For which interval of the parameter \(a\) does the quadratic equation \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) have no real roots?दिए गए द्विघात समीकरण \(3x^2-2(2a+1)x+(a^2+a+1)=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए पैरामीटर \(a\) का कौन-सा अंतराल होना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(-2<a<1\)\(-2<a<1\)
A quadratic equation has no real roots when its discriminant satisfies \(D<0\). Here, \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\). Therefore, \((a+2)(a-1)<0\), which gives \(-2<a<1\). At the endpoints \(a=-2\) and \(a=1\), \(D=0\), so they are not included. Exam tip: \(D<0\) indicates no real roots, whereas \(D=0\) indicates equal real roots.द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D<0\) होना चाहिए। यहाँ \(D=[-2(2a+1)]^2-4(3)(a^2+a+1)=4(a^2+a-2)=4(a+2)(a-1)\)। अतः \((a+2)(a-1)<0\), जिससे \(-2<a<1\) प्राप्त होता है। सिरों \(a=-2\) और \(a=1\) पर \(D=0\) होता है, इसलिए वे शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(D<0\) का अर्थ है दो असमान वास्तविक मूल नहीं, बल्कि कोई वास्तविक मूल नहीं।
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