निम्नलिखित में से कौन-सा कथन \(\tan^{-1}5\) के लिए सही है?

Correct Answer: B. यह परिभाषित है — इसका मान किसी सीमित कोण के समान है जो \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में आता है / It is defined — equal to a finite angle in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Explanation: विलोम फलन \(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं \(x\in\mathbb{R}\) के लिए परिभाषित होता है और इसका प्रधान मान (principal value) दायरा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) निश्चित रूप से परिभाषित है और किसी सीमित वास्तविक कोण के बराबर है जो उपर्युक्त खुला अन्तराल में आता है। विकल्प \(\tfrac{\pi}{2}\) गलत है क्योंकि \(\tan\theta\) के लिए \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) पर अनियतता (vertical asymptote) होती है और arctan उस सीमा बिंदु को कभी ग्रहण नहीं करता। विकल्प \(\pi\) भी गलत है क्योंकि arctan का प्रधान मान \(\pi\) नहीं हो सकता। परीक्षा सुझाव: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(\tan^{-1}x\) की डोमेन और रेंज याद रखें — domain = all real numbers, range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\)। / The inverse tangent function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real number \(x\in\mathbb{R}\) and its principal value lies in the interval \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined and equals a finite angle inside that open interval. The choice \(\tfrac{\pi}{2}\) is incorrect because \(\tan\theta\) has a vertical asymptote at \(\theta=\tfrac{\pi}{2}\) and arctan never attains that endpoint; \(\pi\) is also impossible since arctan’s principal value cannot be \(\pi\). Exam tip: memorize domain = all real numbers and range = \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) for \(\tan^{-1}x\).