Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) है और \(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \([0,\pi]\) है। \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) होने पर दोनों इनवर्स फ़ंक्शन अपने प्रमुख मान के कारण \(\tfrac{\pi}{4}\) लेते हैं। अतः अंतर \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\)। नज़दीकी विचलन \(\tfrac{\pi}{4}\) गलत है क्योंकि वह अंतर नहीं बल्कि घटक का मान है। परीक्षा टिप: इनवर्स त्रिकोणमितीय फलनों के प्रमुख मान (principal values) याद रखें—यही फर्क नतीजा तय करता है। / The principal value range of \(\sin^{-1}x\) is \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}])\) and for \(\cos^{-1}x\) it is \([0,\pi]\). Since \(\sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), both inverse values equal \(\tfrac{\pi}{4}\). Therefore the difference is \(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0\). The nearest distractor \(\tfrac{\pi}{4}\) is the value of each inverse separately, not their difference. Exam tip: always check the principal value intervals for inverse trig functions before subtracting.
\(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) होने पर पहचान \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) से \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), अतः \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). परन्तु \(\theta=\cos^{-1}(\cdot)\) की principal range \([0,\pi]\) है और \(\cos\theta<0\) होने पर \(\theta\) द्वितीय क्वाड्रेंट में होगा जहाँ \(\sin\theta\) धनात्मक होता है। इसलिए \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\)। सामान्य भूल: केवल मूल फलन से संकेत का ध्यान रखें—\(-\dfrac{4}{5}\) वही distractor है जो संकेत उलट देने पर चुन लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: arccos की range याद रखें और Pythagoras पहचान से मान निकालें। / From \(\cos\theta=-\dfrac{3}{5}\) and \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) we get \(\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), so \(\sin\theta=\pm\dfrac{4}{5}\). Since \(\theta=\cos^{-1}(\ldots)\) lies in \([0,\pi]\) and \(\cos\theta<0\) places \(\theta\) in the second quadrant where sine is positive, \(\sin\theta=\dfrac{4}{5}\). Closest trap is \(-\dfrac{4}{5}\) from ignoring the quadrant sign. Exam tip: always use the principal range of inverse cosine and the identity \(\sin^2+\cos^2=1\).
\(\cos0=1\)। \(\cos^{-1}1\) वह कोण है जिसका कोसाइन 1 हो और जो इन्फर्स कोसाइन की प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में आता हो। इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{2}=0\), \(\cos\pi=-1\) और \(-\pi\) प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में नहीं आता। परीक्षा टिप: सामान्य रूप से \(\cos^{-1}(\cos\theta)\) निकालते समय \(\theta\) को प्रमुख सीमा \([0,\pi]\) में समकक्ष कोण पर लाएँ। / Since \(\cos0=1\) and \(\cos^{-1}1\) is the angle in the principal range \([0,\pi]\) whose cosine equals 1, we get \(\cos^{-1}1=0\). The other choices are incorrect: \(\cos(\pi/2)=0\), \(\cos\pi=-1\), and \(-\pi\) is outside the principal range of arccos. Exam tip: When evaluating \(\cos^{-1}(\cos\theta)\), reduce or map \(\theta\) into the principal range \([0,\pi]\) and use that equivalent angle.
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\)। इसलिए प्रमुख मान (principal value) के रूप में \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\) होगा। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{1}{\sin(\pi/3)}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) और \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\) — ये कोई भी 2 के बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(cosec\theta=1/\sin\theta\) याद रखें और सर्वमान्य कोणों के sin मानों का उपयोग करें। / Since \(cosec\,\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sin(\pi/6)}=\dfrac{1}{1/2}=2\), the principal value is \(cosec^{-1}2=\frac{\pi}{6}\). The other options are incorrect because \(cosec\,\frac{\pi}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), \(cosec\,\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\) and \(cosec\,\frac{\pi}{2}=1\), none of which equals 2. Exam tip: use \(cosec\theta=1/\sin\theta\) and remember standard sine values for common angles.
