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Class 12 General Mathematics Inverse Trigonometric Functions Practice
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Inverse Trigonometric Functions - Topics Covered
Mathematics Inverse Trigonometric Functions ke topic-wise MCQs yahan grouped context me milenge. jo aap ko Exam ki preparation me madad milegi. Ye questions exam-oriented hai and students ko concept clarity, quick revision aur board exam preparation kaafi madad karenge. Sabhi se jude MCQs important topics ke anusar arranged hai, taaki aap Inverse Trigonometric Functions ko easy tarike se practice aur revise kar sake.
Introduction to inverse trigonometric functions
96 MCQs
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\(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]) में लिया जाता है। परीक्षा में परिसर याद रखें। / The principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Remember the range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[0,\pi\right]\) में होता है। यह सबसे सामान्य पूछी जाने वाली बात है। / The principal value of \(\cos^{-1}x\) is in \(\left[0,\pi\right]\). This is a common exam fact.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints are not included.
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(0,\pi\right\)) में लिया जाता है। याद रखें कि \(\cot^{-1}x\) में दोनों सिरे नहीं आते। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in (\left\(0,\pi\right\)). Remember that both endpoints are excluded.
C. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sec y\) के मान (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) में होते हैं। इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत यही है। / Values of \(\sec y\) lie in (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). Hence this is the domain of \(\sec^{-1}x\).
B. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cosec y\) कभी (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आता। इसलिए \(\cosec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। / The value of \(\cosec y\) never lies in (\left\(-1,1\right\)). So the domain of \(\cosec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)).
\(\sin y\) के मान केवल \(\left[-1,1\right]\) में होते हैं। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in\left[-1,1\right]\)। / Values of \(\sin y\) lie only in \(\left[-1,1\right]\). So \(\sin^{-1}x\) is defined when \(x\in\left[-1,1\right]\).
\(\cos y\) का मान \(\left[-1,1\right]\) से बाहर नहीं जाता। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। / The value of \(\cos y\) does not go outside \(\left[-1,1\right]\). Hence the domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\).
\(\tan y\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए \(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The function \(\tan y\) can take every real value. Hence the domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\).
क्योंकि \(\sin 0=0\) और \(0\) \(\sin^{-1}x\) की मुख्य सीमा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में आता है, इसलिए \(\sin^{-1}0=0\)। विकल्प \(\pi\) का भी मान \(\sin\pi=0\) है पर \(\pi\) मुख्य सीमा में नहीं आता, अतः \(\sin^{-1}0\) में उसे नहीं लिया जाता। \(\frac{\pi}{2}\) और \(-\frac{\pi}{2}\) के साइन क्रमशः 1 और -1 हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) की principal value हमेशा \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) में होती है। / Since \(\sin 0=0\) and \(0\) lies in the principal range of \(\sin^{-1}x\), which is \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}0=0\). Note that although \(\sin\pi=0\), \(\pi\) is not in the principal range so arcsin does not return \(\pi\). Also \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\) and \(\sin(-\frac{\pi}{2})=-1\), so those choices are incorrect. Exam tip: always recall the principal value range for \(\sin^{-1}x\) when evaluating inverse trig values.
\(\sin\frac{\pi}{2}=1\) और \(\frac{\pi}{2}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) and \(\frac{\pi}{2}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{\pi}{2}\).
(\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1) होता है। इसलिए (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2})। / We have (\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1). Hence (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2}).
अरककोसिन (\(\cos^{-1}x\)) का प्रधान मान (principal value) सेट \([0,\pi]\) होता है. \(\cos0=1\) और \(0\) इस प्रधान श्रेणी में आता है, अतः \(\cos^{-1}1=0\)। निकटतम विचलन: \(\frac{\pi}{2}\) पर \(\cos\) का मान 0 है और \(\pi\) पर \(\cos\) का मान −1 है, इसलिए वे गलत हैं। \(-\frac{\pi}{2}\) प्रधान श्रेणी में नहीं आता। परीक्षा सुझाव: अरककोस के लिए प्रधान मान हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / The principal value of arccos, \(\cos^{-1}x\), lies in \([0,\pi]\). Since \(\cos0=1\) and 0 is within this principal range, \(\cos^{-1}1=0\). Closest distractors fail: \(\frac{\pi}{2}\) gives \(\cos=0\), \(\pi\) gives \(\cos=-1\), and \(-\frac{\pi}{2}\) is outside the principal range, so none are correct. Exam tip: memorize that the principal value range of arccos is \([0,\pi]\).
