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द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर Δ < 0 होना चाहिए। यहाँ Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2)। अतः −8(a + 2) < 0 से a + 2 > 0, इसलिए a > −2। a = −2 पर Δ = 0 होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले Δ का सरलीकरण करें और फिर उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies Δ < 0. Here, Δ = [−2(a + 1)]² − 4(a² + 4a + 5) = −8(a + 2). Thus, −8(a + 2) < 0 gives a + 2 > 0, so a > −2. When a = −2, Δ = 0, giving two equal real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
द्विघात समीकरण का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2r\) और \(c=r^2+49\), इसलिए \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\)। अतः \(r\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2r\), and \(c=r^2+49\), so \(D=(-2r)^2-4(1)(r^2+49)=-196<0\). Therefore, for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not possible here. Exam tip: a quadratic equation with real coefficients has no real roots whenever its discriminant is negative.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर D < 0 होना चाहिए। अतः (z − 9)(z + 1) < 0। इस गुणनफल का मान दोनों शून्यकों −1 और 9 के बीच ऋणात्मक होता है, इसलिए −1 < z < 9। विकल्प B में D > 0 होता है, जिससे दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं; जबकि सिरों z = −1 और z = 9 पर D = 0 होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: गुणनफल के दो रैखिक गुणकों के बीच का अंतराल जाँचने के लिए किसी एक मान, जैसे z = 0, पर चिन्ह अवश्य जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies D < 0. Therefore, (z − 9)(z + 1) < 0. This product is negative between its zeros, −1 and 9, so −1 < z < 9. In option B, D > 0, which gives two distinct real roots; at z = −1 or z = 9, D = 0, which gives equal real roots. Exam tip: For a product of two linear factors, test a value such as z = 0 to confirm the sign in the interval between the zeros.
यहाँ \(a=1\), \(b=-2p\) और \(c=p^2+36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\) है, जो प्रत्येक वास्तविक \(p\) के लिए ऋणात्मक रहता है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। समान वास्तविक मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जबकि यहाँ \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) सीधे तौर पर कोई वास्तविक मूल न होने को दर्शाता है। / Here, \(a=1\), \(b=-2p\), and \(c=p^2+36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2p)^2-4(p^2+36)=-144\), which remains negative for every real value of \(p\). Hence, the equation has no real roots. Equal real roots would require \(D=0\), whereas here \(D<0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) immediately indicates that there are no real roots.
यहाँ a = 1, b = 2(m − 5) और c = m² − 9m + 24 हैं। अतः विविक्तकर D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 होना चाहिए, इसलिए 4(1 − m) < 0 से m > 1 प्राप्त होता है। m = 1 पर D = 0 होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं; अतः विकल्प C गलत है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त हमेशा D < 0 याद रखें। / Here, a = 1, b = 2(m − 5), and c = m² − 9m + 24. Therefore, the discriminant is D = b² − 4ac = 4(m − 5)² − 4(m² − 9m + 24) = 4(1 − m). For the equation to have no real roots, D must be less than zero. Thus, 4(1 − m) < 0 gives m > 1. When m = 1, D = 0, so the equation has two equal real roots; hence option C is incorrect. Exam tip: For a quadratic equation, remember that no real roots occur when D < 0.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-75))/No real roots ((D=-75))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-3\sqrt{5}\)2-4(5)(6)=45-120=-75) है। ऋणात्मक (D) के कारण वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=\(-3\sqrt{5}\)2-4(5)(6)=45-120=-75). Because (D) is negative, there are no real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में यहाँ \(b=0\) तथा \(a<0, c<0\) हैं, इसलिए \(ac>0\)। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\) होगा। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For the quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), here \(b=0\) and \(a<0, c<0\), so \(ac>0\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0-4ac<0\), which means that the equation has no real roots. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: if \(D<0\), the roots are not real.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\)। इसलिए \(4(v^2-7)<0\), अर्थात् \(v^2<7\), जिससे \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(D>0\) होता है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में \(D=0\) होता है और समान वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(v+2)]^2-4(4v+11)=4(v^2-7)\). Thus \(4(v^2-7)<0\), or \(v^2<7\), which gives \(-\sqrt{7}<v<\sqrt{7}\). In option B, \(D>0\), so there are two distinct real roots; in option C, \(D=0\), so there is one repeated real root. Exam tip: For ‘no real roots,’ directly apply the condition \(D<0\).
