Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें। / From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).
A. वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं/Not defined in real numbers
Explanation
Simple Explanation
\(\cos^{-1}x\) (arccos) केवल तब वास्तविक मान देता है जब \(x\in[-1,1]\)। इसकी वास्तविक छवि मूल श्रेणी \([0,\pi]\) में होती है। यहाँ \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) का वास्तविक मान नहीं है — यह वास्तविक संख्या नहीं दे सकता। विकल्प \(\dfrac{\pi}{3}\) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), न कि \(\tfrac{3}{2}\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी inverse-trig प्रश्न में पहले फंक्शन का domain चेक करें (उदा. arccos के लिए \([-1,1]\))। / The function \(\cos^{-1}x\) (arccos) has real values only for \(x\in[-1,1]\); its principal range for real inputs is \([0,\pi]\). Since \(\tfrac{3}{2}=1.5>1\), \(\cos^{-1}\left(\tfrac{3}{2}\right)\) has no real value. Option \(\dfrac{\pi}{3}\) is a tempting distractor but incorrect because \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}\), not \(\tfrac{3}{2}\). Exam tip: always check the domain of inverse trigonometric functions before attempting to find a value.
\(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4})। (\cos^{-1}\) का उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Since \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4}). The answer of (\cos^{-1}\) is not negative.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) और परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। प्रांत-परिसर वाले प्रश्नों में अंतराल तुरंत पहचानें। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and its range is \(\left[0,\pi\right]\). In domain-range questions, identify intervals first.
\(\beta\in\left[0,\pi\right]\) और \(\cos\beta=-\frac{4}{5}\), इसलिए \(\beta\) द्वितीय चतुर्थांश में है और \(\sin\beta=\frac{3}{5}\)। \(\sin\) का चिह्न यहां धनात्मक है। / Here \(\beta\in\left[0,\pi\right]\) and \(\cos\beta=-\frac{4}{5}\), so \(\beta\) is in the second quadrant and \(\sin\beta=\frac{3}{5}\). The sign of \(\sin\) is positive here.
\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\)। विशेष मानों की तालिका याद रखें। / Since \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\). Remember the table of special values.
\(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\) से \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। कोण के चतुर्थांश से चिह्न तय करें। / From \(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Decide the sign from the quadrant of the angle.
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाया जाता है। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) होता है। / The function \(\cos x\) is made one-one on \(\left[0,\pi\right]\). Therefore the range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\).
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाने से \(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता है। ग्राफ की दिशा से भी पुष्टि करें। / By making \(\cos x\) one-one on \(\left[0,\pi\right]\), \(\cos^{-1}x\) becomes decreasing on \(\left[-1,1\right]\). The graph direction also confirms this.
\(\theta\in\left[0,\pi\right]\) और \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), इसलिए \(\theta\) प्रथम चतुर्थांश में है और \(\sin\theta=\frac{15}{17}\)। त्रिभुज विधि तेज है। / Here \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) and \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), so \(\theta\) is in the first quadrant and \(\sin\theta=\frac{15}{17}\). The triangle method is fast.
यदि \(x\in\left[-1,1\right]\), तो \(\cos(\cos^{-1}x)=x\)। यहां \(x=-\frac{3}{4}\) प्रांत में है। / If \(x\in\left[-1,1\right]\), then \(\cos(\cos^{-1}x)=x\). Here \(x=-\frac{3}{4}\) lies in the domain.
मानक संबंध (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) है। इसे (\sin^{-1}(-x)) की तरह विषम न मानें। / The standard relation is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not treat it as odd like (\sin^{-1}(-x)).
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। \(\cos^{-1}\) में दोनों अंत बिंदु शामिल होते हैं। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\). Both end points are included for \(\cos^{-1}\).
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
क्योंकि \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) और \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\) है। \(\cos^{-1}\) में प्रधान मान ऋणात्मक नहीं लेते। / Because \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) and \(\frac{3\pi}{4}\in[0,\pi]\). For \(\cos^{-1}\), do not take a negative principal value.
\(\cos^{-1}x\) की सीमा \([0,\pi]\) है इसलिए ऋणात्मक मान संभव नहीं है। ऐसे प्रश्नों में केवल आउटपुट रेंज देखें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), so a negative value is not possible. In such questions check only the output range.
\(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\) है इसलिए (\cos^{-1}\left\(\cos\frac{\pi}{4}\right\)=\frac{\pi}{4})। प्रधान सीमा में कोण हो तो वही उत्तर आता है। / Since \(\frac{\pi}{4}\in[0,\pi]\), (\cos^{-1}\left\(\cos\frac{\pi}{4}\right\)=\frac{\pi}{4}). If the angle lies in the principal range, it remains unchanged.
पहचान (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x) होती है। इसे \(\cos^{-1}x\) को विषम फलन मानकर हल न करें। / The identity is (\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x). Do not solve it by treating \(\cos^{-1}x\) as an odd function.
यदि \(\cos^{-1}x=0\) है तो \(x=\cos0=1\)। उल्टे त्रिकोणमितीय समीकरण में दोनों ओर संबंधित त्रिकोणमितीय फलन लगाएं। / If \(\cos^{-1}x=0\), then \(x=\cos0=1\). In an inverse trigonometric equation apply the corresponding trigonometric function on both sides.
दोनों तरफ \(\cos\) लेने पर \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) है। कोण प्रधान सीमा में है इसलिए उत्तर मान्य है। / Taking \(\cos\) on both sides gives \(x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\). The angle lies in the principal range so the answer is valid.
क्योंकि \(\cos 0=1\) और \(0\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। \(\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Because \(\cos 0=1\) and \(0\in[0,\pi]\) so \(\cos^{-1}1=0\). For \(\cos^{-1}x\) the answer is not negative.
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
\(\cos^{-1}1=0\), इसलिए ग्राफ \(\left(1,0\right)\) से गुजरता है। ग्राफ वाले प्रश्नों में मानक मान याद रखें। / Since \(\cos^{-1}1=0\), the graph passes through \(\left(1,0\right)\). Remember standard values for graph questions.
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। क्योंकि \(\frac{11}{10}>1\), यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\). Since \(\frac{11}{10}>1\), it is not defined.
\(\cos\theta=\frac{12}{13}\) और \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) है। इस स्थिति में \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) धनात्मक होगा। / Here \(\cos\theta=\frac{12}{13}\) and \(\theta\in\left[0,\pi\right]\). In this case, \(\sin\theta=\frac{5}{13}\) is positive.
\(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) वह कोण है जिसका \(\cos\) मान \(\frac{4}{5}\) हो। इसलिए \(\cos\theta=\frac{4}{5}\)। / The expression \(\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\) is the angle whose cosine is \(\frac{4}{5}\). So \(\cos\theta=\frac{4}{5}\).
\(\frac{5\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए \(cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\)। / The angle \(\frac{5\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\). Hence \(cos^{-1}\left(cos\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{5\pi}{6}\).
\(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) मुख्य मानों के कारण सही है। इसे विषम फलन की तरह न मानें। / The relation \(cos^{-1}\left(-x\right)=\pi-\cos^{-1}x\) is correct because of principal values. Do not treat it as an odd function.
आर्ककोस (principal value) का मान हमेशा \([0,\pi]\) पर लिया जाता है। ज्ञात है कि \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)। अतः \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)। परीक्षा टिप: आर्ककोस की रेंज \([0,\pi]\) और मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / The principal value of arccos is taken in the interval \([0,\pi]\). Since \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), we have \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). The other choices are incorrect: \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), and \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Exam tip: memorize standard trig values and remember arccos range \([0,\pi]\).