चूंकि प्राथमिक मान (principal value) के अनुसार \(\cos^{-1}x\) का दायरा \([0,\,\pi]\) होता है और \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), इसलिए \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\)। विकल्प A और B गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। विकल्प D अक्सर \(\sin^{-1}\) के साथ भ्रमित किया जाता है; परन्तु \(\cos^{-1}\) का मान नकारात्मक नहीं लिया जाता। परीक्षा-सुझाव: आर्ककोस की प्राथमिक सीमा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Since \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\), we have \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\). Options A and B are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\). Option D (\(-\frac{\pi}{2}\)) is a common confusion with \(\sin^{-1}\), but arccos values lie between 0 and \(\pi\). Exam tip: memorize the principal range \(0\le\cos^{-1}x\le\pi\).
\(\cos\pi=-1\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान (principal value) हमेशा \([0,\pi]\) में लिया जाता है। चूँकि \(\pi\) इस सीमा में है और \(\cos\pi=-1\), अतः \(\cos^{-1}(-1)=\pi\)। विकल्प \(-\pi\) भ्रामक इसलिए है कि भले ही \(\cos(-\pi)=-1\) भी होगा, पर arccos का मान principal range \([0,\pi]\) में चुना जाता है। 0 और \(\frac{\pi}{2}\) गलत हैं क्योंकि \(\cos0=1\) और \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\)। परीक्षा सुझाव: arccos का principal range हमेशा \([0,\pi]\) याद रखें। / Since \(\cos\pi=-1\) and the principal value (range) of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), we have \(\cos^{-1}(-1)=\pi\). The option \(-\pi\) is misleading because although \(\cos(-\pi)=-1\), arccos returns the principal value in \([0,\pi]\), not a negative angle. Options 0 and \(\frac{\pi}{2}\) are incorrect because \(\cos0=1\) and \(\cos(\frac{\pi}{2})=0\). Exam tip: always remember the range of arccos is \([0,\pi]\).
क्योंकि \(\tan 0=0\), इसलिए inverse के रूप में \(\tan^{-1}0\) वह संख्या है जिसका tangent 0 देता है — अर्थात् 0। साथ ही ध्यान दें कि \(\tan^{-1}x\) का principal मान वर्ग \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में होता है, इसलिए \(\pi\) या \(\tfrac{\pi}{2}\) मान यहाँ समुचित नहीं हैं। सबसे नज़दीकी लुभावना विकल्प \(\tfrac{\pi}{4}\) भी गलत है क्योंकि \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), न कि 0। परीक्षा टिप: किसी भी inverse trig मान के लिए पहले संबंधित trig का मान और inverse का principal range याद रखें। / Since \(\tan 0=0\), the angle whose tangent is 0 is 0, so \(\tan^{-1}0=0\). Also remember the principal value range of \(\tan^{-1}x\) is \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\), so values like \(\pi\) or \(\tfrac{\pi}{2}\) are not valid principal outputs. The closest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is wrong because \(\tan(\tfrac{\pi}{4})=1\), not 0. Exam tip: always use the definition \(\tan(\theta)\) and the principal range of \(\tan^{-1}\) to find inverse values quickly.
कारण: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\) होता है और आर्कटैन्जेंट का प्रमुख मान (principal value) \(( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) के भीतर होता है, इसलिए \(\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\)। अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: \(0\) के लिए \(\tan0=0\) होता है, इसलिए सही नहीं; \(\frac{\pi}{6}\) के लिए \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), जो 1 नहीं है; \(\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\) अविभाज्य (undefined) है। परीक्षा टिप: सामान्य त्रिकोणमितीय मान (जैसे \(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)) याद रखें और arctan का principal range याद रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), and the principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\), so \(\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). Why other choices are wrong: \(0\) is wrong because \(\tan0=0\); \(\frac{\pi}{6}\) is wrong because \(\tan\frac{\pi}{6}=1/\sqrt{3}\), not 1; \(\frac{\pi}{2}\) is not valid as \(\tan\) is undefined there. Exam tip: Memorise standard tan values and remember arctan's principal range to pick the correct branch quickly.