यहाँ (D=4(v+2)2-4(4v+11)=4\(v^2-7\)) नहीं, सही रूप (4\(v^2-7\)) नहीं है। परीक्षा में विस्तार सावधानी से करें। / Here (D=4(v+2)2-4(4v+11)) must be expanded carefully. Always verify the middle term before solving the interval.
यहाँ (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-4)2-4\(k^2-10k+27\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
यहाँ \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=50\) केवल \((-5\sqrt{2})^2\) को विविक्तकर समझने की गलती से मिलता है; उसमें \(-4ac\) घटाना आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-5\sqrt{2}\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4(2)(8)=50-64=-14\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from treating \((-5\sqrt{2})^2=50\) as the discriminant and forgetting to subtract \(4ac\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are not real.
क्योंकि \( p\ne 1 \), इसलिए ( (p-1)2>0 ) होगा। अतः ( D=-(p-1)2<0 )। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते; इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें: ( D=0 ) पर मूल वास्तविक और समान होते हैं, जबकि ( D>0 ) पर वे वास्तविक और असमान होते हैं। / Since \( p\ne 1 \), we have ( (p-1)2>0 ). Therefore, ( D=-(p-1)2<0 ). A negative discriminant means that the quadratic equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: ( D=0 ) gives real and equal roots, while ( D>0 ) gives real and distinct roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\) और \(c=9\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\)। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B में समान वास्तविक मूल के लिए आवश्यक \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=2(2-\sqrt{5})\), and \(c=9\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(2-\sqrt{5})^2-36=4(9-4\sqrt{5})-36=-16\sqrt{5}<0\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because two equal real roots require \(D=0\). Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\) और \(c=5t^2+2t+4\) हैं। इसलिए \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\)। अतः \((2t-1)(2t+3)<0\), जिससे \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, कोई वास्तविक मूल न होने की स्थिति नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) में गुणनखंडों के बीच का अंतराल चुनें, यदि अग्रणी गुणांक धनात्मक हो। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2(3t+1)\), and \(c=5t^2+2t+4\). Thus, \(D=4(3t+1)^2-4(5t^2+2t+4)=4(2t-1)(2t+3)\). Therefore, \((2t-1)(2t+3)<0\), which gives \(-\frac{3}{2}<t<\frac{1}{2}\). At the endpoints, \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: for a positive leading coefficient, a factored quadratic is negative between its two distinct roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-38))/No real roots ((D=-38))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-3\sqrt{2}\)2-4(2)(7)=18-56=-38) है। ऋणात्मक (D) के कारण वास्तविक मूल नहीं हैं। / Here (D=\(-3\sqrt{2}\)2-4(2)(7)=18-56=-38). Because (D) is negative, there are no real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(t+1)\) और \(c=3t+7\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(t+1)^2-4(3t+7)=4(t-3)(t+2)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \((t-3)(t+2)<0\), जिससे \(-2<t<3\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि वह सही शून्यों से प्राप्त अंतराल नहीं है; सिरों \(t=-2,3\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में वास्तविक मूल न होने की पहचान हमेशा \(D<0\) से करें। / Here, \(a=1\), \(b=2(t+1)\), and \(c=3t+7\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(t+1)^2-4(3t+7)=4(t-3)(t+2)\). An equation has no real roots when \(D<0\), so \((t-3)(t+2)<0\), giving \(-2<t<3\). Option B is incorrect because it does not come from the zeros \(-2\) and \(3\); at the endpoints \(t=-2,3\), \(D=0\) and the equation has equal real roots. Exam tip: For a quadratic equation, use \(D<0\) to identify the condition for no real roots.
यहाँ (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)) है। (D<0) से (-2<t<3) नहीं, गुणनखंड फिर से जाँचें। / Here (D=4(t+1)2-4(3t+7)=4\(t^2-t-6\)). For (D<0), factor again carefully before selecting the interval.
