inequalities MCQ Questions for Class 12

Simple Explanation

सामान्य रूप से \(\sec^{-1}u\) तभी परिभाषित होता है जब \(|u|\ge1\)। यहाँ \(u=2x+1\) है, इसलिए आवश्यकता है \(|2x+1|\ge1\)। इसे हल करने पर दो स्थितियाँ मिलती हैं: \(2x+1\ge1\) यानी \(x\ge0\) या \(2x+1\le-1\) यानी \(x\le-1\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(|u|\le1\) उल्टा है। विकल्प C (सिर्फ सकारात्मक होना) पर्याप्त नहीं है क्योंकि \(2x+1\) नकारात्मक पर भी मान्य हो सकता है यदि उसका परिमाण 1 से बड़ा हो। विकल्प D (\(\ne0\)) आवश्यक परन्तु पर्याप्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(2x+1=0.5\) पर \(\sec^{-1}\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: पहले \(|u|\ge1\) लागू करें, फिर абсолют मान तोड़ कर दो रेंज प्राप्त करें। / By definition \(\sec^{-1}u\) is defined only when \(|u|\ge1\). With \(u=2x+1\) this gives \(|2x+1|\ge1\). Solving yields \(2x+1\ge1\Rightarrow x\ge0\) or \(2x+1\le-1\Rightarrow x\le-1\). Option B is the reverse inequality and is incorrect. Option C (requiring positivity) is not sufficient because negative values with magnitude ≥1 are also allowed. Option D (nonzero) is necessary but not sufficient — values like \(2x+1=0.5\) are nonzero yet outside the domain. Exam tip: always convert \(|u|\ge1\) into the two linear inequalities to get the domain explicitly (here \(x\le-1\) or \(x\ge0\)).