(\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) और \(-\frac{\pi}{4}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(-\frac{\pi}{4}\) है। / Since (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) and \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range, the answer is \(-\frac{\pi}{4}\).
क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{4}=1\) और इनवर्स कॉट (प्रमुख मान) सामान्यतः \(0<\cot^{-1}x<\pi\) के अंतराल में परिभाषित किया जाता है, इसलिए \(\cot^{-1}1=\frac{\pi}{4}\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\frac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\cot\frac{\pi}{2}=0\)। परीक्षा-सुझाव: अरककोट का प्रमुख मान याद रखें — यह हमेशा \((0,\pi)\) के भीतर लिया जाता है। / Since \(\cot(\pi/4)=1\) and the principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in the interval \(0<\cot^{-1}x<\pi\), we get \(\cot^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). The closest distractor \(\frac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\cot(\pi/2)=0\). Exam tip: remember the principal-value range of arccot is \((0,\pi)\).
\(\cot\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\) परिसर (\left\(0,\pi\right\)) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\cot\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\) lies in (\left\(0,\pi\right\)), the value is \(\frac{\pi}{2}\).
\(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) है और \(\sec 0=1\)। सामान्यतः \(\sec^{-1}x\) का principal value लेकर रेंज \([0,\pi]\) (\(\pi/2\) को छोड़कर) ली जाती है, अतः \(\sec^{-1}1=0\)। विकल्प \(\pi\) गलत है क्योंकि \(\sec\pi=-1\)। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) और \(-\tfrac{\pi}{2}\) पर \(\sec\) निरूपित नहीं होता (\(\cos\theta=0\) के कारण)। परीक्षा-सूत्र: inverse trig मान लेते समय function की domain और principal range पहले जाँचें। / Since \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) and \(\sec 0=1\), the principal value of \(\sec^{-1}1\) is \(0\). The common principal range for \(\sec^{-1}x\) is \([0,\pi]\) excluding \(\pi/2\), so \(\sec^{-1}1=0\). Option \(\pi\) is incorrect because \(\sec\pi=-1\). Options \(\tfrac{\pi}{2}\) and \(-\tfrac{\pi}{2}\) are invalid since \(\sec\) is undefined where \(\cos\theta=0\). Exam tip: always check the principal range and where the original trig function is defined before selecting the inverse value.
यदि \(\csc y=1\) तो \(\sin y=1\) होता है। \(\sin y=1\) का सामान्य हल \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)) है। inverse cosec (arccosec) का प्रधान मान प्रायः \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) में लिया जाता है, और इस श्रेणी का एकमात्र समाहित हल \(\frac{\pi}{2}\) है। अतः \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\)। निकट की ग़लत विकल्पों के बारे में: \(0\) पर \(\csc\) परिभाषित नहीं है; \(-\frac{\pi}{2}\) पर \(\csc=-1\) होता है; और \(\pi\) पर \(\sin\pi=0\) होने से \(\csc\) परिभाषित नहीं। परीक्षा टिप: arccosec के प्रधान मान और \(\csc y\) को \(\sin y\) से जोडकर सामान्य हल याद रखें। / If \(\csc y=1\) then \(\sin y=1\). The general solution of \(\sin y=1\) is \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). The principal value for \(cosec^{-1}x\) is usually taken in \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\), and the only solution in this interval is \(\frac{\pi}{2}\). Therefore \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\). About distractors: \(0\) is not allowed (\(\csc\) undefined), \(-\frac{\pi}{2}\) gives \(\csc=-1\), and at \(\pi\) \(\sin\pi=0\) so \(\csc\) is undefined. Exam tip: convert \(\csc y=\) value to \(\sin y=\) value and then pick the principal value from the defined range.