आर्कसेक (\(\sec^{-1}x\)) केवल तभी परिभाषित होता है जब \(|x|\ge 1\) क्योंकि \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\) और \(|\cos\theta|\le1\) के कारण \(|\sec\theta|\ge1\) होता है। यहाँ \(\left|\dfrac{1}{2}\right|<1\), इसलिए \(\sec^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) परिभाषित नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि यदि \(\sec\theta=\dfrac{1}{2}\) होता तो \(\cos\theta=2\) चाहिए—यह संभव नहीं है। (नोट: \(\sec(\pi/3)=2\), इसलिए \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), मगर यह \(\sec^{-1}(1/2)\) से संबंध नहीं रखता)। परीक्षा टिप: किसी भी इनवर्स ट्रिग फ़ंक्शन के लिए पहले उसके वैध डोमेन की जाँच करें — arcsec के लिए आवश्यक शर्त \(|x|\ge1\) है। / The inverse secant \(\sec^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), because \(\sec\theta=1/\cos\theta\) and therefore \(|\sec\theta|\ge1\). Here \(\left|\tfrac{1}{2}\right|<1\), so \(\sec^{-1}\left(\tfrac{1}{2}\right)\) is not defined. Options C and D are incorrect: \(\sec\theta=\tfrac{1}{2}\) would require \(\cos\theta=2\), which is impossible. (For reference, \(\sec(\pi/3)=2\), so \(\sec^{-1}(2)=\pi/3\), but that does not imply \(\sec^{-1}(1/2)\) exists.) Exam tip: always check the domain of the inverse trigonometric function first — for arcsec the requirement is \(|x|\ge1\).
कारण: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और आर्कटैन (principal value) का मान क्षेत्र \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). निकटतम भ्रामक विकल्प की जाँच: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) गलत है; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\tan\frac{\pi}{2}\) पर परिभाषित नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: प्रमुख कोणों के मान (\(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\) आदि) याद रखें और आर्कफंक्शन का principal-range ध्यान में रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), and the principal value of arctan lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). Checking close distractors: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), so \(\frac{\pi}{4}\) is incorrect; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\tan\frac{\pi}{2}\) is undefined. Exam tip: Memorise standard angle values and remember the principal range for inverse trig functions when answering quickly.
आर्ककोस (principal value) का मान हमेशा \([0,\pi]\) पर लिया जाता है। ज्ञात है कि \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)। अतः \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\)। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)। परीक्षा टिप: आर्ककोस की रेंज \([0,\pi]\) और मानक त्रिकोणमितीय मान याद रखें। / The principal value of arccos is taken in the interval \([0,\pi]\). Since \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\), we have \(\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}\). The other choices are incorrect: \(\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2},\;\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\), and \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\). Exam tip: memorize standard trig values and remember arccos range \([0,\pi]\).
क्योंकि \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(\sin^{-1}x\) का principal मान क्षेत्र \([-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}]\) है, अतः \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\)। विकल्प -\(\frac{\pi}{3}\) गलत है क्योंकि \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)। \(\frac{\pi}{6}\) और \(\frac{\pi}{4}\) के साइन क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) होते हैं, इसलिए वे उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: सामान्य कोणों के \(\sin,\cos\) मान याद रखें। / Since \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) and the principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), we have \(\sin^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\). The option \(-\frac{\pi}{3}\) is incorrect because \(\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}\). \(\frac{\pi}{6}\) and \(\frac{\pi}{4}\) are wrong as their sines are \(\frac{1}{2}\) and \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) respectively. Exam tip: memorize standard sine/cosine values for common angles (0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)).
\(\tan^{-1}x\) वह कोण है जिसका टैन्जेंट मान \(x\) है और आर्कटैन्जेंट का मान सामान्यतः प्राथमिक शाखा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में रहता है, जहाँ \(\tan\) एक-से-एक है। इसलिए \(\tan\big(\tan^{-1}x\big)=x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। विकल्प B केवल \(x=0\) के लिए सत्य है; C (\(1/x\)) और D (\(-x\)) कुछ विशिष्ट मूल्यों पर ही सही होंगे, पर सामान्य रूप से गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: आर्कट्रिगोनोमेट्रिक फलनों की प्राथमिक रेंज याद रखें — उसी रेंज में प्रतिलोम फलन मूल मान लौटाते हैं। / The angle \(\tan^{-1}x\) (principal value of arctan) has tangent equal to \(x\). Since arctan takes values in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) where \(\tan\) is one-to-one, the composition gives \(\tan(\tan^{-1}x)=x\) for all real \(x\). Option B (0) holds only when \(x=0\); option C (\(1/x\)) and D (\(-x\)) are true only for special values and are not generally correct. Exam tip: remember the principal range of \(\tan^{-1}x\) so you can use the identity \(f(f^{-1}(x))=x\) when \(f\) is one-to-one on that range.
