. Exam tip: For equal roots, immediately apply \\(b^2-4ac=0\\).

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Question 2/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 38

यदि समीकरण \(x^2+2(m-4)x+(m^2-7m+14)=0\) के मूल वास्तविक हों, तो \(m\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the roots of the equation \(x^2+2(m-4)x+(m^2-7m+14)=0\) are real, which condition on \(m\) is correct?

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Correct Answer

A. \(m\leq 2\)

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-4)\) और \(c=m^2-7m+14\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\)। वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) होना चाहिए, इसलिए \(4(2-m)\geq0\), अर्थात् \(m\leq2\)। ध्यान रखें कि \(D=0\) पर दो समान वास्तविक मूल भी वास्तविक मूल माने जाते हैं; इसलिए सीमा \(m=2\) शामिल है। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-4)\), and \(c=m^2-7m+14\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-4)^2-4(m^2-7m+14)=4(2-m)\). For real roots, \(D\geq0\), so \(4(2-m)\geq0\), which gives \(m\leq2\). Remember that \(D=0\) gives two equal real roots, so the boundary value \(m=2\) is included.

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Question 3/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि समीकरण \(x^2-2(a-1)x+(a^2+1)=0\) के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं, तो \(a\) के लिए कौन-सी शर्त सही है?

If the equation \(x^2-2(a-1)x+(a^2+1)=0\) has no real roots, which condition on \(a\) is correct?

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Correct Answer

A. \(a>0\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(a-1)]^2-4(a^2+1)=4(a-1)^2-4(a^2+1)=-8a\)। अतः \(-8a<0\), जिससे \(a>0\) प्राप्त होता है। \(a=0\) पर \(D=0\) होगा और दोनों मूल वास्तविक तथा समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ दिखे तो सबसे पहले \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(a-1)]^2-4(a^2+1)=4(a-1)^2-4(a^2+1)=-8a\). Therefore, \(-8a<0\), which gives \(a>0\). For \(a=0\), \(D=0\), so the equation has two real and equal roots. Exam tip: whenever ‘no real roots’ is stated, immediately apply the condition \(D<0\).

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Question 4/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = (s − 2)2 है। समान मूल प्राप्त होने के लिए s का मान क्या होना चाहिए?

The discriminant of a quadratic equation is D = (s − 2)2. What must be the value of s for the equation to have equal roots?

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Correct Answer

A. s = 2

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के समान मूल होने की आवश्यक शर्त विविक्तकर D = 0 है। इसलिए (s − 2)2 = 0, जिससे s − 2 = 0 और s = 2 प्राप्त होता है। s = −2 लेने पर विविक्तकर 16 हो जाएगा, जो दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के लिए हमेशा D = 0 याद रखें। / A quadratic equation has equal roots only when its discriminant is D = 0. Hence, (s − 2)2 = 0, which gives s − 2 = 0 and therefore s = 2. If s = −2, the discriminant becomes 16, indicating two distinct real roots. Exam tip: remember that equal roots require D = 0.

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Question 5/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

समीकरण \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\) के मूल समान होने के लिए \(\lambda\) के मान कौन-से हैं?

For which values of \(\lambda\) does the equation \(x^2-2\lambda x+\lambda=0\) have equal roots?

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Correct Answer

A. \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)\(\lambda=0\) or \(\lambda=1\)

Explanation

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द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\lambda\) और \(c=\lambda\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\)। अतः \(D=0\) के लिए \(\lambda=0\) या \(\lambda=1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(\lambda=0\) छूट गया है। परीक्षा-टिप: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(a=1\), \(b=-2\lambda\), and \(c=\lambda\), so \(D=b^2-4ac=4\lambda^2-4\lambda=4\lambda(\lambda-1)\). Setting \(D=0\) gives \(\lambda=0\) or \(\lambda=1\). Hence, option A is correct. Option B is incomplete because it omits \(\lambda=0\). Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).

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Question 6/8 Expert Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

समीकरण \(x^2-(m+3)x+3m=0\) के दो वास्तविक और अलग-अलग मूल होने के लिए \(m\) की कौन-सी शर्त आवश्यक है?

What condition on \(m\) is necessary for the equation \(x^2-(m+3)x+3m=0\) to have two real and distinct roots?

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Correct Answer

A. \(m\ne 3\)

Explanation

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द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और अलग-अलग मूलों के लिए विविक्तकर \(D>0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\)। यह मान \(m=3\) पर शून्य और अन्य सभी मानों पर धनात्मक होता है। इसलिए आवश्यक शर्त \(m\ne3\) है। विकल्प B में मूल वास्तविक तो होंगे, लेकिन समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: अलग-अलग मूलों के लिए हमेशा \(D>0\), समान मूलों के लिए \(D=0\), और अवास्तविक मूलों के लिए \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has two real and distinct roots only when its discriminant satisfies \(D>0\). Here, \(D=(m+3)^2-4(1)(3m)=m^2-6m+9=(m-3)^2\). This is zero when \(m=3\) and positive for every other real value of \(m\). Therefore, the required condition is \(m\ne3\). In option B, the roots are real but equal, not distinct. Exam tip: use \(D>0\) for distinct real roots, \(D=0\) for equal roots, and \(D<0\) for non-real roots.

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Question 7/8 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि a और b वास्तविक नियतांक हैं, तो समीकरण \(x^2-(a+b)x+ab=0\) के दोनों मूल समान कब होंगे?

If a and b are real constants, when will the two roots of \(x^2-(a+b)x+ab=0\) be equal?

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Correct Answer

A. \(a=b\)

Explanation

Simple Explanation

द्विघात समीकरण के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) है। चूँकि a और b वास्तविक हैं, \((a-b)^2=0\) तभी होगा जब \(a=b\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले \(D=0\) लगाकर शर्त निकालें; केवल \(a+b=0\) या \(ab=1\) समान मूल होने की आवश्यक शर्त नहीं हैं। / A quadratic equation has equal roots when its discriminant is zero. Here, \(D=(a+b)^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Since a and b are real, \((a-b)^2=0\) only when \(a=b\). Therefore, option A is correct. Exam tip: set \(D=0\) first; conditions such as \(a+b=0\) or \(ab=1\) do not generally imply equal roots.

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Question 8/8 Hard Mathematics Quadratic Equations Nature of Roots Class 10 Level 37

यदि p कोई वास्तविक संख्या है, तो समीकरण x² + 2x + (p² + 2) = 0 के मूलों की प्रकृति के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If p is a real number, which statement correctly describes the nature of the roots of the equation x² + 2x + (p² + 2) = 0?

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Correct Answer

A. किसी भी वास्तविक p के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होगाIt will have no real roots for any real p

Explanation

Simple Explanation

यहाँ a = 1, b = 2 और c = p² + 2 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1)। किसी भी वास्तविक p के लिए p² + 1 > 0, इसलिए D < 0 होता है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि p = 0 पर भी D = −4 रहता है, शून्य नहीं। परीक्षा-युक्ति: D < 0 होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, a = 1, b = 2, and c = p² + 2. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4 − 4(p² + 2) = −4(p² + 1). For every real p, p² + 1 > 0, so D < 0; hence the equation has no real roots. Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because even when p = 0, D = −4, not zero. Exam tip: A quadratic equation has no real roots whenever its discriminant is negative.

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