Inverse cosecant (\(cosec^{-1}x\)) का प्रिंसिपल रेंज आम तौर पर \([-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}]\) (\(0\) को छोड़कर) लिया जाता है। \(\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1\) होने के कारण \(cosec(-\tfrac{\pi}{2})=-1\)। इसलिए \(cosec^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}\)। विकल्प \(\tfrac{3\pi}{2}\) भी \(cosec= -1\) देता है पर वह प्रिंसिपल रेंज के बाहर है, इसीलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी inverse trig का मान निकालते समय हमेशा उसकी मानक (principal) रेंज याद रखें। / The principal value of inverse cosecant, \(cosec^{-1}x\), is usually taken in \([-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}]\) excluding 0. Since \(\sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1\), we have \(cosec(-\tfrac{\pi}{2})=-1\); hence \(cosec^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}\). Note that \(\tfrac{3\pi}{2}\) also satisfies \(cosec= -1\) but it lies outside the principal range, so it is not the principal value. Exam tip: always use the principal-range convention for inverse trigonometric functions when answering numerical MCQs.
\(\sin^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\sin\) मान (x) हो। इसलिए \(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin y=x\) है। / The expression \(\sin^{-1}x\) gives the angle whose \(\sin\) value is (x). So \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\).
परिभाषा के अनुसार \(y=\cos^{-1}x\) का अर्थ वह कोण है जिसका कोसाइन मान \(x\) हो। इसलिए सही सम्बन्ध है \(\cos y = x\)। अन्य विकल्प सामान्यतः गलत हैं: \(\sin y=x\) केवल कुछ विशेष मानों पर सत्य होगा, और \(\tan y,\;\cot y\) के लिए \(\tan y=\sin y/\cos y\) तथा \(\cot y=\cos y/\sin y\) होते हैं — ये सीधे-सीधे \(x\) के बराबर नहीं होते। परीक्षा युक्ति: \(\cos^{-1}x\) का principal range \([0,\pi]\) याद रखें। / By definition, \(y=\cos^{-1}x\) means y is the angle whose cosine equals \(x\). Hence \(\cos y = x\) is correct. The other options are not generally true: \(\sin y=x\) holds only for special values of \(x\), and \(\tan y\) or \(\cot y\) are ratios involving \(\sin y\) and \(\cos y\), so they are not simply equal to \(x\). Exam tip: remember the principal value/range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\).
परिभाषा के अनुसार \(y=\tan^{-1}x\) का अर्थ है कि \(y\) वह कोण है जिसका \(\tan\) मान \(x\) होता है। इसलिए स्पष्ट रूप से \(\tan y = x\) सत्य है। अन्य विकल्प (जैसे \(\sin y = x\) या \(\cos y = x\)) केवल कुछ विशेष मानों पर ही सच हो सकते हैं, पर वे \(\tan^{-1}x\) की परिभाषा से नहीं निकलते। परीक्षा-सुझाव: इन्वर्स त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ और उनकी प्रमुख मान-सीमाएँ (उदा. \(-\tfrac{\pi}{2}<y<\tfrac{\pi}{2}\) for \(\tan^{-1}x\)) याद रखें। / By definition, \(y=\tan^{-1}x\) means y is the angle whose tangent equals x; hence \(\tan y = x\). The other choices (\(\sin y = x\), \(\cos y = x\), \(\sec y = x\)) are not generally true for the angle given by \(\tan^{-1}x\) except in special cases, so they are not correct in general. Exam tip: Memorize the definitions and principal value ranges of inverse trig functions (e.g. \(-\pi/2<y<\pi/2\) for \(\tan^{-1}x\)).
\(\sin^{-1}x\) वह कोण है (मुख्य मान) \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प "-x" भ्रम पैदा कर सकता है, पर सिद्धांततः \(\sin^{-1}x\) साइन को उलटकर नहीं बदलता, अतः "-x" गलत है। परिक्षा-सूत्र: हमेशा क्षेत्र (domain) \([-1,1]\) और principal value की सीमा \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) याद रखें। / By definition, \(\sin^{-1}x\) is the principal angle \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) such that \(\sin y=x\). Hence \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). The distractor "-x" is incorrect because taking \(\sin^{-1}\) returns the angle whose sine is exactly \(x\), not its negative. Exam tip: always check the domain \([-1,1]\) of \(\sin^{-1}x\) and remember the principal value range of arcsin when composing functions.