यहाँ (D=4(k-3)2-4\(k^2-8k+20\)=4(2k-11)) है। कोई वास्तविक मूल नहीं के लिए (D<0), इसलिए \(k<\frac{11}{2}\)। / Here (D=4(k-3)2-4\(k^2-8k+20\)=4(2k-11)). For no real roots (D<0), so \(k<\frac{11}{2}\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। अतः \((u+1)(u-5)<0\)। इस गुणनफल के दोनों रैखिक गुणनखंडों के शून्यक \(-1\) और \(5\) हैं, इसलिए गुणनफल इनके बीच ऋणात्मक होता है और \(-1<u<5\) मिलता है। सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले विविक्तकर की शर्त लिखकर संख्या रेखा पर शून्यकों के बीच का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Therefore, \((u+1)(u-5)<0\). The zeros of the two factors are \(-1\) and \(5\), and their product is negative between these values, giving \(-1<u<5\). At the endpoints, \(D=0\), so the equation has two equal real roots. Exam tip: First write the required discriminant condition, then check the sign of the product between its critical values.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(m-2)\) और \(c=m^2-3m+4\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(-4m<0\), अर्थात \(m>0\)। ध्यान रखें कि \(m=0\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने पर हमेशा \(D<0\) लगाएँ। / Here, \(a=1\), \(b=2(m-2)\), and \(c=m^2-3m+4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(m-2)^2-4(m^2-3m+4)=-4m\). For the equation to have no real roots, \(D<0\), so \(-4m<0\), which gives \(m>0\). Note that when \(m=0\), \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: For a quadratic equation with no real roots, directly apply the condition \(D<0\).
A. \(\frac{4-2\sqrt{6}}{3}<t<\frac{4+2\sqrt{6}}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)) है। (D<0) से दिए गए दोनों मूलों के बीच का अंतराल मिलता है। / Here (D=4(2t-1)2-4\(t^2+2\)=4\(3t^2-4t-1\)). From (D<0), the interval between the two boundary roots is obtained.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D=-46))/No real roots ((D=-46))
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=\(-5\sqrt{2}\)2-4(2)(12)=50-96=-46) है। ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ कोई वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=\(-5\sqrt{2}\)2-4(2)(12)=50-96=-46). A negative discriminant means no real roots.
यहाँ (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)) नहीं, सही सरल रूप (4\(k^2-3k-4\)) है। (D<0) से (0<k<3) नहीं मिलता, इसलिए गुणनखंड जाँचें। / Here (D=4(k-1)2-4(k+5)=4\(k^2-3k-4\)). Use (D<0) and factor carefully before choosing the interval.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \(\Delta=-4\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\) और \(c=6\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\) है। चूँकि \(\Delta<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूल वास्तविक नहीं होते; \(\Delta=0\) होने पर ही मूल वास्तविक और समान होते हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2\sqrt{5}\), and \(c=6\). Thus, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{5})^2-4(1)(6)=20-24=-4\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: a negative discriminant means the roots are non-real; equal real roots occur only when \(\Delta=0\).
यहां (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D) का चिह्न अंतिम निर्णय देता है। / Here (D=(-8)2-4\cdot8\cdot3=-32), so there are no real roots. In exams, the sign of (D) gives the final decision.
यहां (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में छोटे \(b^2\) और बड़े (4ac) से (D<0) हो सकता है। / Here (D=(-3)2-4\cdot10\cdot2=-71), so it has no real roots. In exams, small \(b^2\) and large (4ac) can make (D<0).
यहां (D=(-4)2-4\cdot3\cdot2=-8), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D) ऋणात्मक हो तो वास्तविक संख्या रेखा पर कटाव नहीं होता। / Here (D=(-4)2-4\cdot3\cdot2=-8), so there are no real roots. In exams, negative (D) means no intersection on the real number line.
यहां \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=-31\), इसलिए (D<0) है। परीक्षा में (D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here \(D=3^2-4\cdot2\cdot5=-31\), so (D<0). In exams, (D<0) means there are no real roots.
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-2(k-2)\) और \(c=k^2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\)। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(16(1-k)<0\), अर्थात् \(k>1\)। ध्यान दें कि \(k=1\) पर \(D=0\) होता है और दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) का अर्थ है कि मूल वास्तविक नहीं हैं। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=-2(k-2)\), and \(c=k^2\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=4(k-2)^2-4k^2=16(1-k)\). No real roots require \(D<0\), so \(16(1-k)<0\), which gives \(k>1\). At \(k=1\), however, \(D=0\), giving two equal real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) indicates that the roots are non-real.
यहाँ \(a=5, b=-14, c=11\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D में \(D=24\) लिया गया है, जो गणना में चिह्न की गलती के कारण आता है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं, \(D=0\) पर समान और \(D>0\) पर असमान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=5, b=-14, c=11\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-14)^2-4(5)(11)=196-220=-24\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option D results from a sign error that gives \(D=24\). Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means distinct real roots.
