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\(x^3-3x\) एक बहुपद है और सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x^3-3x\) is a polynomial continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty), इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty), so every real value is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात का अग्र पद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में आच्छादकता देता है। / An odd-degree leading term often helps prove onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
A. क्योंकि (1) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/Because (1) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। / Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).
Step 2
Why this answer is correct
यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। / This is impossible, so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है। / If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto.
A. यह फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। / At (x=0), (f(0)=3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। / But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं। / Before onto checking, verify that every output lies in the codomain.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। / Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें। / For integer and natural number functions, always check the starting values.
A. क्योंकि कोई सम पूर्णांक प्राप्त नहीं होता/Because no even integer is obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है। / For integer functions, parity often gives a quick test.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। / The codomain contains only odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। / For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है। / Restricting the codomain suitably can make the same function onto.
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। / In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। / Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions are \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं। / Hence onto functions (=16-2=14).
A. क्योंकि परास ([-1,1]) है और सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है/Because the range is ([-1,1]) and the codomain is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं, जो कभी प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values such as (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में परास याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / For trigonometric functions, remembering the range is very important for onto checking.
\(\sin x\) इस अंतराल पर (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On this interval, \(\sin x\) takes every value from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए कोई मान नहीं छूटता। / The codomain is also ([-1,1]), so no value is missed.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सतत और बढ़ता हुआ व्यवहार परास पहचानने में मदद करता है। / On restricted intervals, continuity and monotonic behavior help identify the range.
A. यह फलन \(\mathbb{R}\) पर सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined on \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is undefined at \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
ये मान \(\mathbb{R}\) में आते हैं, इसलिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के रूप में फलन सु-परिभाषित नहीं है। / These values are in \(\mathbb{R}\), so \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is not well-defined.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले फलन का सु-परिभाषित होना जरूरी है। / A function must be well-defined before onto nature can be tested.
A. क्योंकि कोई ऋणात्मक वास्तविक मान प्राप्त नहीं होता/Because no negative real value is obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\) सभी \(x\ge0\) के लिए। / \(\sqrt{x}\ge0\) for all \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-2), जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers such as (-2), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
परास छोटा और सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होता। / If the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होते/It is not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो (f(x)) से नहीं मिल सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which cannot be obtained from (f(x)).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलनों में परास अक्सर \([0,\infty\)) से शुरू होता है। / For absolute value functions, the range usually starts from \([0,\infty\)).
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर मान भी \(\pm\infty\) की ओर जाते हैं/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), values go to \(\pm\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है। / \(x^3+x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), values become very large positive, and for very large negative (x), values become very large negative.
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीम विस्तार से हर वास्तविक मान मिल जाता है। / Continuity with unbounded behavior on both sides ensures every real value is obtained.
यह विषम घात वाला बहुपद है जिसका अग्र पद \(x^3\) है। / This is an odd-degree polynomial with leading term \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में सामान्यतः आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is generally onto.
(x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। / Put \(t=x^2\ge0\), so \(x^4-x^2=t^2-t\).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। / The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है। / For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। / Put \(t=x^2\ge0\), then (f(x)=t-2-t).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है। / With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto.
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। / For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है। / When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range.
A. नहीं, क्योंकि केवल पूर्णांक मान प्राप्त होते हैं/No, because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे अपूर्णांक मान हैं, जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values like \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन का परास पहले पहचानें। / For the greatest integer function, identify the range first.
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर (f(x)\to\pm\infty)/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), (f(x)\to\pm\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x+\sin x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीम रूप से बढ़ता और घटता है, इसलिए (f(x)) भी दोनों ओर असीम जाता है। / \(\sin x\) is bounded, while (x) grows without bound in both directions, so (f(x)) also goes to both infinities.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक फलन की आच्छादकता को अक्सर नहीं रोकता। / A bounded addition often does not destroy onto behavior of a linear term.
\(x-\cos x\) सतत फलन है। / \(x-\cos x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
(x) का भाग \(\pm\infty\) की ओर जाता है और \(\cos x\) केवल ([-1,1]) में रहता है, इसलिए कुल मान हर वास्तविक स्तर को पार करता है। / The (x) part goes to \(\pm\infty\), while \(\cos x\) stays in ([-1,1]), so the total expression crosses every real level.
Step 3
Exam Tip
bounded trigonometric part के साथ linear part हो तो limits जाँचें। / With a bounded trigonometric part and a linear part, check limits.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
\(x\in(0,1)\) होने पर \(\ln x<0\)। / For \(x\in(0,1)\), \(\ln x<0\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(0,\infty\)) में केवल धनात्मक मान हैं, इसलिए सभी प्रतिचित्र सहप्रांत में नहीं आते। / But the codomain (\(0,\infty\)) contains only positive values, so not all outputs lie in the codomain.
Step 3
Exam Tip
गलत सहप्रांत होने पर आच्छादकता से पहले सु-परिभाषितता टूट जाती है। / With a wrong codomain, well-definedness fails before onto checking.
A. यह इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/It is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=1)। / At (x=0), (f(0)=1).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1) सहप्रांत (\(1,\infty\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है। / But (1) is not in the codomain (\(1,\infty\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
दिए गए सहप्रांत से हर प्राप्त मान का मिलान पहले करें। / First match every output with the given codomain.
किसी \(y\in[-1,1\)) को लक्ष्य मान मानकर \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\) लिखें। / Take any target value \(y\in[-1,1\)) and write \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ge -1\) और (y<1) के कारण ऋणात्मक नहीं है, इसलिए वास्तविक (x) मिल जाता है। / Solving gives \(x^2=\frac{1+y}{1-y}\), which is non-negative because \(y\ge -1\) and (y<1), so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता सिद्ध करने के लिए लक्ष्य मान से प्रांत का वैध प्रतिचित्र निकालना सबसे मजबूत तरीका है। / To prove onto, finding a valid preimage for every target value is the strongest method.