\(\cos^{-1}x\) से प्राप्त कोण को फिर \(\cos\) लेने पर हमें मूल मान \(x\) ही मिलता है, बशर्ते \(x\) का मान डोमेन \([-1,1]\) में हो। ध्यान रखें कि \(\cos^{-1}x\) का प्राथमिक मान \([0,\pi]\) होता है, और उस पर \(\cos\) लगाने पर परिणाम उसी \(x\) के बराबर होता है। विकल्प \(|x|\) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि कुछ विद्यार्थी सोचते हैं कि चूँकि आर्ककोस का कोट में कोण गैर-ऋणात्मक होता है इसलिए मान धनात्मक होगा — यह गलत है; नकारात्मक \(x\) के लिए भी \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) रहता है। परीक्षा टिप: किसी भी inverse-trig रचना में पहले डोमेन/रेंज याद रखें और तभी संकलन (composition) करें। / The function \(\cos^{-1}x\) (principal value in \([0,\pi]\)) returns an angle whose cosine is \(x\). Applying \(\cos\) to that angle gives back the original \(x\) for every \(x\in[-1,1]\). The option \(|x|\) is a tempting distractor (students may wrongly think the result must be nonnegative), but for negative \(x\) the angle \(\cos^{-1}x\) lies in \((\pi/2,\pi]\) and its cosine is negative, equal to \(x\). Exam tip: always check the domain and principal range of inverse trig functions before simplifying compositions.
\(\tan^{-1}x\) वह कोण है जिसका टैन्जेंट मान \(x\) है और आर्कटैन्जेंट का मान सामान्यतः प्राथमिक शाखा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में रहता है, जहाँ \(\tan\) एक-से-एक है। इसलिए \(\tan\big(\tan^{-1}x\big)=x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। विकल्प B केवल \(x=0\) के लिए सत्य है; C (\(1/x\)) और D (\(-x\)) कुछ विशिष्ट मूल्यों पर ही सही होंगे, पर सामान्य रूप से गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: आर्कट्रिगोनोमेट्रिक फलनों की प्राथमिक रेंज याद रखें — उसी रेंज में प्रतिलोम फलन मूल मान लौटाते हैं। / The angle \(\tan^{-1}x\) (principal value of arctan) has tangent equal to \(x\). Since arctan takes values in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) where \(\tan\) is one-to-one, the composition gives \(\tan(\tan^{-1}x)=x\) for all real \(x\). Option B (0) holds only when \(x=0\); option C (\(1/x\)) and D (\(-x\)) are true only for special values and are not generally correct. Exam tip: remember the principal range of \(\tan^{-1}x\) so you can use the identity \(f(f^{-1}(x))=x\) when \(f\) is one-to-one on that range.
\(\frac{\pi}{6}\) मुख्य परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Hence the value is \(\frac{\pi}{6}\).
\(\frac{2\pi}{3}\) \(\cos^{-1}x\) के मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए मान \(\frac{2\pi}{3}\) है। / The angle \(\frac{2\pi}{3}\) lies in the principal range \(\left[0,\pi\right]\) of \(\cos^{-1}x\). Hence the value is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\frac{\pi}{6}\) \(\tan^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) रहेगा। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range of \(\tan^{-1}x\). So the value remains \(\frac{\pi}{6}\).
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) होता है। इसलिए (\sin^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{6})। / Since \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\), (\sin^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{6}).
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(\sin^{-1}x\) का principal मान क्षेत्र \([-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}]\) है, अतः \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। विकल्प -\(\frac{\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)। \(\frac{\pi}{6}\) और \(\frac{\pi}{4}\) के साइन क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) होते हैं, इसलिए वे उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: सामान्य कोणों के \(\sin,\cos\) मान याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and the principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The option \(-\frac{\pi}{3}\) is incorrect because \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\pi}{6}\) and \(\frac{\pi}{4}\) are wrong as their sines are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) respectively. Exam tip: memorize standard sine/cosine values for common angles (0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)).
