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द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=12, c=37\), इसलिए \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो समान वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=12, c=37\), so \(D=12^2-4(1)(37)=144-148=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. The condition \(D=0\), given in option B, would instead indicate two equal real roots. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=1, c=4\), इसलिए \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D<0\) का अर्थ वास्तविक मूलों का न होना, जबकि \(D=0\) का अर्थ दो समान वास्तविक मूल होना है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=1, c=4\), so \(D=1^2-4(3)(4)=1-48=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates two equal real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \((D=-47)\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=3\) और \(c=2\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विविक्तकर ऋणात्मक है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले \(D=b^2-4ac\) का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=3\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(7)(2)=9-56=-47\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: To determine the nature of the roots, first calculate the sign of \(D=b^2-4ac\).
A. कथन गलत है, कारण सही है/Assertion is wrong, reason is correct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-6)2-4(1)(11)=-8) है। (D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए कथन गलत है। / Here (D=(-6)2-4(1)(11)=-8). Since (D<0), real roots do not exist, so the assertion is wrong.
A. परवलय (x)-अक्ष को नहीं काटता/The parabola does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(D<0) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। ग्राफ में इसका अर्थ है (x)-अक्ष से कोई कटाव नहीं। / When (D<0), there are no real roots. In graph form it means no intersection with the (x)-axis.
द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\) हैं। इसका विविक्तकर \(D=b^2-4ac=36-4k\) होगा। कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) होना चाहिए, इसलिए \(36-4k<0\), अर्थात् \(k>9\)। \(k=9\) पर एक समान वास्तविक मूल मिलता है, जबकि \(k<9\) पर दो वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For this quadratic equation, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\). Its discriminant is \(D=b^2-4ac=36-4k\). No real roots occur when \(D<0\), so \(36-4k<0\), which gives \(k>9\). At \(k=9\), the equation has one repeated real root, while \(k<9\) gives two real roots. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D=-19)\)/No real roots \((D=-19)\)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5, b=1, c=1\), इसलिए \(D=1^2-4(5)(1)=-19\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) पर वास्तविक मूल नहीं, \(D=0\) पर समान वास्तविक मूल और \(D>0\) पर दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5, b=1, c=1\), so \(D=1^2-4(5)(1)=-19\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; therefore, option A is correct. Exam tip: \(D<0\) means no real roots, \(D=0\) means equal real roots, and \(D>0\) means two distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=11, c=31\), इसलिए \(D=11^2-4(1)(31)=121-124=-3\)। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। ध्यान रखें: \(D=0\) होने पर ही दो वास्तविक और समान मूल प्राप्त होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=11, c=31\), so \(D=11^2-4(1)(31)=121-124=-3\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: two real and equal roots occur only when \(D=0\), not when the discriminant is negative.
दिए गए समीकरण में \(a=2\), \(b=-1\) और \(c=2\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\) है। क्योंकि \(D<0\), इसलिए इस द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(D\) का मान निकालकर उसका चिह्न देखें: ऋणात्मक होने पर मूल अवास्तविक होते हैं। / For the given equation, \(a=2\), \(b=-1\), and \(c=2\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(2)=1-16=-15\). Since \(D<0\), the quadratic equation has no real roots. Exam tip: calculate the discriminant first and identify the nature of the roots from its sign.
किसी द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\) है। अतः \(-16(k+2)<0\), जिससे \(k>-2\) प्राप्त होता है। \(k=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि \(k<-2\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(k+1)]^2-4(k^2+6k+9)=-16(k+2)\). Therefore, \(-16(k+2)<0\), which gives \(k>-2\). At \(k=-2\), \(D=0\), giving two equal real roots, while \(k<-2\) gives two distinct real roots. Exam tip: simplify the discriminant first and then impose the required sign condition.
यहाँ \(a=1, b=10, c=29\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(29)=100-116=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि समान वास्तविक मूलों के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान और उसका चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1, b=10, c=29\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=10^2-4(1)(29)=100-116=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option B is incorrect because equal real roots require \(D=0\). Exam tip: To determine the nature of roots, first calculate the discriminant and check its sign.
