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inverse trigonometric functions MCQ Questions for Class 12
inverse trigonometric functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यदि \(\theta=\cos^{-1}x\), तो \(\cos\theta=x\) और \(\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)। / If \(\theta=\cos^{-1}x\), then \(\cos\theta=x\) and \(\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\). Hence \(\tan\theta=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\).
(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) होता है। इसलिए दोनों terms का योग \(\pi\) है। / We have (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Therefore the sum of the two terms is \(\pi\).
\(cosec^{-1}(x-2)\) के लिए \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इससे \(x\le1\) या \(x\ge3\) मिलता है। / For \(cosec^{-1}(x-2)\), we need \(|x-2|\ge1\). This gives \(x\le1\) or \(x\ge3\).
सामान्य रूप से \(\sec^{-1}u\) तभी परिभाषित होता है जब \(|u|\ge1\)। यहाँ \(u=2x+1\) है, इसलिए आवश्यकता है \(|2x+1|\ge1\)। इसे हल करने पर दो स्थितियाँ मिलती हैं: \(2x+1\ge1\) यानी \(x\ge0\) या \(2x+1\le-1\) यानी \(x\le-1\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(|u|\le1\) उल्टा है। विकल्प C (सिर्फ सकारात्मक होना) पर्याप्त नहीं है क्योंकि \(2x+1\) नकारात्मक पर भी मान्य हो सकता है यदि उसका परिमाण 1 से बड़ा हो। विकल्प D (\(\ne0\)) आवश्यक परन्तु पर्याप्त नहीं है — उदाहरण के लिए \(2x+1=0.5\) पर \(\sec^{-1}\) परिभाषित नहीं होगा। परीक्षा टिप: पहले \(|u|\ge1\) लागू करें, फिर абсолют मान तोड़ कर दो रेंज प्राप्त करें। / By definition \(\sec^{-1}u\) is defined only when \(|u|\ge1\). With \(u=2x+1\) this gives \(|2x+1|\ge1\). Solving yields \(2x+1\ge1\Rightarrow x\ge0\) or \(2x+1\le-1\Rightarrow x\le-1\). Option B is the reverse inequality and is incorrect. Option C (requiring positivity) is not sufficient because negative values with magnitude ≥1 are also allowed. Option D (nonzero) is necessary but not sufficient — values like \(2x+1=0.5\) are nonzero yet outside the domain. Exam tip: always convert \(|u|\ge1\) into the two linear inequalities to get the domain explicitly (here \(x\le-1\) or \(x\ge0\)).
\(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)\) लेने पर \(\theta\in[0,\pi]\) और \(sin\theta\ge0\)। इसलिए (7,24,25) triangle से \(\sin\theta=\frac{24}{25}\)। / Taking \(\theta=\cos^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)\), we have \(\theta\in[0,\pi]\) and \(sin\theta\ge0\). Hence from the (7,24,25) triangle, \(\sin\theta=\frac{24}{25}\).
\(\sin^{-1}\) का principal angle चौथे quadrant में हो सकता है, जहां \(\cos\theta\) positive होता है। (5,12,13) triangle से उत्तर \(\frac{12}{13}\) है। / The principal angle of \(\sin^{-1}\) may lie in the fourth quadrant, where \(\cos\theta\) is positive. From the (5,12,13) triangle, the answer is \(\frac{12}{13}\).
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/It is true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) हमेशा ([-1,1]) में रहता है। इसलिए identity सभी real (x) के लिए मान्य है। / \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) always lies in ([-1,1]). Therefore the identity is valid for all real (x).
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\) लिया जाए तो \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) और \(\sin\theta=x\). उसी मुख्य शर्त में \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (धनात्मक शून्य के साथ) और इसलिए
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
इसलिए \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) परन्तु केवल तब जब \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) और \(\sin^{-1}x\) परिभाषित हो, अर्थात् \(-1<x<1\). यदि \(x=\pm1\) तो हरास्पद भाग में हर (denominator) शून्य हो जाता है और अभिव्यक्ति अव्याख्येय है (सीमाएँ ±\(\tfrac{\pi}{2}\) देती हैं किंतु समानता वास्तविक रूप से परिभाषित नहीं)। \(|x|>1\) पर \(\sin^{-1}x\) ही परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: inverse त्रिकोणमितीय पहचानें लिखते समय principal-value रेंज और sqrt के संकेत पर ध्यान दें — cos का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\) so that \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) and \(\sin\theta=x\). In this principal range \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (nonnegative), hence
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
Thus \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) provided \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) and \(\sin^{-1}x\) is defined — i.e. \(-1<x<1\). At \(x=\pm1\) the denominator is zero (the expression is not defined even though the limit gives ±\(\tfrac{\pi}{2}\)), and for \(|x|>1\) the left side \(\sin^{-1}x\) is not defined. Exam tip: always check domains and principal-value ranges when equating inverse trig functions; note the sign of the square root in the principal interval.
\(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), इसलिए principal value \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\tan^{-1}x\) का उत्तर (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) में दें। / \(\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\), so the principal value is \(\frac{\pi}{6}\). Give the answer of \(\tan^{-1}x\) in (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\).
\(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) और \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3})। (\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\) and \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The answer of \(\cos^{-1}x\\) is not negative.