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) होता है। इसलिए (\cos^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{3})। / Since \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\), (\cos^{-1}\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\pi}{3}).
आर्ककोस (principal value) का मान हमेशा \([0,\pi]\) पर लिया जाता है। ज्ञात है कि \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)। अतः \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)। परीक्षा टिप: आर्ककोस की रेंज \([0,\pi]\) और मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / The principal value of arccos is taken in the interval \([0,\pi]\). Since \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), we have \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). The other choices are incorrect: \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), and \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Exam tip: memorize standard trig values and remember arccos range \([0,\pi]\).
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\)। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\), \(\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\).
कारण: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और आर्कटैन (principal value) का मान क्षेत्र \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). निकटतम भ्रामक विकल्प की जाँच: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) गलत है; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\tan\frac{\pi}{2}\) पर परिभाषित नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: प्रमुख कोणों के मान (\(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\) आदि) याद रखें और आर्कफंक्शन का principal-range ध्यान में रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), and the principal value of arctan lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). Checking close distractors: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), so \(\frac{\pi}{4}\) is incorrect; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\tan\frac{\pi}{2}\) is undefined. Exam tip: Memorise standard angle values and remember the principal range for inverse trig functions when answering quickly.
\(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) और \(\frac{2\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{2\pi}{3}\) है। / Since \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) and \(\frac{2\pi}{3}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{2\pi}{3}\).
\(\sin^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है और \(2\notin\left[-1,1\right]\)। इसलिए यह परिभाषित नहीं है। / The domain of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and \(2\notin\left[-1,1\right]\). Hence it is not defined.
\(\cos^{-1}x\) केवल \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए परिभाषित है। (-2) इस प्रांत में नहीं है। / The function \(\cos^{-1}x\) is defined only for \(x\in\left[-1,1\right]\). The number (-2) is not in this domain.
B. यह परिभाषित है — इसका मान किसी सीमित कोण के समान है जो \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता है/It is defined — equal to a finite angle in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)
Explanation
Simple Explanation
विलोम फलन \(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं \(x\in\mathbb{R}\) के लिए परिभाषित होता है और इसका प्रधान मान (principal value) दायरा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) निश्चित रूप से परिभाषित है और किसी सीमित वास्तविक कोण के बराबर है जो उपर्युक्त खुला अन्तराल में आता है। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\tan\theta\) के लिए \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) पर अनियतता (vertical asymptote) होती है और arctan उस सीमा बिंदु को कभी ग्रहण नहीं करता। विकल्प \(\pi\) भी गलत है क्योंकि arctan का प्रधान मान \(\pi\) नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(\tan^{-1}x\) की डोमेन और रेंज याद रखें — domain = all real numbers, range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)। / The inverse tangent function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number \(x\in\mathbb{R}\) and its principal value lies in the interval \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined and equals a finite angle inside that open interval. The choice \(\tfrac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\tan\theta\) has a vertical asymptote at \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) and arctan never attains that endpoint; \(\pi\) is also impossible since arctan’s principal value cannot be \(\pi\). Exam tip: memorize domain = all real numbers and range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) for \(\tan^{-1}x\).
आर्कसेक (\(\sec^{-1}x\)) केवल तभी परिभाषित होता है जब \(|x|\ge 1\) क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) और \(|\cos\theta|\le1\) के कारण \(|\sec\theta|\ge1\) होता है। यहाँ \(\left|\dfrac{1}{2}\right|<1\), इसलिए \(\sec^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) परिभाषित नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि यदि \(\sec\theta=\dfrac{1}{2}\) होता तो \(\cos\theta=2\) चाहिए—यह संभव नहीं है। (नोट: \(\sec(\pi/3)=2\), इसलिए \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), मगर यह \(\sec^{-1}(1/2)\) से संबंध नहीं रखता)। परीक्षा टिप: किसी भी इनवर्स ट्रिग फ़ंक्शन के लिए पहले उसके वैध डोमेन की जाँच करें — arcsec के लिए आवश्यक शर्त \(|x|\ge1\) है। / The inverse secant \(\sec^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), because \(\sec\theta=1/\cos\theta\) and therefore \(|\sec\theta|\ge1\). Here \(\left|\tfrac{1}{2}\right|<1\), so \(\sec^{-1}\left(\tfrac{1}{2}\right)\) is not defined. Options C and D are incorrect: \(\sec\theta=\tfrac{1}{2}\) would require \(\cos\theta=2\), which is impossible. (For reference, \(\sec(\pi/3)=2\), so \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), but that does not imply \(\sec^{-1}(1/2)\) exists.) Exam tip: always check the domain of the inverse trigonometric function first — for arcsec the requirement is \(|x|\ge1\).