\(\cos^{-1}x\) से प्राप्त कोण को फिर \(\cos\) लेने पर हमें मूल मान \(x\) ही मिलता है, बशर्ते \(x\) का मान डोमेन \([-1,1]\) में हो। ध्यान रखें कि \(\cos^{-1}x\) का प्राथमिक मान \([0,\pi]\) होता है, और उस पर \(\cos\) लगाने पर परिणाम उसी \(x\) के बराबर होता है। विकल्प \(|x|\) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि कुछ विद्यार्थी सोचते हैं कि चूँकि आर्ककोस का कोट में कोण गैर-ऋणात्मक होता है इसलिए मान धनात्मक होगा — यह गलत है; नकारात्मक \(x\) के लिए भी \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) रहता है। परीक्षा टिप: किसी भी inverse-trig रचना में पहले डोमेन/रेंज याद रखें और तभी संकलन (composition) करें। / The function \(\cos^{-1}x\) (principal value in \([0,\pi]\)) returns an angle whose cosine is \(x\). Applying \(\cos\) to that angle gives back the original \(x\) for every \(x\in[-1,1]\). The option \(|x|\) is a tempting distractor (students may wrongly think the result must be nonnegative), but for negative \(x\) the angle \(\cos^{-1}x\) lies in \((\pi/2,\pi]\) and its cosine is negative, equal to \(x\). Exam tip: always check the domain and principal range of inverse trig functions before simplifying compositions.
परिभाषा और रेंज: आमतौर पर \(\sec^{-1}x\) (arcsec) की प्रमुख माननी रेंज \([0,\pi]\), पर \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\) ली जाती है।\nकारण: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\)। \(\cos\pi=-1\) होने से \(\sec\pi= -1\)। अतः प्रमुख मान के अनुसार \(\sec^{-1}(-1)=\pi\)।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(0\) पर \(\sec0=1\) (इसलिए गलत)। \(\tfrac{\pi}{2}\) पर \(\sec\) परिभाषित नहीं है (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\))। \(-\pi\) पर भी \(\sec(-\pi)=-1\) होता है पर \(-\pi\) प्रमुख रेंज \([0,\pi]\) में नहीं आता, इसलिए arcsec का मान \(-\pi\) नहीं माना जाता।\nइम्तिहानी सुझाव: इन्वर्स त्रिकोणमितीय फलनों में हमेशा फंक्शन की प्रमुख रेंज याद रखें और उस रेंज के भीतर कोण चुनें। / Definition and range: The principal value of \(\sec^{-1}x\) (arcsec) is usually taken as \([0,\pi]\) with \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\).\nReason: \(\sec\theta=1/\cos\theta\). Since \(\cos\pi=-1\), we have \(\sec\pi=-1\). Therefore the principal value \(\sec^{-1}(-1)=\pi\).\nWhy other options fail: At \(0\), \(\sec0=1\). \(\tfrac{\pi}{2}\) is not allowed because \(\sec\) is undefined there (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\)). Although \(\sec(-\pi)=-1\) algebraically, \(-\pi\) is not in the principal range, so it is not the inverse's value.\nExam tip: Always check the principal-value range for inverse trig functions before selecting the angle.
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर (f(x)\to\pm\infty)/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), (f(x)\to\pm\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x+\sin x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीम रूप से बढ़ता और घटता है, इसलिए (f(x)) भी दोनों ओर असीम जाता है। / \(\sin x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions, so (f(x)) also goes to both infinities.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक फलन की आच्छादकता को अक्सर नहीं रोकता। / A bounded addition often does not destroy onto behavior of a linear term.
\(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है। / On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range.
A. क्योंकि परास ([-1,1]) है और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है/Because the range is ([-1,1]) and the codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking.
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से गुणा करने पर परास ([-2,2]) बनता है, जो दिए गए सहप्रांत के समान है। / Multiplying by (2) gives the range ([-2,2]), the same as the given codomain.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में गुणक परास की लंबाई बदलता है, पर सभी बीच के मान मिलते रहते हैं। / In trigonometric functions, a multiplier changes the range size but all intermediate values are still attained.
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है/It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। / \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है। / For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval.
इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। / For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें। / Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\).
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर \(\tan x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), the range of \(\tan x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर वास्तविक सहप्रांत मान किसी न किसी (x) से मिलता है। / Thus every real codomain value is obtained for some (x).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक आच्छादी अंतराल याद रखें। / Remember the standard onto interval for \(\tan x\).
(x) के (0) से \(\pi\) तक जाने पर \(\cos x\) (1) से (-1) तक सभी मान लेता है। / As (x) goes from (0) to \(\pi\), \(\cos x\) takes every value from (1) to (-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए उसका हर मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every value in it is obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमित त्रिकोणमितीय अंतरालों पर परास ध्यान से पहचानें। / Identify the range carefully on restricted trigonometric intervals.
\(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। / \(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें। / Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions.
