monotonicity se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
7 questions tagged with monotonicity.
What type of function is \(\cos^{-1}x\) on its domain ([-1,1])?
B. decreasing
\(\cos^{-1}x\) ([-1,1]) पर decreasing है। (x) बढ़ने पर principal angle घटता है। / \(\cos^{-1}x\) is decreasing on ([-1,1]). As (x) increases, the principal angle decreases.
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On which interval is \(\sin^{-1}x\) an increasing function?
A. \(\left[-1,1\right]\)
\(\sin^{-1}x\) अपने पूरे प्रांत \(\left[-1,1\right]\) पर बढ़ता है। यह \(\sin x\) की चुनी गई शाखा से मिलता है। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its whole domain \(\left[-1,1\right]\). This matches the chosen branch of \(\sin x\).
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On which interval is \(\cos^{-1}x\) a decreasing function?
A. \(\left[-1,1\right]\)
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाने से \(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता है। ग्राफ की दिशा से भी पुष्टि करें। / By making \(\cos x\) one-one on \(\left[0,\pi\right]\), \(\cos^{-1}x\) becomes decreasing on \(\left[-1,1\right]\). The graph direction also confirms this.
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If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-3}{1+x-2}), what is the correct statement about (f)?
A. यह एकैकी हैIt is one-one
अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। / Differentiating gives (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}).
यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। / This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method.
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On which interval is (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), one-one?
A. \((0,1]\)
(f'(x)=1-\frac{1}{x-2}) है। / (f'(x)=1-\frac{1}{x-2}).
((0,1]) पर (f'(x)\le0), इसलिए फलन लगातार घटता है और एकैकी है। / On ((0,1]), (f'(x)\le0), so the function is strictly decreasing and one-one.
ऐसे फलनों में न्यूनतम बिंदु के एक ओर अंतराल चुनना चाहिए। / For such functions, choose one side of the minimum point.
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What is the correct statement for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2^x)?
A. यह एकैकी हैIt is one-one
\(2^x\) एक घातांकीय फलन है जिसका आधार (1) से बड़ा है। / \(2^x\) is an exponential function with base greater than (1).
जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(2^x\) सख्ती से बढ़ता है। / As (x) increases, \(2^x\) increases strictly.
सख्ती से बढ़ता हुआ घातांकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / A strictly increasing exponential function is one-one on its domain.
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A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकीOne-one on (\(-\infty,-1]\)
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
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