\(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। मुख्य मान हमेशा निर्धारित परिसर में लेना चाहिए। / Since \(sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and \(sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). Always choose the principal range value.
\(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) है और \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\)। मुख्य परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) याद रखें। / We have \(tan\frac{3\pi}{4}=-1\) and \(tan^{-1}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}\). Remember the principal range \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
A. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन/Inverse trigonometric function
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) \(\sin x\) का उपयुक्त शाखा पर व्युत्क्रम है। इसलिए यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन है। / The function \(\sin^{-1}x\) is the inverse of \(\sin x\) on a suitable branch. Hence it is an inverse trigonometric function.
B. यह \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन है/It is the inverse function of \(\sin x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin x\) का व्युत्क्रम फलन है, प्रतिलोम \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं। यह एक महत्वपूर्ण गलती है। / The notation \(\sin^{-1}x\) means the inverse function of \(\sin x\), not the reciprocal \(\frac{1}{\sin x}\). This is an important mistake to avoid.
यदि \(\sec\theta=2\) हो तो \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) होता है क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\)। मुख्य मान (principal value) के लिए \(\sec^{-1}x\) का परिमाण आमतौर पर \([0,\pi]\) (\(\theta\neq\tfrac{\pi}{2}\)) लिया जाता है।\n\(\cos\theta=\tfrac{1}{2}\) से \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\) आता है, जो इस रेंज में है। इसलिए \(\sec^{-1}2=\tfrac{\pi}{3}\)।\nगलत विकल्पों पर टिप्पणी: \(\tfrac{\pi}{6}\) पर \(\sec=2/\sqrt{3}\), \(\tfrac{\pi}{4}\) पर \(\sec=\sqrt{2}\), और \(\tfrac{2\pi}{3}\) पर \(\sec=-2\) होता है — इसलिए वे सही नहीं हैं।\nपरीक्षा सुझाव: पहले \(\sec^{-1}x\) को \(\cos\theta=1/x\) में बदलें और मुख्य मान की सीमा याद रखें। / If \(\sec\theta=2\), then \(\cos\theta=\dfrac{1}{2}\) because \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\). For the principal value, \(\sec^{-1}x\) is taken in \([0,\pi]\) with \(\theta\neq\tfrac{\pi}{2}\).\nSolving \(\cos\theta=\tfrac{1}{2}\) gives \(\theta=\tfrac{\pi}{3}\), which lies in the principal range. Hence \(\sec^{-1}2=\tfrac{\pi}{3}\).\nWhy distractors fail: at \(\tfrac{\pi}{6}\), \(\sec=2/\sqrt{3}\); at \(\tfrac{\pi}{4}\), \(\sec=\sqrt{2}\); at \(\tfrac{2\pi}{3}\), \(\sec=-2\).\nExam tip: convert \(\sec^{-1}x\) to \(\cos\theta=1/x\) and then choose the solution inside the principal-value interval.
क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\)। इसलिए प्रमुख मान (principal value) के रूप में \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) और \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\) — ये कोई भी 2 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(cosec\theta=1/\sin\theta\) याद रखें और सर्वमान्य कोणों के sin मानों का उपयोग करें। / Since \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\), the principal value is \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\). The other options are incorrect because \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) and \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\), none of which equals 2. Exam tip: use \(cosec\theta=1/\sin\theta\) and remember standard sine values for common angles.
\(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए सही है। परीक्षा में यह मूल पहचान याद रखें। / The identity \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is true for all \(x\in\left[-1,1\right]\). Remember this basic identity for exams.