यहाँ \(a=1\), \(b=2(n+2)\) और \(c=n^2+4n+8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=[2(n+2)]^2-4(n^2+4n+8)=-16\) प्राप्त होता है। चूँकि \(D<0\), किसी भी वास्तविक \(n\) के लिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) और विकल्प C के लिए \(D>0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / Here, \(a=1\), \(b=2(n+2)\), and \(c=n^2+4n+8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=[2(n+2)]^2-4(n^2+4n+8)=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots for any real value of \(n\); its roots are complex. Option B would require \(D=0\), while option C would require \(D>0\). Exam tip: determine the nature of quadratic roots from the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-(2r+5)\) और \(c=r^2+5r+7\), इसलिए \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\)। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(r\) के लिए है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प B और C संभव नहीं हैं, जबकि विकल्प D गलत है क्योंकि यह केवल \(r=0\) तक सीमित करता है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) दिखते ही निष्कर्ष निकालें कि वास्तविक मूल नहीं होंगे। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-(2r+5)\), and \(c=r^2+5r+7\). Thus, \(D=(2r+5)^2-4(r^2+5r+7)=-3\). Since \(D<0\) for every real value of \(r\), the equation has no real roots. Therefore, options B and C are impossible, while option D is incorrect because the result is not restricted to \(r=0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude immediately that the quadratic has no real roots.
क्योंकि \(b\neq -3\), इसलिए \(b+3\neq 0\) और \((b+3)^2>0\)। अतः \(D=-(b+3)^2<0\)। द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते; वे सम्मिश्र conjugate मूल होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) का अर्थ हमेशा ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ होता है। / Since \(b\neq -3\), we have \(b+3\neq 0\), so \((b+3)^2>0\). Therefore, \(D=-(b+3)^2<0\). For a quadratic equation, a negative discriminant means that the roots are not real; they are complex conjugates. Hence, option A is correct. Exam tip: Always remember that \(D<0\) means no real roots.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)<0\), जिससे \(-2<a<1\) प्राप्त होता है। सिरों \(a=-2\) और \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(D<0\) का अर्थ है दो असमान वास्तविक मूल नहीं, बल्कि कोई वास्तविक मूल नहीं। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)<0\), which gives \(-2<a<1\). At the endpoints \(a=-2\) and \(a=1\), \(D=0\), so they are not included. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates equal real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=-4v\) और \(c=2v^2+5\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\) है। चूँकि \(D<0\) प्रत्येक वास्तविक \(v\) के लिए, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों की प्रकृति \(v\) बदलने पर भी नहीं बदलती। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=2\), \(b=-4v\), and \(c=2v^2+5\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4v)^2-4(2)(2v^2+5)=16v^2-16v^2-40=-40\). Since \(D<0\) for every real value of \(v\), the equation has no real roots. Hence, option A is correct; option D is incorrect because the nature of the roots does not change with \(v\). Exam tip: a quadratic equation has no real roots when its discriminant is negative.
A. कभी वास्तविक मूल नहीं होंगे/It will never have real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=4(2y-1)2-4\(4y^2+3\)=-16y-8<0) केवल सभी (y) पर नहीं है। इसलिए यह निष्कर्ष गलत होगा। / Here (D=4(2y-1)2-4\(4y^2+3\)=-16y-8), which is not negative for all (y). So this conclusion is not universally valid.
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\)। अतः \(-16(a+2)<0\), जिससे \(a>-2\) प्राप्त होता है। \(a=-2\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, न कि कोई वास्तविक मूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(D\) को सरल करके उसके चिह्न की शर्त लगाएँ। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[2(a+3)]^2-4(a^2+10a+17)=-16(a+2)\). Therefore, \(-16(a+2)<0\), which gives \(a>-2\). At \(a=-2\), \(D=0\), so the equation has equal real roots rather than no real roots. Exam tip: simplify the discriminant completely before applying its sign condition.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प A इसलिए गलत है क्योंकि ऋणात्मक विविक्तकर होने पर मूल वास्तविक नहीं, बल्कि समिश्र होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) का अर्थ हमेशा कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=(-12)^2-4(4)(11)=144-176=-32\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Option A is incorrect because a negative discriminant does not produce real irrational roots; it produces non-real complex roots. Exam tip: remember that \(D<0\) means no real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं (\\(D=-8\\))/No real roots (\\(D=-8\\))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1,b=8,c=18\\), इसलिए \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \\(D=0\\) होता। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति बताने से पहले विविक्तकर का चिह्न अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1,b=8,c=18\\), so \\(D=8^2-4(1)(18)=64-72=-8\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Option B would be correct only if \\(D=0\\). Exam tip: Always check the sign of the discriminant before identifying the nature of the roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं \((D<0)\)/No real roots \((D<0)\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=10\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; अतः क्षेत्रफल में \(s\) का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) क्रमशः शून्य, समान और असमान वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / For the quadratic equation, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=10\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(10)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so \(s\) cannot have a real value in the area problem. Exam tip: \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) indicate no real roots, equal real roots, and distinct real roots, respectively.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं/No real roots \\(D=-15\\)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=1, c=2\\), इसलिए \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\)। चूँकि \\(D<0\\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में याद रखें: \\(D<0\\) पर मूल काल्पनिक या सम्मिश्र होते हैं, वास्तविक नहीं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=1, c=2\\), so \\(D=1^2-4(2)(2)=1-16=-15\\). Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. Exam tip: \\(D<0\\) indicates non-real complex roots; \\(D=0\\) indicates equal real roots, while \\(D>0\\) indicates distinct real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं; \(D=-80\)/No real roots; \(D=-80\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=8\), \(b=-4\) और \(c=3\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर ऋणात्मक हो तो मूलों की प्रकृति सीधे “कोई वास्तविक मूल नहीं” होती है। / Here, \(a=8\), \(b=-4\), and \(c=3\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(8)(3)=16-96=-80\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: A negative discriminant immediately indicates that a quadratic equation has no real roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं ((D<0))/No real roots ((D<0))
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष से कोई कटाव न होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विविक्तकर (D<0) होगा। / If there is no intersection with the (x)-axis, there are no real roots. So the discriminant will be (D<0).
द्विघात समीकरण में कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=k-3, c=4\), इसलिए \(D=(k-3)^2-16\)। अतः \((k-3)^2<16\), जिससे \(-4<k-3<4\) और इसलिए \(-1<k<7\) प्राप्त होता है। विकल्प C में दिए गए सिरों पर \(D=0\) होता है, इसलिए वहाँ दो समान वास्तविक मूल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ के लिए हमेशा \(D<0\) जाँचें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1, b=k-3, c=4\), so \(D=(k-3)^2-16\). Thus, \((k-3)^2<16\), which gives \(-4<k-3<4\), and hence \(-1<k<7\). At the endpoints in option C, \(D=0\), so the equation has two equal real roots. Exam tip: For ‘no real roots’, always apply the condition \(D<0\).
इस समीकरण में \(a=1\), \(b=4\) और \(c=k\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=16-4k\) होगा। वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) आवश्यक है, इसलिए \(16-4k<0\), जिससे \(k>4\) प्राप्त होता है। \(k=4\) होने पर \(D=0\) और एक दोहरा वास्तविक मूल मिलता है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=k\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=16-4k\). A quadratic equation has no real roots when \(D<0\), so \(16-4k<0\), which gives \(k>4\). The closest distractor, \(k=4\), makes \(D=0\) and gives one repeated real root. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1, b=6, c=13\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र और परस्पर संयुग्मी होंगे। विकल्प B के लिए \(D=0\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूलों की प्रकृति हमेशा अवास्तविक होती है। / Here, \(a=1, b=6, c=13\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(13)=36-52=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex conjugates. Option B would require \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
यहाँ \(a=5\), \(b=-6\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\) प्राप्त होता है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(D=0\) होने पर ही समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=5\), \(b=-6\), and \(c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(5)(2)=36-40=-4\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. Equal real roots occur only when \(D=0\), so option B is incorrect; the other listed discriminant values are also miscalculations. Exam tip: determine the nature of quadratic roots by checking the sign of the discriminant first.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0) चाहिए। यहाँ (D=4\(a^2-6a-1\)), इसलिए \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\)। / For no real roots, (D<0) is required. Here (D=4\(a^2-6a-1\)), so \(3-\sqrt{10}<a<3+\sqrt{10}\).
द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=-2m\) और \(c=3m\), इसलिए \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\)। अतः \(4m(m-3)<0\) से \(0<m<3\) प्राप्त होता है। \(m=0\) या \(m=3\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए मूल वास्तविक और समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\), \(D=0\) और \(D>0\) को क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान वास्तविक मूल और दो भिन्न वास्तविक मूल से जोड़कर याद रखें। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(a=1\), \(b=-2m\), and \(c=3m\), so \(D=b^2-4ac=4m^2-12m=4m(m-3)\). Thus, \(4m(m-3)<0\), which gives \(0<m<3\). At \(m=0\) or \(m=3\), \(D=0\), so the equation has real and equal roots rather than no real roots. Exam tip: remember that \(D<0\), \(D=0\), and \(D>0\) correspond respectively to no real roots, equal real roots, and two distinct real roots.