\(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(-\frac{\pi}{3}\) है। \(\sin^{-1}x\) का उत्तर हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\), so the principal value is -\(\frac{\pi}{3}\). Keep the answer of \(\sin^{-1}x\) in \(-[\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
\(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([0,\pi]\) है। \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) होने पर दोनों इनवर्स फ़ंक्शन अपने प्रमुख मान के कारण \(\tfrac{\pi}{4}\) लेते हैं। अतः अंतर \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\)। नज़दीकी विचलन \(\tfrac{\pi}{4}\) गलत है क्योंकि वह अंतर नहीं बल्कि घटक का मान है। परीक्षा टिप: इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान (principal values) याद रखें—यही फर्क नतीजा तय करता है। / The principal value range of \(\sin^{-1}x\) is \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) and for \(\cos^{-1}x\) it is \([0,\pi]\). Since \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), both inverse values equal \(\tfrac{\pi}{4}\). Therefore the difference is \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\). The nearest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is the value of each inverse separately, not their difference. Exam tip: always check the principal value intervals for inverse trig functions before subtracting.
\(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) और \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। इसलिए योग \(\frac{\pi}{3}\) है। / Here \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\) and \(\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). Hence the sum is \(\frac{\pi}{3}\).
A. उनका योग \(\frac{\pi}{2}\) है/Their sum is \(\frac{\pi}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(a\in[-1,1]\) के लिए \(\sin^{-1}a+\cos^{-1}a=\frac{\pi}{2}\)। बराबर केवल \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\) पर होते हैं। / For every \(a\in[-1,1]\), \(\sin^{-1}a+\cos^{-1}a=\frac{\pi}{2}\). They are equal only at \(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(\cos^{-1}x\) ([-1,1]) पर decreasing है। (x) बढ़ने पर principal angle घटता है। / \(\cos^{-1}x\) is decreasing on ([-1,1]). As (x) increases, the principal angle decreases.
यह identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) से मिलती है। इसका domain \(x\in[-1,1]\) है। / This identity follows from \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Its domain is \(x\in[-1,1]\).
\(\tan\theta=\frac{5}{12}\) से opposite (5), adjacent (12), hypotenuse (13) है। इसलिए \(\sin\theta=\frac{5}{13}\)। / From \(\tan\theta=\frac{5}{12}\), opposite is (5), adjacent is (12), and hypotenuse is (13). Hence \(\sin\theta=\frac{5}{13}\).
\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें। / From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).
\(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) है, इसलिए \(\cos\theta\) positive होगा। (3,4,5) triangle से \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। / \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), so \(\cos\theta\) is positive. From the (3,4,5) triangle, \(\cos\theta=\frac{4}{5}\).
A. वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं/Not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\cos^{-1}x\) (arccos) केवल तब वास्तविक मान देता है जब \(x\in[-1,1]\)। इसकी वास्तविक छवि मूल श्रेणी \([0,\pi]\) में होती है। यहाँ \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) का वास्तविक मान नहीं है — यह वास्तविक संख्या नहीं दे सकता। विकल्प \(\dfrac{\pi}{3}\) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), न कि \(\tfrac{3}{2}\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी inverse-trig प्रश्न में पहले फंक्शन का domain चेक करें (उदा. arccos के लिए \([-1,1]\))। / The function \(\cos^{-1}x\) (arccos) has real values only for \(x\in[-1,1]\); its principal range for real inputs is \([0,\pi]\). Since \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) has no real value. Option \(\dfrac{\pi}{3}\) is a tempting distractor but incorrect because \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), not \(\tfrac{3}{2}\). Exam tip: always check the domain of inverse trigonometric functions before attempting to find a value.
C. यह real numbers में परिभाषित नहीं है/It is not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) real में तभी defined है जब \(x\in[-1,1]\)। (2) इस interval में नहीं है। / \(\sin^{-1}x\) is real-defined only when \(x\in[-1,1]\). The number (2) is not in this interval.
B. यह \(\sin x\) का inverse function है/It is the inverse function of \(\sin x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) inverse sine है, reciprocal नहीं। \(\sin^{-1}x\) और (\(\sin x\)^{-1}) में अंतर रखें। / \(\sin^{-1}x\) is inverse sine, not reciprocal. Keep the difference between \(\sin^{-1}x\) and (\(\sin x\)^{-1}).
\(\tan0=0\), इसलिए \(\tan^{-1}0=0\)। zero value वाले प्रश्नों में भी principal range जांचें। / \(\tan0=0\), so \(\tan^{-1}0=0\). Even in zero-value questions, check the principal range.
\(\cos\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\)। special values को principal range के साथ याद करें। / \(\cos\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\in[0,\pi]\). Remember special values along with the principal range.
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह principal range में है। \(\sin^{-1}x\) के लिए answer \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में रखें। / \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Keep the answer of \(\sin^{-1}x) in ([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).
यह सीधे identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) से मिलता है। यहाँ \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) valid domain में है। / This follows directly from \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Here \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is in the valid domain.
\(cosec y=\frac{1}{sin y}\), इसलिए \(cosec y\) के values \(|x|\ge1\) होते हैं। domain याद करते समय reciprocal nature देखें। / \(cosec y=\frac{1}{sin y}\), so values of \(cosec y\) satisfy \(|x|\ge1\). Use the reciprocal nature to remember the domain.
\(\tan^{-1}u\) हर real \(u\) के लिए परिभाषित होता है। इसलिए \(x^2+1\) के कारण (x) पर कोई प्रतिबंध नहीं है। / \(\tan^{-1}u\) is defined for every real (u). Hence \(x^2+1\) puts no restriction on (x).
\(-1\le x^2-1\le1\) से \(0\le x^2\le2\) मिलता है। इसलिए \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), जो दिए विकल्पों में नहीं है। / From \(-1\le x^2-1\le1\), we get \(0\le x^2\le2\). Thus \(x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), so none of the first three is exact.
\(\cos^{-1}(3x-1)\) के लिए \(-1\le3x-1\le1\) चाहिए। हल करने पर \(0\le x\le\frac{2}{3}\) मिलता है। / For \(\cos^{-1}(3x-1)\), we need \(-1\le3x-1\le1\). Solving gives \(0\le x\le\frac{2}{3}\).
